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专题 04 构造函数的应用
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题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）..........................................1
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）..........................................5
题型03 构造函数求参数的最值（范围）........................................................9
题型04 构造函数证明不等式.................................................................13
题型 01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）
【解题规律·提分快招】
【常见同构形式】
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】构建 ，利用导数判断 的单调性，进而可得 ，再结合对数函
数单调性可得 .
【详解】记 ，则 ，
可知 在 上单调递增，则 ，即 ，
可得 ；
又因为 ，则 ，即 ；
所以 .
故选：B.
2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易得 ， ， ，构建函数 ，求导判断其单调性，利用单调性比较
大小即可.
【详解】由题意可得 ， ， ，
设 ， ，则 ，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ，且 ，
可得 ， ，所以 .
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数， 为自然对数的底数，若 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式变形为 ，构造函数 ，由导数确定函数单调性，由单调性及不
等关系即可求解.
【详解】由已知 ，即 .
设 ，则 ， .
， ， .
当 时， ，
在 上单调递增，所以 .
故选：B.
4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先通过数值放缩判断 与 及 与 的大小关系，然后构造函数 ，
利用导数研究函数 的单调性，借助函数单调性判断 与 的大小关系.
【详解】因为 ，所以 ；
因为函数 单调递增， ，所以 ，即 ，则 ，所以 ；
构造函数 ，则 ，
令 ，则 ，
显然 在 上单调递增，所以 ，
故 在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递增，
从而 ，故有 ，整理得 ，
所以 ，故 ．
故选：B
5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设 ， ， ，则 的大小关系为：
（ ）.
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】分别构造函数 ， ，利用导数求导，得
单调性求解即可．
【详解】令 ，求导得 ， ，，
当 时， ，函数 在 单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
所以 ，所以 ，当且仅当 ，时等号成立，所以 ，
所以 ，设 ，则 ，
记 ，则 ，记 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
故 时， ，即 ，
所以 在 上单调递增，故 时， ，
即 ，所以 在 上单调递增，
故 时， ，即 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ．
故选：A
6．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对 分别取对数并作商，再构造函数 ，利用导数探讨单调性
即可比较大小.【详解】由 ，得 ，
令 ，求导得 ，令 ，
求导得 ，函数 在 上单调递减， ，
即 ，函数 在 上单调递减，则 ，
即 ， ，因此 ；
令 ，求导得 ，当 时， ，
即 ，函数 在 上单调递减，则 ，
即 ， ，因此 ，
所以 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键.
题型 02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）
【解题规律·提分快招】
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为 ；
（2）判断函数 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于 ，构造
模型2.对于不等式 ，构造函数 .
模型3.对于不等式 ，构造函数拓展：对于不等式 ，构造函数
模型4.对于不等式 ，构造函数
模型5.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型6.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型7.对于 ，分类讨论：（1）若 ，则构造
（2）若 ，则构造
模型8.对于 ，构造 .
模型9.对于 ，构造 .
模型10.（1）对于 ，即 ，
构造 ．
（2）对于 ，构造 ．
模型11.（1） （2）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数 及其导函数 的定义域均为R， 且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数 ，判断 的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调
性得到一元二次不等式，解之即得.
【详解】设 ，则 ，故 单调递增.
又 ，故 可转化为 ，即，
由 单调递增可得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选： .
2．（23-24高二下·重庆·期中）已知 是函数 的导数，且 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不等式 可化为 ，故考虑构造函数 ，
结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论.
【详解】不等式 可化为 ，
设 ，则原不等式可化为 ，
对函数 求导，得 ，
因为 ，所以 ，
所以函数 是实数集上的增函数，
所以 ．
故不等式 的解集为 .
故选：B.
3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数 的导函数为 ，且 ，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，由题意可得当 时， ，即可得 的单调性，结合
，可得 ，又 ，结合 单调性即可得解.
【详解】令 ，则 ，
由当 时， ，则当 时， ，即 在 上单调递减，
由 ，则 ，
由 ，即 ，故 .
故选：D.
4．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知可导函数 的定义域为 ，其导函数 满足
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为
，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，
故 在 上单调递减，
不等式 可变形为
，
即 ，
所以 且 ，解得 .
故选：A
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在 上的函数 及其导函数 ，满足
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，结合题意得 ，所以 在(0,+∞)上单调递增， ，
即 ，即 ，根据单调性解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在(0,+∞)上单调递增，
，即 ，又 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
故选： .
题型 03 构造函数求参数的最值（范围）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖南·期中）若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】由条件得 ，构造函数 ，利用导数求出 的最小值，
从而得出答案.
【详解】 ，
当且仅当 时，等号成立.
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，
∴当且仅当 时， 取得最小值，且最小值为 .
故选：A.
2．（24-25高三上·云南·阶段练习）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】利用同构可得 ，再结合导数讨论新函数的单调性后可得 的最小值.
【详解】因为 ，故 ，
而 为(0,+∞)上的增函数，故 即 ，故 ，
设 ，则 ，当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，
故选：B.
3．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知 ，若函数 ，则 的最
小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】由函数 ，等价于 即 在R上恒
成立，由 可得 ，再分析函数 的单调性，即可求出 的最小值.
【详解】函数 ，等价于 ，
即 在R上恒成立，
即 ， .则 ，
令 ，对其求导得 ，
当 在 上单调递减，当 在 单调递增，
所以
故选：B
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数 在区间 单调递减，当 时，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得 在 上单调递增，由此脱去不等式中 ，分离参数构造函数，利
用导数求出最值即可得解.
【详解】由函数 为偶函数，且在 单调递减，得 在 上单调递增，
当 时， ，令 ， ，求导得 ， 在 上单调递增，
则 ，因此 ；令 ， ， ，
函数ℎ(x)在 上单调递减，则 ，因此 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 ， ，若 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合题意构造函数 ，得到 ，表示出 ，再借助导数求出
的最小值即可.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
令 ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，即 ，
∴ ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选：B.
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】变形得到 ，令 ，则 ，根据
的单调性得到 ，分 和 两种情况，参变分离得到 ，构造 ，求
导得到其单调性，求出最小值为 ，得到 .
【详解】 ，
令 ，则 ，
因为 在R上单调递增，所以 ，
当 时， 可由 向右平移得到，
结合 与 的图象可知， 恒成立，
当 时，由 得到 ，其中 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，最小值为 ，
故 ，
综上， .
故选：B
【点睛】关键点点睛：同构构造 ，从而令 ，得到 ，
根据 的单调性得到 ，再进行下一步求解.
7．（24-25高三上·河北·期中）当 时， ，则正数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用同构思想，得到 ，构造函数 ，利用 的单
调性得到 在区间 上恒成立，再构造函数 ，求出 在区间
上的最大值，即可求解.【详解】因为 ，由 ，得到 ，即 ，
令 ，则 ，因为 ，所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上单调递增，又 ，
所以 ，可得 ，即 在区间 上恒成立，
令 ，则 ，由 ，得到 ，由 ，得到 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 ，得到 ，
故选D.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用“同构”思想，将条件变形成 ，构造函数
，利用 的单调性，将问题转化成 在区间 上恒成立，再构造函数
，求出 在区间 上的最大值，即可求解.
题型 04 构造函数证明不等式
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）下列不等关系中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于A，直接证明即可；对于B，使用导数工具证明即可；对于C，用导数说明不等式不成立即
可；对于D，使用导数工具证明即可.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A正确；对于B，设 ，则对x>1有 ，
所以f (x)在 上递增，从而对 有 ，即 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，
由于对 ，显然 的导函数 ，
故 在 上单调递增.
从而对 有 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故C错误；
对于D，设 ，则对 有 ，
所以 在 上单调递增，从而 ，故D正确.
故选：C.
2．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成
立.
【详解】对于A选项：令 ， ，
，令 ，令 ，则 ，
即 时，ℎ ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，f′(x)单调递减，
即 时，ℎ ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，f′(x)单调递增，
f′(x)有最小值 ，
所以 在(0,+∞)单调递增，故 ，
所以 即 ，故A选项错误；
对于B选项：由A可知： ，
要证 ，即需要证明： ，即 ，即 ， ，
令 ，
，令
，令 ，则 ，
即 时， ， 单调递减， 单调递减，
即 时， ， 单调递增， 单调递增，
所以 有最小值 ，
所以ℎ(x)在(0,+∞)单调递增，故 ，
所以 成立，故B选项正确；
对于C选项：由 得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故C选项错误，
对于D选项：令 ，因为 ，
所以 在(0,+∞)上单调递增，所以 ，
所以存在x∈(0,+∞)使得 ，即 ，
故D选项错误；
故选：B.
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线的斜率为2，求 的值．
(2)当 时，证明： ， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线斜率，求 的值；
（2）首先将所证明不等式两边取对数，变形为 ，再构造不等式，利用导数判断函
数的单调性，即可证明.
【详解】（1） ，则 ．
因为曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线斜率为2，所以 ，即 ．
（2）当 时， ，要证 ，即证 ，
两边同时取对数得 ，即证
令 ，
则 ．
所以 在(0,1)上单调递减，所以 ，
所以 ．
4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用求函数单调性的方法求解即可；
（2）两个方法，方法一，先将 放大到 ，然后利用导数证明 即可；方法二，
直接两式求差，然后根据未知数和参数的范围证明 即可.
【详解】（1）解 ，
令
得 时， ，当 时， ，
故 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，
要证明 ，则只需证明 ，
令 ，
，，
，当且仅当 时，上式等号成立，
当 时， 在区间 上单调递减，
，即 ，
当 时， 得证.
【方法二】证明：令 ，
，
，
，当且仅当 时，上式等号成立，
，
又 当 时， 在区间 上单调递减，
，
当 时， 得证.
5．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数 .
(1)若 在(0,+∞)上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)当 时，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数单调转化为导数不小于0恒成立，分离参数后利用导数求最值即可；
（2）求函数导数，经过多次求导可知导函数存在隐零点，即可分析导数的正负求函数最小值，得到
，再构造函数利用导数求 的最小值得证 .
【详解】（1） ，由题得 在 上恒成立，.
设 ，则 .
设 ，则 ，
显然，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
在 处取得最小值 ，
，即 在 上单调递增，即
，经验证 适合题意，
故实数 的取值范围是 .
（2）当 时， ，
.
令 .
设 ，则 ，
，即 在 上单调递增.
又由 ，
在 上有唯一的零点 ，即 在 上有唯一的零点 ，即 ，
当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
，
设 ，
恒成立，
在 上单调递增，.
【点睛】关键点点睛：复杂的导数问题就在于需要多次求导，不断变换研究对象，通过逐层研究得到所需
要结论，这个过程需要思路清晰，过程严谨，求导及相关正负，单调性分析熟练，才能解决对应问题.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 和 ，若存在两个实数 ，且 ，使
得 ， ，证明： ．
【答案】证明见解析
【分析】利用参数 作为媒介，换元后构造新函数，将要证明的不等式转化为证明 ，利用
构造函数法，结合导数证得结论成立.
【详解】直接换元构造新函数 ，即 ，设 ， ，则 ，
则 ， ，可得 ， ，
由于
构造函数 ， ，
因为 ，所以 在(1,+∞)上单调递增，
故 ，即 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性和最值；
(2)若关于x的方程 有两个不等的实数根 ， ，求证： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.
（2）利用同构可得原方程即为 有两个不同的实数根 ，结合构造法可证 成立.
【详解】（1）由 得，
，其中 ，
若 ，则f′(x)<0在 上恒成立，故 在 上为减函数，
故 无最值；
若 ，当 时，f′(x)>0；
当 时，f′(x)<0．
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
故 ， 无最小值．
综上：当 ， 在 上单调递减，无最值；
当 ， 在 上为增函数，在 上为减函数， ， 无最小
值．
（2）方程 ，即 ，
故 ．
因为 为(0,+∞)上的增函数，所以 ，
所以关于x的方程 有两个不等的实数根 ，
即 有两个不同的实数根 ．
所以 ，所以 ．
不妨设 ，故 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，即证 ．
设 ，则 ，
令 ，
故 ，所以 在 上为增函数，故 ，所以 在 上为增函数，
所以 ，故 成立．
【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，
从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数， 是 的导函
数，且当 时， ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，求导，分析函数的单调性，再结合函数的奇偶性和特殊点的函数值，可
解不等式.
【详解】令 ，则 ．
因为当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增．
因为 为奇函数，所以 为奇函数．
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ．
故选：D
【点睛】关键点点睛：在选择题中，解决此类与不等式有关的问题，构造合适的函数，是解决问题的关键.
本题注意到有 ，即 ，所以根据导数的运算法则，可构造商的函数
，之后的问题就好分析了.
2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数 ， ，若存在正数 ， ，使得
，则 的最小值为（ ）A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】分析可知 ，结合 的单调性可得 ， ，构建 ，利
用导数求其单调性和最值，即可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
由题意可得： ，
整理可得 ，即 ，
又因为 在 内单调递减，则 在 内单调递减，
可得 ，则 ，
构建 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，所以 的最小值为 .
故选：B.
3．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】转化已知条件，配凑为 ，构造函数 ，根据 ，以及
在 单调递增，求得 ，再构造函数 ，利用导数研究其最小值，
即可求得 的最小值，以及 的最小值.
【详解】因为 ，故可得 ，且 ，故 ，
又 ，则 ；
若 ，则 ， ，而 ，显然不成立，故 ，即 ；
令 ，则 ，故 在 单调递增；则由 ，可得 ，又 ，故 ，
也即 ，解得 ，令 ，则 ，
时 ， 时 ，
故 在 单调递减，在 单调递增，故 在 处取得最小值，最小值 ，
也即 ，当且仅当 时取得等号；故 ，当且仅当 时取得等号，故 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考察导数中的同构问题，处理本题的关键是能够根据已知条件，配凑出
，再构造函数 ，从而进一步求得 更加明确的关系，进而求 的最小值.
4．（2024·四川德阳·三模）已知函数 及其导函数 在定义域均为 且 是偶函
数，其函数图象为不间断曲线且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意得函数 在 上单调递增,因为 ,所以 ,得
,求解即可.
【详解】由 得
则当x>0时,得 ,
，
则当x>0时, ,得函数 在 上单调递增,
因为 ,所以 ,
由于 是偶函数,则 ,
而函数 在 上单调递增,得 ,
得 ,
得 ,
故选：C.
5．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知 ， ， ，当 时， 恒
成立，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，利用导数研究 的零点，易知 的零点也是 的
零点，由此利用韦达定理，经过变形，然后构造出函数 ，利用导数研究其最小值即可得.
【详解】当 时，不等式 恒成立，
设 ， ，则 ，
令f′(x)<0得 ，令f′(x)>0得 ，
所以 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
因为 ， 时 ， 时 ，
故 在(0,+∞)上有两个零点，记为 ，
显然 或 时 ， 时 ，
要使 恒成立，则 ， 也是 的两个零点，
故 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，令 得 ，令 得 ，
所以 在(0,2)上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数研究 零点，得到 的零点也是
的零点，即可结合韦达定理得到 ，再构造相应函数，借助导数研究其最小值即可
得解.
6．（2024·湖北·模拟预测）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】转化 和 ，设 ，根据导数求出 的单调性，比较 和 的大小，转化 和
，设 ，求出 ，令 ，利用导数求出
的单调性，利用导数求出 的单调性，比较 和 的大小.
【详解】 ，
设 ，则 ，
当 时， 在(1,+∞)上单调递增，
，即 ，
，又 ，
设 ，
则 ，
令 ，
则 ，
在(1,+∞)上单调递减，
当 时， ，
在 上单调递减，
， ，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过所比较值的变形，构造函数 和
进行大小比较.二、多选题
7．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知 ，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】构造函数 ，利用导数研究其单调性一一判定选项即可.
【详解】令 ，所以 ，
显然 时，f′(x)<0，即此时 单调递减，
当 时，f′(x)>0，即此时 单调递增，
则 ，且 时 ，可作出函数 大致图象如下：
因为 ，则 ，此时 ，由于不确定 的关系，
由y=f (x)的单调性与图象可知 的大小不确定，则A、B都有可能正确；
显然 ，所以 ，
，则C错误，D正确.
故选：ABD
8．（23-24高二下·河南·期中）设定义在 上的函数 的导函数为 ，若满足 ，
且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．不等式 的解集为
C．若 恒成立，则
D．若 ，则
【答案】BCD【分析】构造函数 ，根据条件计算得 ，利用导数研究其单调性可判定A、B，分离参
数结合 的单调性与最值可判定C，由题意得出 ，结合 的单调性得
出 即可判定D.
【详解】因为 ，所以 .
令 ，则 ，
所以 （c为常数），所以 .
因为 ，所以 ，即 .
对于A，因为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故A错误.
对于B,当 时， ，x=0时， ，x>0时，
而 ，根据 单调性知： ，故B正确.
对于C，若 ，则 .
当 时， 恒成立.
当 时， 等价于 ，即 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，故C正确.
对于D，若 ，即 .
因为 在 恒小于0，在 上又单调递增，且 ，
所以 ，且 ，所以 ，
故D正确.
故选：BCD【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出 解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选
项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算 的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转
化消元的思想，同构的思想.
三、填空题
9．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知 是R上的奇函数，且对任意的x∈R均有
成立．若 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数 ，利用导数得到 的单调性，再将问题转化为 ，从而得解．
【详解】由 得 ．
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ， 为奇函数，
所以 ， ，
则 ．
故答案为： ．
10．（24-25高三上·甘肃兰州·期中）已知函数 ， ，若 ，
，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】先通过对数运算得到 ，然后构造函数 分析出 的关系式，由此可
将 化简为关于 的函数，借助 的单调性可求出 的最小值.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
于是 ， ，所以 ，构造函数 ，且 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，于是 ，
又 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递
减，
所以 ，故 ，当且仅当 ，即 （ 舍去）时取到最小值，
所以 ，
故答案为： ．
11．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数 ，若对任意 ，都有
，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得 对任意 恒成立，且 ，令函数 ，则
对任意 恒成立，对 求导分析单调性，可得 对任意 恒成立，
由 可得出 的范围.
【详解】由题意可得 对任意 恒成立，且 .
令函数 ，则 对任意 恒成立.
，
当 时， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
且当x∈(0,1)时，g(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g(x)>0，
所以 ，即 对任意 恒成立.
因为 ，所以 .故答案为： .
四、解答题
12．（2024·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对 进行 和 的分类讨论导数正负即
可得单调性.
（2）证 ，故问题转化成证
，接着构造函数 研究其单调性和最值即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为 ， ，
故当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，令 ，
则 时， ； 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上，当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 上恒成立，
故证 证 ，即 ，
令 ，则 ，
故当 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，故 ，
所以当 时， .
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当 时，
可将问题转化成证 ，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利
用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
13．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)证明： ．
(2)证明： ．
(3)若 ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）设 ，求导，分析函数单调性，求函数ℎ(x)的最小值，得到最小值大于
或等于0即可.
（2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可.
（3）首先由条件同构方程，得到 ，再利用变量转化，变形 ，并构造函数 ，
利用导数求函数的最大值.
【详解】（1）设 ，
则 ，
由ℎ ′(x)>0，得 ；由ℎ ′(x)<0，得 .所以函数ℎ(x)在 上递减，在(0,+∞)上递增.
所以 ，所以 恒成立.
即 恒成立.
（2）由（1）得 ，（当 时取“ ”）
所以 .
设 ，
则 ，
由φ′(x)>0 ；由φ′(x)<0 ，
所以φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以 （当 时取“ ”）
因为 ， 中，“ ”成立的条件不一致，
所以 .
（3）由题意可知， ，
即 ，
函数 是增函数+增函数，所以单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
，
设 ， ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以 的最大值为 .【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据（1）的结果，对不等式进行放缩，第3问的关键是将方程
两边同构成 ，根据函数的单调性得到等式 ，这是解题的关键.
14．（2024·天津·二模）已知 ，
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数 存在极大值，且极大值为1，求证： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程；
（2）利用导数，分类讨论函数的单调性；
（3）由极大值，求出 的值，通过构造函数求最值的方法证明不等式.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
又 ，则切线的斜率 ，
所求切线方程为 ，即 ．
（2）函数 的定义域为 ，
．
①当 时， ， 在 上单调递增．
②当 时，
时，f′(x)>0， 函数 在 上单调递增；
时，f′(x)<0， 函数 在 上单调递减．
③当 时，
时，f′(x)>0，函数 在 上单调递增；
时，f′(x)<0，函数 在 上单调递减．
综上可得，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
（3）证明：由（2）可知，当 时， 存在极大值，且极大值为 ，
则 ，即 ，
整理得 ，从而 ，设 ，则 ．
令 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．
而 ，所以 的根为 ， 从而 ．
因此 ，即证 成立，
也就是证 ，即证 ，
也就是证 ，设 ，即证 ．
设 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
，即 恒成立，
恒成立．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
15．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，比较 与 的大小；(2)若函数 ，且 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造 ，利用导数求函数的单调性与最值，则可判断
与 的大小关系；
（2）先求得 ， 再证 ，则可得 ，所以有 ，即 ，
得证.
【详解】（1）解：设函数 ，
可得 ，
当 时， ，则 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 .
（2）证明：设函数 ，
当 时， ，则 恒成立，
则由 ，得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 单调递增，即 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
又 ，所以 ，同理得 ，
要证 ，
只需证 ，即证 .因为 ，所以 ，
设函数 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调
性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导
（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．
