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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题17.1勾股定理专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022春•忻城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，则AC等于（ ）
A．12 B．8 C．4 D．2
【分析】由勾股定理可直接得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝ ＝8，
故选：B．
2．（2022春•黔西南州期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝ ，则AB2+BC2的值是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
【分析】由勾股定理可直接得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即AB ，
故选：A．
3．（2022秋•溧水区期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，则下列式
子成立的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．a2﹣b2＝c2 D．b2+c2＝a2
【分析】根据勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A，∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，
∴a2+b2＝c2．
故选：A．4．（2022秋•西安月考）如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A
的面积为（ ）
A．72 B．64 C．60 D．54
【分析】根据勾股定理和正方形面积的公式直接可得答案．
【解答】解：由勾股定理得，图形A的面积为100﹣36＝64，
故选：B．
5．（2022春•合川区校级期中）平面直角坐标系内，点P（1， ）到原点的距离是（ ）
A． B．2 C． +1 D．4
【分析】直接利用两点间的距离公式可得答案．
【解答】解：由两点间距离公式得，OP＝ ，
故选：B．
6．（2022春•中宁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，则CD的长
（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【分析】根据三角形外角的性质得∠DAC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD是腰AB上的高，
∴CD⊥AB，∴CD＝ AC＝2，
故选：B．
7．（2022春•普陀区校级期末）如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数 1的点
为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．1﹣ C．﹣1+ D．﹣1﹣
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线长，从而得出答案．
【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴对角线长为 ＝ ，
∴点A表示的数是1﹣ ，
故选：B．
8．（2022春•兰山区期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若 ，则
BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求得AB的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝ ＝2 ， ，
∴BC＝AB＝AC＝2 ﹣ ＝ ，
故选：C．
9．（2022秋•高新区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，AD平分∠CAB，
交BC于D，DE⊥AB于E，则CD等于（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】首先利用勾股定理求出AB，然后利用角平分线的性质得到CD＝DE，在Rt△DEB中，利用勾
股定理建立方程求解即可．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE＝6cm，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝ ＝10cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
设DE＝xcm，则CD＝xcm，BD＝（8﹣x）cm，
在Rt△DEB中，BD2＝DE2+BE2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝DE＝3．
故选：B．
10．（2022秋•海曙区期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国算术《周髀算经》中早有记
载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方
式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）A．直角三角形纸片的面积
B．最大正三角形纸片的面积
C．最大正三角形与直角三角形的纸片面积和
D．较小两个正三角形纸片重叠部分的面积
【分析】设三个正三角形面积分别为S ，S ，S ，（不妨设S ＞S ＞S ），由勾股定理和三角形面积可
1 2 3 1 2 3
得S ＝S +S ，再由面积和差关系即可求解．
1 2 3
【解答】解：如图，设三个正三角形面积分别为 S ，S ，S ，（不妨设S ＞S ＞S ），两个小正三角形
1 2 3 1 2 3
的重叠部分的面积为S ，
4
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵S ＝ AB2，S ＝ AC2，S ＝ BC2，
1 2 3
∴S +S ＝ AC2+ BC2＝ （AC2+BC2）＝ AB2，
2 3
∴S ＝S +S ，
1 2 3
∴S阴影 ＝S
1
﹣（S
2
+S
3
﹣S
4
）＝S
1
﹣S
2
﹣S
3
+S
4
＝S
4
，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•溧阳市期中）若直角三角形两直角边长分别为9和40，则斜边长为 4 1 ．
【分析】利用勾股定理直接计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边＝ ＝41．
故答案为：41．
12．（2022秋•天桥区校级月考）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点 A表示（3，4），则OA＝
5 ．【分析】根据勾股定理直接计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，OA＝ ＝5，
故答案为：5．
13．（2022秋•临沭县校级月考）在△ABC中，BC＝6，BC边上的高AD＝4，且BD＝2，则△ACD的面积
为 8 或 1 6 ．
【分析】根据题意得出CD的长度，再利用三角形面积公式求出△ACD的面积即可．
【解答】解：根据题意，分以下两种情况：
①如图：
∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣2＝4，
∴S△ACD ＝ CD•AD＝ ＝8，
②如图：
∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，
∴CD＝BD+BC＝8，
∴S△ACD ＝ CD•AD＝ 8×4＝16，
故答案为：8或16．14．（2022春•中山市期末）平面直角坐标系中有两点A（m，﹣1），B（3，4），当m取任意实数时，
线段AB长度的最小值为 5 ．
【分析】根据垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：∵A（m，﹣1），
∴点A在直线y＝﹣1上，
要使AB最小，
根据“垂线段最短”，可知：
过B作直线y＝﹣1的垂线，垂足为即为A，
∴AB最小为5．
故答案为：5．
15．（2022秋•建邺区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若CH是△ABC的高线，
则CH＝ ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝ ＝5．
∵CH是△ABC的高线，
∴AB•CH＝AC•BC，即5CH＝4×3，解得CH＝ ．
故答案为： ．
16．（2022秋•秦淮区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，分别以AC，BC为边作正方
形，面积分别记为S ，S ，则S +S ＝ 1 6 cm2．
1 2 1 2【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S ，S 分别表示正方形面积，
1 2
求出S +S 的值即可．
1 2
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝16，
则S +S ＝AC2+BC2＝16（cm2），
1 2
故答案为：16．
17．（2022秋•云岩区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝ ，分别以△ABC的三
边为直径画半圆，则两个月形图案（阴影部分）的面积之和是 5 ．
【分析】由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AB＝2 ，设以AB、BC、AC为直径的半圆分别为①、②、
③，则S
①
+S
②
＝S
③
，而S阴影 ＝S
①
+S
②
+S△ABC ﹣S
③
＝S△ABC ，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝ ＝ ＝2 ，
设以AB、BC、AC为直径的半圆分别为①、②、③，
∴S ＝ ×（ ）2＝ AB2，
①
π
同理：S ＝ BC2，S ＝ AC2，
② ③
∴S +S ＝ （AB2+BC2）＝ AC2＝S ，
① ② ③
∴S阴影 ＝S
①
+S
②
+S△ABC ﹣S
③
＝S△ABC ＝ AB•BC＝ ×2 × ＝5，即两个月形图案（阴影部分）的面积之和是5，
故答案为：5．
18．（2022秋•仁寿县校级月考）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上
的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间
为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 5 或 1 1 时，能使DE＝CD？
【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【解答】解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11．
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋•温州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，已知BC＝10，AD＝12，求AC
的长．
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝ BC＝5，
∵AD＝12，
∴AC＝ ＝ ＝13，
故AC的长为13．
20．（2022秋•玉林期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，求
线段CD的长．【分析】由于∠C＝90°，∠ABC＝60°，可以得到∠A＝30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD＝
∠ABD＝∠A＝30°，BD＝AD＝6，再利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出结果．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，
∴BD＝AD＝6，
∴CD＝ BD＝6× ＝3．
故线段CD的长为3．
21．（2022秋•碑林区校级期中）在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD为BC边上的高，求AD
的长．
【分析】由题意知，BD+DC＝14，设BD＝x，则CD＝14﹣x，在直角△ABD中，AB是斜边，根据勾股
定理AB2＝AD2+BD2，在直角△ACD中，根据勾股定理AC2＝AD2+CD2，列出方程组即可计算x的值，
即可求得AD的长度．
【解答】解：∵BC＝14，且BC＝BD+DC，
设BD＝x，则DC＝14﹣x，
则在直角△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
即132＝AD2+x2，
在直角△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
即152＝AD2+（14﹣x）2，
整理计算得x＝5，
即AD＝12．22．（2022秋•苏州期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图
2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
（2）已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？
【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．
【解答】解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝ ×2a＝a，
较长的直角边＝2a+3，
∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；
（2）小正方形的面积＝（a+3）2＝36，
∴a＝3（负值舍去），
∴大正方形的面积＝92+32＝90．
23．（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出
了一种证明勾股定理的方法：如图 1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形
ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面
积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形
ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，
∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAE为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为： c2+ （b﹣a）（a+b）＝ c2+ （b2﹣a2），
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b2＝ c2+ （b2﹣a2），
∴b2＝ c2+ b2﹣ a2，
∴ a2+ b2＝ c2，
∴a2+b2＝c2．
24．（2022秋•大丰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝3：4，动点P从
B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）利用勾股定理求解BC的长即可；
（2）分3种情况讨论：当AP＝BP时，当AB＝BP时，当AB＝AP时，分别计算可求解．
【解答】解：（1）∵AC：BC＝3：4，
∴设AC＝3xcm，BC＝4xcm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝5x＝10cm，
∴x＝2，
∴BC＝8cm；
（2）由（1）知，BC＝8cm，AC＝6cm，
当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
∴62+（8﹣t）2＝t2，
解得t＝ ；
当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；
当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，
综上，t的值为 或10或16．
