文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题7.6坐标与新定义问题大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
n
1．（2022秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点A(m−1， )为“智慧点”．
2
（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．
（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．
n
【分析】（1）根据P点坐标，代入(m−1， )中，求出m和n的值，然后代入2m，6+n检验等号是
2
否成立即可；
（2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案．
【解答】解：（1）点P不是“智慧点”，
n
由题意得：m−1=4， =10，
2
∴m＝5，n＝20，
∴2m＝2×5＝10，
6+n＝6+20＝26，
∴2m≠6+n，
∴点P（4，10）不是“智慧点”；
（2）点M在第四象限，
理由：∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”，
n
∴m−1=a， =1−2a，
2
∴m＝a+1，n＝2﹣4a，
∵2n＝6+n，
∴2（a+1）＝6+2﹣4a，
解得a＝1，
∴点M（1，﹣1），∴点M在第四象限．
2．（2022春•镇巴县期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇
点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；
（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【分析】（1）直接利用“新奇点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用“新奇点”的定义得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，
所以3×3＝2×2+5，
所以A（3，2）是“新奇点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，
∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴点M在第三象限．
3．（2021秋•漳州期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为
点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；
（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【分析】（1）即可“长距”的定义解答即可；
（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；
（2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），
解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），
∴k＝1或k＝2．
4．（2022秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）
（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q
（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；
在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x轴上，求点N的
坐标．
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；
（2）根据关联点的定义和点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N位于x轴上，即可求出N的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，故点B的坐标为（2×（﹣2）+6，﹣
2+2×6）
∴B的坐标（2，10）；
（2）∵点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”为N（3m+2m﹣1，m+3（2m﹣1）），
当N位于x轴上时，m+3（2m﹣1）＝0，
3
解得m= ，
7
8
∴3m+2m﹣1= ，
7
8
∴点N的坐标为（ ，0）．
7
5．（2022秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距
离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点
Q（﹣5，﹣1）就是等距点．
（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点
C的坐标；
（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．
【分析】（1）根据“等距点”的定义解答即可；
（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．
【解答】解：（1）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；
②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，
综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；
（2）由题意，可分两种情况：①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，
∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），
1
解得k＝9或k= （不合题意，舍去）；
3
②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，
解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；
综上所述，k＝2或k＝9．
6．（2022秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），
则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”
为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 （ 2 ， 1 4 ） ；
（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐
标．
【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（x，y）的“2级开心点”是点Q（4，8），
{2x+ y=4
∴
x+2y=8
{x=0
解得 ，
y=4
∴点P的坐标为（0，4）；
（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），
①P′位于x轴上，
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，
1
解得：m=− ，
5
16
∴﹣3（m﹣1）+2m= ，
5
16
∴P′（ ，0）．
5
②P′位于y轴上，∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，
解得：m＝3
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，
∴P′（0，﹣16）．
16
综上所述，点P′的坐标为（ ，0）或（0，﹣16）．
5
7．（2022春•芜湖期中）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），则
1 1 1
称点B是点A的a级亲密点．例如：点A（﹣2，6）的 级亲密点为B(−2+ ×6， ×(−2)+6)，即
2 2 2
点B的坐标为（1，5）．
（1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为 （ 1 4 ， 2 ） ．
（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M 位于y轴上，求点M 的坐标．
1 1
（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的√3倍，
求a的值．
【分析】（1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案；
（2）根据新定义进行计算可得点 M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M [m﹣1+（﹣3）×2m，﹣1×
1
（m﹣1）+2m]，根据y轴上点的坐标特征进行求解即可得出答案；
（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据平面直角坐标系中距离的计算方法可
得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax|=√3|x|，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D（﹣1+3×5，﹣1×3+5），
即点D的坐标为（14，2）；
故答案为：（14，2）；
（2）根据题意可得，
点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M [m﹣1+（﹣3）×2m，﹣3×（m﹣1）+2m]，
1
即点M 的坐标为（﹣5m﹣1，﹣m+3），
1
∵M 位于y轴上，
1
∴﹣5m﹣1＝0，
1
∴m=− ，
5
16
∴M （0， ）；
1 5（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），
根据题意可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，
则|ax|=√3|x|，
即|a|=√3，
解得：a=±√3．
8．（2021秋•舒城县校级月考）点P坐标为（x，2x﹣4），点P到x轴、y轴的距离分别为d ，d ．
1 2
（1）当点P在坐标轴上时，求d +d 的值；
1 2
（2）当d +d ＝3时，求点P的坐标；
1 2
（3）点P不可能在哪个象限内？
【分析】（1）分点P在x轴和y轴两种情况讨论即可；
（2）将d +d 用含x的式子表示出来，根据x的范围化简即可；
1 2
（3）根据x和2x﹣4的范围即可得出答案．
【解答】解：（1）若点P在x轴上，则x＝0，2x﹣4＝﹣4，
∴点P的坐标为（0，﹣4），此时d +d ＝4，
1 2
若点P在y轴上，则2x﹣4＝0，得x＝2，
∴点P的坐标为（2，0），此时d +d ＝2．
1 2
（2）若x≤0，则d +d ＝﹣x﹣2x+4＝3，
1 2
1
解得x= （舍），
3
若0＜x＜2，则d +d ＝x﹣2x+4＝3，
1 2
解得x＝1，
∴P（1，﹣2），
若x≥2，则d +d ＝x+2x﹣4＝3，
1 2
7
解得x= ，
3
7 2
∴P（ ， ）；
3 3
（3）∵当x＜0时，2x﹣4＜0，
∴点P不可能在第二象限．
n+2
9．（2020春•新余期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1， ）为“爱心
2
点”．（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【分析】（1）直接利用“爱心点”的定义得出m，n的值，进而得出答案；
（2）直接利用“爱心点”的定义得出a的值进而得出答案．
n+2
【解答】解：（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5， =3，
2
解得m＝6，n＝4，
则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
n+2
当B（4，8）时，m﹣1＝4， =8，
2
解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，
n+2
∴m﹣1＝a， =2a﹣1，
2
∴m＝a+1，n＝4a﹣4，
代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，
∴a＝﹣1 2a﹣1＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限．
10．（2022春•商南县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较
大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点A（2，3）的“长距”等于 3 ，点B（﹣7，5）的“长距”等于 7 ．
（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．
【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）点A（2，3）的“长距”为|3|＝3；
点B（﹣7，5）的“长距”为|﹣7|＝7；故答案为：3，7．
（2）由题意可知，|2k+3|＝6或2k+3＝±（k﹣2），
3 1
解得k= 或k＝﹣4.5（不合题意，舍去）或k＝﹣5或k=− （不合题意，舍去），
2 3
3
∴k= 或k＝﹣5．
2
11．（2022春•思明区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大
值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣5，2）的“长距”为 5 ；
（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；
（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“长距”的定义解答即可；
（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；
故答案为：5．
（2）由题意可知|﹣2m+1|＝3，
解得m＝﹣1或2．
（3）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），
解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），
∴k＝1或k＝2．
12．（2022•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），
其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，
1+3×4），即Q（7，13）．
1
（1）已知点A（2，﹣6）的“ 级关联点”是点B，求点B的坐标；
2
（2）已知点P的5级关联点为（9，﹣3），求点P坐标；
（3）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；
（2）设点P的坐标为（a，b），根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；
（3）根据关联点的定义和点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，即可求出N的坐标．1 1 1
【解答】解（1）∵点A（2，﹣6）的“ 级关联点”是点B，故点B的坐标为（ ×2−6，2− ×6）
2 2 2
∴B的坐标（﹣5，﹣1）；
（2）设点P的坐标为（a，b），
∵点P的5级关联点为（9，﹣3），
{ 5a+b=9
∴ ，
a+5b=−3
{ a=2
解得 ，
b=−1
∵P（2，﹣1）；
（3）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”为M′（﹣4（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣4）×2m），
当N位于y轴上时，﹣4（m﹣1）+2m＝0，
解得：m＝2，
∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，
∴N（0，﹣15）；
当N位于x轴上时，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，
1
解得m=− ，
7
30
∴﹣4（m﹣1）+2m= ，
7
30
∴N（ ，0）；
7
30
综上所述，点N的坐标为（0，﹣15）或（ ，0）．
7
13．（2022春•上杭县期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y
轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．
例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．
（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为
等差点的是 B 与 D ．
（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．
【分析】（1）利用“等差点”的定义，找出到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于3的点即可；
（2）利用“等差点”的定义列方程解答即可．
【解答】解：（1）∵点A（3，﹣6）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点B（﹣4，1）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点C（﹣3，7）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4，点D（2，﹣
5）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，
∴与点A互为等差点的是B与D；
故答案为：B与D；
（2）∵点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，
∴n+1﹣1＝|4|﹣|﹣2|或4﹣|﹣2|＝﹣n﹣1﹣1，
解得n＝2或n＝﹣4，
∴点N的坐标为（1，3）或（1，﹣3）．
14．（2022秋•海淀区校级期中）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P （a，b），P （c，
1 2
b），P （c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 P ，P ，P 的“完美间距″．例如：
3 1 2 3
如图，点P （﹣1，2），P （1，2），P （1，3）的“完美间距”是1．
1 2 3
（1）点Q （4，1），Q （5，1），Q （5，5）的“完美间距”是 1 ；
1 2 3
（2）已知点O（0，0），A（4，0），B（4，y）．
①若点O，A，B的“完美间距”是2，则y的值为 ± 2 ；
②点O，A，B的“完美间距”的最大值为 4 ；
③已知点C（0，4），D（﹣4，0），点P（m，n）为线段CD上一动点，当O（0，0），E（m，
0），P（m，n）的“完美间距”取最大值时，求此时点P的坐标．
【分析】（1）分别计算出Q Q ，Q Q ，Q Q 的长度，比较得出最小值即可；
1 2 2 3 1 3
（2）①分别计算出OA，AB的长度，由于斜边大于直角边，故OB＞OA，OB＞AB，所以“最佳间
距”为OA或者AB的长度，由于“最佳间距”为1，而OA＝4，故OB＝2，即可求解y的值；
②由①可得，“最佳间距”为OA或AB的长度，当OA≤AB时，“最佳间距”为OA＝4，当OA＞AB
时，“最佳间距”为AB＜4，比较两个“最大间距”，即可解决；
③同①，当点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”为OE或者PE的长度，先求出直线CD的解析式，用m表示出线段OE和线段PE的长度，分两类讨论，当OE≥PE和OE＜PE时，求
出各自条件下的“最佳间距”，比较m的范围，确定“最佳间距”的最大值，进一步求解出P点坐标．
【解答】解：（1）如图，在给出图形中标出点Q ，Q ，Q ，
1 2 3
∵Q （4，1），Q （5，1），Q （5，5），
1 2 3
∴Q Q ＝1，Q Q ＝4，
1 2 2 3
在Rt△Q Q Q 中，Q Q =√17，
1 2 3 1 3
∵1＜4＜√17，
“最佳距离”为1；
故答案为：1；
（2）①如图：
∵O（0，0），A（4，0），B（4，y），
∴OA＝4，AB＝|y|，
在直角△ABO中，OB＞OA，OB＞AB，
又∵点O，A，B的“最佳间距”是2，
且4＞2，
∴|y|＝2，
∴y＝±2，
故答案为：±2；②由①可得，OB＞OA，OB＞AB，
∴“最佳间距”的值为OA或者是AB的长，
∵OA＝4，AB＝|y|，
当AB≥OA时，“最佳间距”为4，
当AB＜OA时，“最佳间距”为|y|＜4，
∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为4，
故答案为：4；
③设直线CD为y＝kx+4，代入点D得，如图，
﹣4k+4＝0，
∴k＝1，
∴直线CD的解析式为：y＝x+4，
∵E（m，0），P（m，n），且P是线段CD上的一个动点，
∴PE∥y轴，
∴OE＝﹣m，PE＝n＝m+4，
Ⅰ、当﹣m≥m+4时，即OE≥PE时，m≤﹣2，“最佳间距”为m+4，此时m+4≤2，
Ⅱ、当﹣m＜m+4时，即OE＜PE时，﹣2＜m＜0，“最佳间距“为﹣m，此时﹣m＜2，
∴点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”取到最大值时，m＝﹣2，
∴m＝﹣2，
∴n＝m+4＝2，
∴P（﹣2，2）．
15．（2022春•泗水县期末）对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐
标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，
2）的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．
（1）已知点A（﹣3，4），B（√2，﹣2√2），求点A，点B的折线距离．
（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．【分析】（1）根据题意可以求得折线距离[A]，[B]；
（2）根据题意可知y＞0，然后根据[M]＝2，即可求得点M的坐标．
【解答】解：（1）[A]＝|−3|+|4|＝7，[B]＝|√2|+|﹣2√2|＝3√2；
所以点A，点B的折线距离分别为7、3√2；
（2）∵点M在x轴的上方，其横坐标均为整数，且[M]＝2，
∴x＝±1时，y＝1或x＝0时，y＝2，
∴点M的坐标为（﹣1，1），（1，1），（0，2）．
16．（2022春•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，
x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点P（1，4）的3级关联点”为Q
（3×1+4，1+3×4）即Q（7，13），若点B的“2级关联点”是B（3，3）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N位于y轴上，求N的坐标．
{2x+ y=3
【分析】（1）由点B的“2级关联点”是B'（3，3）得出 ，解之求得x、y的值即可得；
x+2y=3
（2）由点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N的坐标为（﹣m+3，﹣5m﹣1），且点M′在y轴上知
﹣m+3＝0，据此求得m的值，再进一步求解可得．
【解答】解：∵点B的“2级关联点”是B'（3，3），
{2x+ y=3
∴ ，
x+2y=3
{x=1
解得： ，
y=1
则点B的坐标为（1，1）；
（2）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N的坐标为（﹣m+3，﹣5m﹣1），且点N在y轴上，∴﹣m+3＝0，
解得m＝3，
则﹣5m﹣1＝﹣16，
∴点N坐标为（0，﹣16）．
17．（2022春•罗山县期末）阅读理解，解答下列问题：
在平面直角坐标系中，对于点A（x，y）若点B的坐标为（kx+y，x﹣ky），则称点B为A的“k级牵挂
点”，如点A（2，5）的“2级牵挂点”为B（2×2+5，2﹣2×5），即B（9，5）．
（1）已知点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P ，求点P 的坐标，并写出点P 到x轴的距离；
1 1 1
（2）已知点Q的“4级牵挂点”为Q （5，﹣3），求Q点的坐标及所在象限．
1
【分析】（1）根据“k级牵挂点”的定义判定结论；
（2）设Q（x，y），根据点Q的“4级牵挂点”为Q （5，﹣3）可得关于x、y的二元一次方程组，解
1
方程组求出x、y的值即可．
【解答】解：（1）∵点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P ，
1
∴﹣5×（﹣3）+1＝16，﹣5﹣（﹣3）×1＝﹣2，
即P （16，﹣2），
1
点P 到x轴的距离为2；
1
（2）∵点Q的“4级牵挂点”为Q （5，﹣3），
1
设Q（x，y）．
{ 4x+ y=5
则有 ，
x−4 y=−3
{x=1
解得 ，
y=1
∴Q（1，1），点Q在第一象限．
1 1
18．（2022秋•东城区校级期中）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（ m+a， n+b），
2 2
其中a，b为常数，f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A
（x，y）规定“F变换”；点A（x，y）在F的变换下的对应点即为坐标是f（x，y）的点A'．
（1）当a＝0，b＝0时，f（﹣2，4）＝ （﹣ 1 ， 2 ） ．
（2）若点P（2，﹣2）在F变换下的对应点是它本身，求ab的值．
【分析】（1）根据新定义运算法则解得；
（2）根据新定义运算法则得到关于a、b的方程，通过解方程求得它们的值即可．1 1
【解答】解：（1）依题意得：f（﹣2，4）＝（ ×（﹣2）+0， ×4﹣0）＝（﹣1，2）．
2 2
故答案是：（﹣1，2）；
1 1
（2）依题意得：f（2，﹣2）＝（ ×2+a， ×（﹣2）﹣b）＝（2，﹣2）．
2 2
1 1
所以 ×2+a＝2， ×（﹣2）+b＝﹣2，
2 2
所以a＝1，b＝﹣1．
∴ab＝﹣1．
19．（2022春•海门市期末）在平面直角坐标系 xOy中，点A（x ，y ），B（x ，y ），若x ﹣x ＝y ﹣
1 1 2 2 2 1 2
y ≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6
1
﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B （2，0），B （﹣1，﹣7），B （0，﹣6）中，点A的
1 2 3
“对角点”为点 B （﹣ 1 ，﹣ 7 ）， B （ 0 ，﹣ 6 ） ；
2 3
（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取
值范围．
【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据新定义可以得B 、B 与A点互为“对角点”；
2 3
故答案为：B （﹣1，﹣7），B （0，﹣6）；
2 3
（2）①当点B在x轴上时，
设B（t，0），由题意得t﹣（﹣2）＝0﹣4，解得t＝﹣6，
∴B（﹣6，0）．
②当点B在y轴上时，
设B（0，b），
由题意得0﹣（﹣2）＝b﹣4，
解得b＝6，
∴B（0，6）．
综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．
（3）由题意得m﹣3＝n﹣（﹣1），
∴m＝n+4．
∵点B在第四象限，
{m＞0
∴ ，
n＜0
{n+4＞0
∴ ，
n＜0
解得﹣4＜n＜0，
此时0＜n+4＜4，
∴0＜m＜4．
由定义可知：m≠3，n≠﹣1，
∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
故答案为：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
20．（2020•朝阳区校级开学）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x ，y ），N
1 1
（x ，y ）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|x ﹣x |+|y ﹣y |．例如图1中，点M（﹣2，3）与点N
2 2 1 2 1 2
（1，﹣1）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．
根据上述知识，解决下面问题：
（1）已知点P（3，﹣4），在点A（5，2），B（﹣1，0），C（﹣2，1），D（0，1）中，与点P之间
的“折线距离”为8的点是 A ， B ， D ；
（2）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，求t的值；
（3）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，t+1），且d（P，Q）＝8，直接写出t的取值
范围．【分析】（1）分别求出A，B，C，D与点P之间的“折线距离”求解．
（2）通过d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8求解．
（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8，分类讨论t的取值范围去绝对值符号求解．
【解答】解：（1）由题意得d（P，A）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8，
d（P，B）＝|3﹣（﹣1）|+|﹣4﹣0|＝8，
d（P，C）＝|3﹣（﹣2）|+|﹣4﹣1|＝10，
d（P，D）＝|3﹣0|+|﹣4﹣1|＝8，
故答案为：A，B，D．
（2）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣2|＝10，
解得t＝﹣1或t＝7．
（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|，
化简得d（P，Q）＝|3﹣t|+|5+t|，
当﹣5≤t≤3时，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t+5+t＝8，满足题意．
当t＜﹣5时，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t﹣5﹣t＝﹣2﹣2t，不满足题意．
当t＞3时，|3﹣t|+|5+t|＝t﹣3+5+t＝2+2t，不满足题意．
∴﹣5≤t≤3．
21．（2022春•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x ，y ），N（x ，y ），定义k|
1 1 2 2
x ﹣x |+（1﹣k）|y ﹣y |为点M和点N的“k阶距离”，其中0≤k≤1．例如：点M（1，3），N（﹣2，
1 2 1 2
1 1 4 7
4）的 阶距离”为 |1−(−2)|+ |3−4|= ．已知点A（﹣1，2）．
5 5 5 5
1
（1）若点B（0，4），求点A和点B的“ 阶距离”；
4
1
（2）若点B在x轴上，且点A和点B的“ 阶距离”为4，求点B的坐标；
31
（3）若点B（a，b），且点A和点B的“ 阶距离”为1，直接写出a+b的取值范围．
2
1
【分析】（1）根据“k阶距离”的定义计算点A与点B之间的“ 阶距离”．
4
1
（2）设出点B的坐标，再根据“ 阶距离”的定义列出方程，求出字母的值，从而确定点 B的坐标，
3
注意x轴上的点的纵坐标为0．
1
（3）根据“ 阶距离”的定义列出关于字母a和b的式子，当a和b在不同的取值范围内将含有a和b
2
的式子中的绝对值去掉，从而求得a+b的取值范围．
1 1 1
【解答】解：（1）由题知，点A（﹣1，2）和点B（0，4）的“ 阶距离”为 |−1−0|+（1− ）|2
4 4 4
1 6 7
﹣4|= + = ．
4 4 4
（2）∵点B在x轴上，
∴设点B的横坐标为m，则点B的坐标为（m，0），
1
∵点A（﹣1，2）和点B（m，0）的“ 阶距离”为4，
3
1 1
∴ |−1−m|+(1− )|2−0|= 4，
3 3
1 8
|−1−m|= ，
3 3|﹣1﹣m|＝8，
∴﹣1﹣m＝8或﹣1﹣m＝﹣8，
∴m＝﹣9或7，
∴点B的坐标为（﹣9，0）或（7，0）．
1
（3）∵点A（﹣1，2）和点B（a，b）的“ 阶距离”为1，
2
1 1
∴. |−1−a|+(1− )|2−b|=1，
2 2
|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝2，
①当a≤﹣1，且b≤2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝﹣1﹣a+2﹣b，由此得出a+b＝﹣1，
②当a≤﹣1，且b＞2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝﹣1﹣a+b﹣2，由此得出b＝5+a，则a+b＝2a+5，
∵b＞2，
即5+a＞2，
∴a＞﹣3
∵a≤﹣1，
∴﹣3＜a≤﹣1
∴﹣1＜2a+5≤3，即﹣1＜a+b≤3，
③当a＞﹣1，且b＜2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+2﹣b，由此得出a＝b﹣1，则a+b＝2b﹣1，
∵a＞﹣1，
即b﹣1＞﹣1，
∴b＞0，
∵b＜2，
∴0＜b＜2，
∴﹣1＜2b﹣1＜3，即﹣1＜a+b＜3，
④当a＞﹣1，且b≥2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+b﹣2，由此得出a+b＝3，
综上所得，﹣1≤a+b≤3．
22．（2022春•福州期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义；a＝2x﹣y，
b＝x+y，将点M（a，b）与N
（b，a）称为点P的一对“关联点”．例如：P（2，3）的一对“关联点”是点（1，5）与（5，1）．
（1）点Q（4，3）的一对“关联点”是点 （ 5 ， 7 ） 与 （ 7 ， 5 ） ．
（2）点A（x，8）的一对“关联点”重合，求x的值．
（3）点B一个“关联点”的坐标是（﹣1，7），求点B的坐标．【分析】（1）根据“关联点”定义求解；
（2）根据“关联点”的定义列方程求解；
（3）根据“关联点”的定义列方程组求解，注意分类讨论，不要漏解．
【解答】解：（1）∵2×4﹣3＝5，4+3＝7，
∴点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．
故答案为：（5，7）与（7，5）．
（2）由题意得：2x﹣8＝x+8，
解得：x＝16．
（3）设B（x，y），
{2x−y=−1 {2x−y=7
∴ 或 ，
x+ y=7 x+ y=−1
{x=2 { x=2
∴ 或 ，
y=5 y=−3
∴B（2，5）或B（2，﹣3）．
23．（2022春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定三种变换如下：
①f（a，b）＝（﹣a，b）．如：f（7，3）＝（﹣7，3）；
②g（a，b）＝（b，a）．如：g（7，3）＝（3，7）；
③h（a，b）＝（﹣a，﹣b）．如：h（7，3）＝（﹣7，﹣3）；
例如：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（3，2）
规定坐标的部分规则与运算如下：
①若a＝b，且c＝d，则（a，c）＝（b，d），反之若（a，c）＝（b，d），则a＝b，且c＝d．
②（a，c）+（b，d）＝（a+b，c+d）；（a，c）﹣（b，d）＝（a﹣b，c﹣d）．
例如：f（g（2，﹣3））+h（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）+h（﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝
（6，0）．
请回答下列问题：
（1）化简：f（h（6，﹣3））＝ （ 6 ， 3 ） （填写坐标）；
（2）化简：h（f（﹣1，﹣2））﹣g（h（﹣1，﹣2））＝ （﹣ 3 ， 1 ） （填写坐标）；
（3）若f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x））且k为绝对
值不超过5的整数，点P（x，y）在第三象限，求满足条件的k的所有可能取值．
【分析】（1）根据新定义进行化简即可．
（2）根据新定义进行化简即可．
（3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）f（h（6，﹣3））＝f（﹣6，3）＝（6，3），
故答案为：（6，3）；
（2）h（f（﹣1，﹣2））﹣g（h（﹣1，﹣2））＝h（1，﹣2）﹣g（1，2）＝（﹣1，2）﹣（2，1）
＝（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）；
（3）f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝f（﹣kx，2x）﹣h（﹣1﹣y，﹣2）＝（kx，2x）﹣
（1+y，2）＝（kx﹣1﹣y，2x﹣2），
h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x））＝h（﹣1，ky﹣1）+f（﹣y，﹣x）＝（1，1﹣ky）+（y，﹣x）
＝（y+1，1﹣ky﹣x），
∵f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x）），
∴（kx﹣1﹣y，2x﹣2）＝（y+1，1﹣ky﹣x），
{kx−1−y= y+1
∴ ，
2x−2=1−ky−x
{kx−2y=2
∴ ，
3x+ky=3
2k+6
{x=
k2+6
∴ ，
3k−6
y=
k2+6
∵点P（x，y）在第三象限，
{2k+6＜0
∴ ，
3k−6＜0
∴k＜﹣3，
∵k为绝对值不超过5的整数，
∴k的所有可能取值为﹣4、﹣5．
24．（2022春•嵩县期末）对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐标
与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，2）
的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．
（1）已知点A（﹣3，4），B（√2，−3√2），求点A，点B的折线距离．
（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．【分析】（1）根据题意可以求得折线距离[A]，[B]；
（2）根据题意可知y＞0，然后根据[M]＝2，即可求得点M的坐标．
【解答】解：（1）[A]＝|−3|+|4|＝7，[B]＝|√2|+|−3√2|＝4√2；
（2）∵点M在x轴的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M]＝2，
∴x＝±1时，y＝1或x＝0时，y＝2，
∴点M的坐标为（﹣1，1），（1，1），（0，2）．
b+3
25．（2022春•濠江区期末）已知a，b都是实数，设点P（a+2， ），且满足3a＝2+b，我们称点P
2
为“梦之点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“梦之点”，并说明理由．
（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【分析】（1）直接利用“梦之点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用“梦之点”的定义得出m的值进而得出答案．
b+3
【解答】解：（1）当A（3，2）时，a+2＝3， =2，
2
解得a＝1，b＝1，
则3a＝3，2+b＝3，
所以3a＝2+b，
所以A（3，2），是“梦之点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，b+3
∴a+2＝m﹣1， =3m+2，
2
∴a＝m﹣3，b＝6m+1，
∴代入3a＝2+b有3（m﹣3）＝2+（6m+1），
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴点M在第三象限．
26．（2022秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x ，y ），B（x ，y ），若x ﹣x ＝y
1 1 2 2 2 1 2
﹣y ≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝
1
6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B （2，0），B （﹣1，﹣7），B （0，﹣6）中，点A的
1 2 3
“对角点”为点 B （﹣ 1 ，﹣ 7 ）， B （ 0 ，﹣ 6 ）； ；
2 3
（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（−√3，2√3）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求B
点的坐标．
【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据新定义可以得B 、B 与A点互为“对角点”；
2 3
故答案为：B （﹣1，﹣7），B （0，﹣6）；
2 3
（2）①当点B在x轴上时，
设B（t，0），由题意得t﹣5＝0﹣（﹣3），
解得t＝﹣8，∴B（8，0）．
②当点B在y轴上时，
设B（0，b），
由题意得0﹣5＝b﹣（﹣3），
解得b＝﹣8，
∴B（0，﹣8）．
综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（8，0）或（0，﹣8）．
（3）由题意得2m+√3=−n﹣2√3，
∴2m＝﹣n﹣3√3．
∵m、n互为相反数，
∴m+n＝0，
解得m+n+m＝﹣3√3，
∴m＝﹣3√3，n＝3√3．
∴2m＝﹣6√3，
∴B（﹣6√3，﹣3√3）．
27．（2022秋•朝阳区校级期末）如图①，将射线OX按逆时针方向旋转 角（0°≤ ＜360°），得到射线
OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP＝m，那么我们规定用（m，β ）表示点βP在平面内的位置，
并记为P（m， ）．例如，图2中，如果OM＝5，∠XOM＝110°，那β么点M在平面内的位置记为M
（5，110°），根β据图形，解答下列问题：
（1）如图3，若点N在平面内的位置记为N（6，30°），则ON＝ 6 ，∠XON＝ 3 0 °．
（2）已知点A在平面内的位置记为A（4，30°），
①若点B在平面内的位置记为B（3，210°），则A、B两点间的距离为 7 ．
②若点B在平面内的位置记为B（m，90°），且AB＝4，则m的值为 4 ．
③若点B在平面内的位置记为B（3， ），且AB＝5，则a的值为 120 ° 或 300 ° ．
α
【分析】（1）根据新定义直接得到答案；
（2）①先根据新定义画图，证明A，O，B三点共线，从而可得答案；②先根据新定义画图，证明△AOB是等边三角形，从而可得答案；③先根据新定义画图，证明△AOB，△AOB 是直角三角形，从
1
而可得答案．
【解答】解：（1）点N在平面内的位置记为N（6，30°），则ON＝6，∠XON＝30°．
故答案为：6，30；
（2）①如图，
∵A（4，30°），B（3，210°），
∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3，∠BOX＝360°﹣210°＝150°，
∴∠AOX+∠BOX＝180°，
∴A，O，B三点共线，
∴AB＝4+3＝7；
故答案为：7；
②如图，∵A（4，30°），B（m，90°），
∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝m，∠BOX＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴AB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝m＝4；
故答案为：4；
③如图，∵A（4，30°），B（3， ），
∴OA＝4，∠AOX＝30°，αOB＝3＝OB
1
，∠BOX＝ 或∠B
1
OX＝360°﹣ ，
∵AB＝5， α α
∴OB2+OA2＝25＝AB2，
∴∠AOB＝90°＝∠AOB ，
1
∴ ＝90°+30°＝120°或 ＝120°+180°＝300°．
故α答案为：120°或300°．α
28．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P不在同一直线上，对于点P和线段AB
给出如下定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q在线段AB上，则称点P为线段AB的内垂
点，当垂足Q满足|AQ﹣BQ|最小时，称点P为线段AB的最佳内垂点．
已知点S（﹣3，1），T（1，1）．
1
（1）在点P （2，4），P （﹣4，0），P （﹣2， ），P （1，3）中，线段ST的内垂点为 P ， P
1 2 3 2 4 3 4
；
（2）若点M是线段ST的最佳内垂点，则点M的坐标可以是 （﹣ 1 ， 4 ），（﹣ 1 ， 2 ） （写出两个
满足条件的点M即可）；
（3）已知点C（m﹣2，3），D（m，3），若线段CD上的每一个点都是线段ST的内垂点，直接写出
m的取值范围；
（4）已知点E（n+2，0），F（n+4，﹣1），若线段EF上存在线段ST的最佳内垂点，直接写出n的取
值范围．【分析】（1）利用图象法画出图形解决问题即可；
（2）满足条件的点在线段ST的中垂线上；
（3）构建不等式组解决问题即可；
（4）构建不等式组解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，线段ST的内垂点为P ，P ．
3 4
故答案为：P ，P ；
3 4
（2）如图，点M（﹣1，4），M′（﹣1，2）是线段ST的最佳内垂点，
故答案为：（﹣1，4），（﹣1，2）（答案不唯一）；
{m−2≥−3{m≥−3
（3）由题意， ，
m≤1 m−2≤1
解得﹣1≤m≤1．
故答案为：﹣1≤m≤1．{n+4≥−1
（4）如图2中，观察图象可知，m满足 ，
n+2≤−1
解得﹣5≤n≤﹣3．
29．（2022春•嘉鱼县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边
在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．
（1）点A的坐标为 （ 1 ， 4 ） ；点D的坐标为 （ 5 ， 4 ） ；
（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域
（不含边界）为W：
①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为 3 ；
②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先求出正方形的边长为BC＝4，再求点的坐标即可；
（2）①画出正方形A'B'C'D'，结合图形求解即可；
②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形ABCD，找到恰好有3个整数解的情况即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，0），点C（5，0），
∴BC＝4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A（1，4），D（5，4），故答案为：（1，4），（5，4）；
（2）①如图：共有3个，
故答案为：3；
②在△OMN中共有6个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣
2，2），（﹣3，1），
∵区域W内恰好有3个整点，
∴2＜m≤3或6≤m＜7．
30．（2022春•李沧区期末）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们
的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：
如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l ，l ，l ，l 之间的距离d叫做
1 2 1 2
水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂
高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l ，l ，l ，l 之间的距离h叫做四边形的铅垂高．
3 4 3 4
【结论提炼】
1
容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S= dh”
2
【结论应用】
为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．
已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为 4 ，
所以△ABC面积的大小为 2 0 ．
【再探新知】
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带
着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四
个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形 ABCD面积的大小
1
是 3 6 ；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是 37. 5 ，由此发现：用“S= dh”这一方法
2
对求图4中四边形的面积 不合适 ．（填“适合”或“不适合”）
（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四
个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形 ABCD面积的大
1
小是 3 6 ，用其它的方法进行计算得到面积的大小是 3 6 ，由此发现：用“S= dh”这一方法对
2
求图5中四边形的面积 合适 ．（“适合”或“不适合”）
（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个
1
点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S= dh”这一方法对求图6中四边形的面积 合适 ．
2
（填“适合”或“不适合”）
【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，
1 1
可以用“S= dh”来求面积．那么，可以用“S= dh”来求面积的四边形应满足的条件是： 一条对角
2 2
线等于水平宽或铅垂高 ．【分析】【结论应用】直接代入公式即可；
【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面
积可得答案；
（2）（3）与（1）同理；
1
【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S= dh”来求面积．
2
1
【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC =
2
×10×4= 20，
故答案为：4，20；
【再探新知】
（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利 用 四 边 形 ABCD 所 在 的 矩 形 面 积 减 去 周 围 四 个 三 角 形 面 积 为 8×91 1 1 1
− ×2×6− ×3×5− ×6×5− ×3×4=37.5，
2 2 2 2
1
∴用“S= dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，
2
故答案为：36，37.5，不合适；
（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利 用 四 边 形 ABCD 所 在 的 矩 形 面 积 减 去 周 围 四 个 三 角 形 面 积 为 8×9
1 1 1 1
− ×3×5− ×6×5− ×3×6− ×3×3=36，
2 2 2 2
1
∴用“S= dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
2
故答案为：36，36，合适；
（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，
利 用 四 边 形 ABCD 所 在 的 矩 形 面 积 减 去 周 围 四 个 三 角 形 面 积 为 10×9
1 1 1 1
− ×5×7− ×4×6− ×5×3− ×4×4=45，
2 2 2 2
1
∴用“S= dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
2
故答案为：合适；
1
【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S= dh”来求面积，
2
故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．
