文档内容
专题 05 分类打靶函数应用与函数模型
目 录
01 二次函数与幂模型..................................................................................................................1
02 分段函数模型..........................................................................................................................4
03 对勾函数模型........................................................................................................................11
04 指数函数模型........................................................................................................................15
05 对数函数模型........................................................................................................................17
06 函数模型的选择....................................................................................................................20
01 二次函数与幂模型
1．（2023·河北·校联考模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社
会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产
量为x件时，售价为s元/件，且满足 ，每天的成本合计为 元，请你帮他计算日产量为
件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元.
2．（2023·北京海淀·高三校考阶段练习）科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑
体”，即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电
磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率 与该黑体的绝对温度 的 次方成正比，即 ， 为玻尔兹曼常数．而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，
以本实验结果为例， 为纵坐标，以 为横坐标，则能够近似得到 （曲线形状），那么如果继续研
究该实验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式 ．
3．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
加油时间 加油时的累计里程（千米）
加油量（升
2015年5月1日 12 35000
2015年5月15日 48 35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100千米平均耗油量为
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
4．（2023·河南平顶山·高三校联考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时
服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm，宽为10cm
的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折
痕长度的取值范围是 cm．
5．（2023·全国·高三专题练习）某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100 m的可作为围墙的材料，则
场地的面积S(单位：m2)与场地的长x(单位：m)的函数关系式为 ．
02 分段函数模型
6．（2017•上海）根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为 和 （单位：
辆），其中 ， ，第 个月底的共享单车的保有量是前 个月的累计投放量与
累计损失量的差．
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第 个月底的单车容纳量 （单位：辆）．设在某月底，
共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
7．（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地
上班族 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当 中 的成员自驾时，自驾群体
的人均通勤时间为
（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 影响，恒为40分钟，
试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族 的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性，并说明其实际意义．
8．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知正四面体 的棱长为 ， 为棱 上的动点（端点 、 除
外），过点 作平面 垂直于 ， 与正四面体的表面相交．记 ，将交线围成的图形面积 表示
为 的函数 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
9．（2023·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，
我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量 （ ）与时间 （
）成正比（ ）；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 （ 为常数， ），据测定，
当空气中每立方米的含药量降低到 （ ）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少
提前分钟进行消毒工作
A．30 B．40 C．60 D．90
10．（2023·广东深圳·高三统考期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能
产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产 万件该产品，需另投入成本 万元.其中
，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业
每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
11．（2023·北京西城·高三统考期末）“空气质量指数（ ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当 大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数 随时间 变化
的趋势由函数 描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
12．（2023·山东临沂·高三统考期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水
价”.计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 4元
超过 但不超过
6元
超过 8元
若某户居民上月交纳的水费为66元，则该户居民上月用水量为（ ）
A． B． C． D．
03 对勾函数模型
13．（2014•湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 （单位时间内经过测量点
的车辆数，单位：辆 小时）与车流速度 （假设车辆以相同速度 行驶，单位：米 秒）、平均车长
（单位：米）的值有关，其公式为 ．
（Ⅰ）如果不限定车型， ，则最大车流量为 辆 小时；
（Ⅱ）如果限定车型， ，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆 小时．
14．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）近来汽油价格起伏较大，假设第一
周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升( )，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的
汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． ， 的大小无法确定
15．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，
甲､乙两次平均单价为分别记为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的大小无法确定
16．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800
平方米的矩形 ，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，
则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米
17．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年
管理费用为0.1万元，已知使用 年的维修总费用为 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
18．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社
会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义
的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场
调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本 万元，当产量不足50万件时，
；当产量不小于50万件时， ．每件A产品的售价为100元，
通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（ ）
A．40万件 B．50万件 C．60万件 D．80万件
04 指数函数模型
19．（2023·河南·高三内黄县第一中学校联考阶段练习）用指数模型： 描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t（单位：天）的变化规律，则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约
为 天.（ ，结果精确到0.1）.
20．（2023·江苏徐州·高三校考开学考试）2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究
公司 发布的名为“ ”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国
内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化
中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率，
表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率
为 ，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为 ，则学习率衰减到 以下（不含
）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据： ）
21．（2023·高一课时练习）将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2m/s，这是第一次
“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的
速率低于7.84m/s，则至少需要“打水漂” 次.(参考数据：取 )
22．（2023·全国·高三对口高考）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2020年产生的生活垃
圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比前一年增
加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前
一年的 倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的 ，则 的值
至少为 .
23．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温
度为 ，空气温度为 ，则 分钟后物体的温度 （单位： ）满足： ．若常数
，空气温度为 ，某物体的温度从 下降到 ，大约需要的时间为 ．（参考数
据： ）24．（2015•四川）某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位： 满足函数关系
为自然对数的底数， 、 为常数）．若该食品在 的保鲜时间是 192小时，在
的保鲜时间是48小时，则该食品在 的保鲜时间是 小时．
05 对数函数模型
25．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，
易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是
；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是 ，一年后“进步”
的是“退步”的 倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的
是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：
）.
26．（2023·北京房山·高三统考开学考试）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
与声源的距离 声压级
声源
燃油汽车
混合动力汽
车
电动汽车
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，给出下列结论：①；② ；③ ；④ .则所有正确结论的序号是 .
27．（2023·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫
或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越
大，涌起的泉水越高.已知听到的声强 与标准声强 （ 约为 ，单位： ）之比的常用对数称
作声强的声强级，记作 （单位：贝尔），即 .取贝尔的 倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已
知某处“喊泉”的声音强度 （单位：分贝）与喷出的泉水最高高度 （单位：米）之间满足关系式
，若甲游客大喝一声的声强大约相当于 个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大
喝一声激起的涌泉最高高度差为 .
甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为 米．
故答案为： .
28．（2023·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小
时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙､邓清明､张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱
活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声
强级 （单位： ）与声强 （单位： ）满足关系式： .若某人交谈时的声强级
约为 ，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为 ，则火箭发射时的声强级约为
.
06 函数模型的选择
29．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）研究汽车急刹车的停车距离对汽车刹车设计和路面交通管理非常
重要，急刹车停车距离受诸多因素影响，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶速度，
设 表示停车距离， 表示反应距离， 表示制动距离，则 ，如图是根据美国公路局公布的实验
数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内圈数值表示对应的车速 ( ).根据该图数据，建立停车距
离与汽车速度的函数模型.可选择模型①： 模型②： 模型③： 模型④：(其中 为待定参数)进行拟合，则拟合效果最好的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·吉林·统考模拟预测）对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据： ，
， ， ，下列函数模型中拟合较好的是（ ）
A． B． C． D．
31．（2023·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）安徽怀远石榴（Punicagranatum）自古就有
“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石
榴合作社为了实现 万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过 万元时，按
销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不
超过 万元，同时奖金不能超过利润的 .同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据： ）
A． B． C． D．
32．（多选题）（2023·辽宁大连·统考三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特
模型：
其中正实数 分别为甲､乙两方初始实力， 为比赛时间；
分别为甲､乙两方 时刻的实力；正实数 分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两
方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为 .则下列结论正确的是
（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，则甲比赛胜利
D．若 ，则甲比赛胜利
