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第 11 章 三角形全章复习攻略与检测卷（3 种线段 1 个关系 2
个运算 2 种方法 3 种思想）
【目录】
倍速学习五种方法
【3种线段】
1.三角形的高
2.三角形的中线
3.三角形的角平分线
【1个关系】
三角形三边关系
【2个运算】
1.三角形中有关角的运算
2.多边形的有关运算
【2种方法】
1.巧用面积法解决问题
2.巧用整体法解决问题
【3种思想】
1.转化思想
2.分类讨论思想
3.方程思想
【检测卷】
【倍速学习五种方法】
【3 种线段】
1.三角形的高1.如图，△ABC中AB边上的高是（ ）
A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC
【解答】解：△ABC中AB边上的高是线段CD．
故选：C．
2．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于
．
【解答】解：如图．
∵BD＝3，CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝2，
又∵AD是BC边上的高，AD＝2，
∴△ABC的面积＝ BC•AD＝ ×2×2＝2．
故答案为2．
3．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．
【解答】解：如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E．∵ BC•AE＝ AC•BD，AC＝8，BC
＝4，高BD＝3，
∴ ×4AE＝ ×8×3，
则AE＝6．4．（2022秋·八年级课时练习）
(1)用三角尺分别作出锐角三角形 ，直角三角形 和钝角三角形 的各边上的高线．
(2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？
【详解】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直
角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．
【点睛】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．
2.三角形的中线
5．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习） 在正方形网格中的位置如图所示，点 ， ， ，
均在格点上，则点 是 的（ ）A．三条内角角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．无法确定
【答案】B
【详解】如图，点E、F分别是 的中点，
∴A 是 的中线，
∴点P是 三条中线的交点．
故选B．
6．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图， 是 的中线，E是 的中点，连结 ， ．
若 的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【详解】∵ 是 的中线，
∴ ，
∵E是 的中点，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
7．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
8.已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是 ．
【解答】解：∵BD是△ABC的一条中线，
∴AD＝CD，
而△ABD与△BCD的周长分别为21，12，并且BD公共，
∴AB﹣BC的长＝21﹣12＝9．
9．（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在 中，已知点 分别为 的中
点，若 的面积为 ，则阴影部分的面积为 _______
【答案】1【详解】解：∵点E是 的中点，
， ，
，
，
∵点F是 的中点，
．
3.三角形的角平分线
10.（2023秋·八年级单元测试）如图，在 中， 平分 交 于点 ，过点 作 交
于点 ．若 ， ，则 ______．
【答案】39°．
【详解】解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
【1 个关系】
三角形三边关系
11．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期中）有4条线段的长度分别是 和 ，选择其中能组
成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形．
【答案】3
【详解】解：（1）当取 、 、 三条线段时，∵ ， ，故能构成三角形；
（2）当取 、 、 三条线段时，∵ ，故不能构成三角形；（3）当取 、 、 三条线段时，∵ ， ，故能构成三角形；
（4）当取 、 、 三条线段时，∵ ， ，故能构成三角形．
综上所述，可作3个不同的三角形．
12．（2022秋·八年级课时练习）四根木棒的长度分别为 ．从中取三根，使它们
首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来．
【详解】解：当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒可以组成三角形；
当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒可以组成三角形；
当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒不可以组成三角形；
当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒可以组成三角形；
综上所述，一共有3种取法：取 这三根木棒，取 这三根木棒，取
这三根木棒．
13．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期中）如果一个三角形的一边长为9cm、另一边长为1cm，求：
(1)这个三角形的第三边的范围；
(2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
【答案】(1)8＜x＜10；
(2)19cm．
【详解】（1）设第三边的长为x cm，
∵三角形的一边长为9cm，另一边长为1cm，
∴9-1＜x＜9+1，
即8＜x＜10；
（2）∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为9cm，
∴三角形的周长为19cm．14．（2022秋·广东惠州·八年级期中）三角形的两边分别为2cm和4cm，且周长为偶数，求第三边长．
【答案】4cm
【详解】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a可以为4cm．
三角形的周长是：2+4+4＝10cm．
∴第三边长为4cm．
【2 个运算】
1.三角形中有关角的运算
15.（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）在 中， ， ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ， ，
，
16．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知直线 ，一个含 角的直角三角尺
如图叠放在直线 上，斜边 交 于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵含 角的直角三角尺
∴∠A=30°，∠ACB=60°
∵∴∠1=∠ACB=60°
17．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在 中， 是角平分线， 是高，已知 ，
，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
18.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 度．
【答案】如图连接CE，
根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，
在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．19.（2022·河南郑州·八年级期末）如图，BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外角的平分线，
如果ABP20，ACP50，则P__________．
【答案】30�
【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P=∠PCM-∠CBP=50°-20°=30°，
故答案为：30�．
20.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
【答案与解析】
解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，
知∠C＝100°．
又∵ ∠C＝2∠B，
∴ ∠B＝50°．
∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．
21.已知，如图 ，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
【答案】
解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A
设∠A=x
则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°
解得：x=36°
∴∠C=2x=72°
在△BDC中， BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=180°－90°-72°=18°
22.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，
∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．
【答案与解析】
解：∵ ∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，
∴ ∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，
∴ ∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．
23.如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.
∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.
∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.
∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.
24．（2022秋·天津津南·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 为 的平
分线， ，垂足为 ，求 的度数．【答案】 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 中 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
25.如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC
＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝
100°.
方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．26.（一题多解）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.
解法三：连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
27．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求
∠BPC的度数．（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝ °；
（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝ （用含∠A的式子表示），并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠A＝68°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×112°＝56°，
∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，
故答案为：124°；
（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
由（1）得：∠PBC+∠PCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝90°﹣ ∠A
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣ ∠A）＝90°+ ∠A
故答案为：90°+ ∠A．
28.如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.
(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；
(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．
解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．
解：(1)根据外角的性质得∠ACD＝∠A＋∠ABC＝60°＋50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠ACD＝55°，∠2＝∠ABC＝25°.∵∠E＋∠2＝∠1，∴∠E＝∠1－∠2＝30°；
(2)猜想：∠E＝∠A；
(3)∵BE、CE是两外角的平分线，∴∠2＝∠CBD，∠4＝∠BCF，而∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠BCF＝∠A＋
∠ABC，∴∠2＝(∠A＋∠ACB)，∠4＝(∠A＋∠ABC)．∵∠E＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E＋(∠A＋∠ACB)＋
(∠A＋∠ABC)＝180°，即∠E＋∠A＋(∠A＋∠ACB＋∠ABC)＝180°.∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∴∠E＋∠A＝90°.
方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E＝∠A；图②中，∠E＝90°－∠A.
2.多边形的有关运算
29.（2023春·山东泰安·八年级校考期末）正多边形的内角和为 ，则这个多边形的一个内角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵正多边形的内角和为 ，
∴ ，
解得： ，
∴这个多边形的一个内角为 ；
故选C
【点睛】本题考查的是正多边形的内角和问题，熟记多边形的内角和公式与正多边形的定义是解本题的关
键．
30.（2023春·浙江·八年级专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四
边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十
边形对角线的总条数（ ）A．54 B．44 C．35 D．27
【答案】C
【分析】根据一个n边形的对角线条数为 进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有 条对角线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为 ．
31.（2023秋·辽宁阜新·八年级统考期末）我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形
有5条对角线，那么n边形有______条对角线．
【答案】
【分析】由于 边形从一个顶点出发可画 条对角线，所以 边形共有 条对角线，根据以上关
系直接计算即可．
【详解】解： 三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，
边形有 条对角线．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形对角线的定义及计算公式，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问
题的关键．
32.（2022春·八年级单元测试）已知一个多边形的每个外角都是 ，那么这个多边形的边数是__________．
【答案】12
【分析】利用任何多边形的外角和是 除以外角度数即可求出答案．【详解】解：多边形的外角的个数是 ，
所以多边形的边数是12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
33．（2023秋·八年级单元测试）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成
2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．
【答案】2025
【分析】从 边形的一个顶点出发作它的对角线，将 边形分成 个三角形，由此即可解决问题．
【详解】解： 从 边形的一个顶点出发作它的对角线，将 边形分成 个三角形，
，
，
故答案为：2025．
【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从 边形的一个顶点出发作它的对角线，将
边形分成 个三角形．
34.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现
少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的
度数，进一步得出这个多边形的边数．
解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋
45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，
1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．
35．（2023春·广东茂名·八年级校考阶段练习）已知一个正多边形其一个内角与其相邻的一个外角的度数
之比是 ，求这个多边形是几边形？
【答案】这个多边形是九边形
【分析】设这个正多边形的边数为 ，根据多边形的内角和公式以及多边形的外角和为 ，由此列出方
程，解方程即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为 ，
由题意得： ，
解得： ，．
答：这个多边形是九边形．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式及多边形的外角和是 是解题
的关键．
36.（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．
（1）求n的值．
（2）求这个n边形的内角和．
【答案】（1）12；（2）1800°
【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案．
（2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可．
【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30°
∴n＝360°÷30°＝12；
（2）∵每个内角=180°-30°=150°，
∴内角和=12×150°＝1800°．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°．
37.已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多 ，求这个多边形是几边形？并求出这个多
边形的内角和．
【答案】十二边形，1800°
【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝
180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．
【详解】解：设外角为x°，
由题意得：x＋4x＋30＝180，
解得：x＝30，
360°÷30°＝12，
∴（12−2）×180＝1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方
程求解即可．
38.（2023春·全国·八年级专题练习）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：(1)“多边形内角和为 ”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)多加的那个外角为多少度？
【答案】(1)见解析
(2)十三边形
(3)40°
【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【详解】（1）由 可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，
故不可能是多边形内角和．
（2）由 可知，2020÷180=11……40，所以 ，所以
故多边形是十三边形．
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记 是解题的关键．
【2 种方法】
1.巧用面积法解决问题
39．（2022秋·广东广州·八年级广州大学附属中学校考开学考试）在 中， ， ，
于D．（1）如图①，已知 于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作 于E， 于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间
的关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析， ．
【详解】解：（1）证明：
（2）如图②，连接PB，
，
（3）如图③，即为图像，连接PB，作 交BC的延长线于E点，
，
2.巧用整体法解决问题
40．（2022秋·广东江门·八年级江门市福泉奥林匹克学校校考开学考试）已知， 中， ，
点 、 分别是边 ， 上的点，点 是斜边 上一动点.令 ， ， ．
(1)如图（1）所示，当点 运动至 时，则 ______；
(2)如图（2）所示，当 运动至 上任意位置时，试探求 ， ， 之间的关系：
(3)如图（3）所示，当点 运动到 的延长线上，再次探求 ， ， 之间的关系．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1） ， ，
，
四边形 的内角和是 ，
，
，
故答案为： ；
（2） ，
理由： ，
，
，
四边形 的内角和是
，
；
（3）由三角形的外角性质可知， ，
．
41．（2022·全国·八年级专题练习）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖
形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：
由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“ ”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC= ．
所以∠APC= ．
请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需
说明理由）；
解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与
∠B、∠D的关系为
解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的
关系为
【答案】问题1、问题2答案见解析；解决问题1：∠P=180°－ （∠B＋∠D）；解决问题2：∠P=90°＋
（∠B＋∠D）
【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；
问题2：根据三角形外角的性质和问题1的结论求解即可；
解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-
∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
【详解】解：问题1：连接PO并延长．
则∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，
∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；
故答案为：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；
问题2：如图2，由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“三角形外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC=∠B+∠D．
所以∠APC= （∠B＋∠D）=38°．
解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，
在四边形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，
在四边形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，
∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，
∴∠P=180°－ （∠B＋∠D）；
解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，
∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，
∴∠P=90°＋ （∠B＋∠D）．
故答案为：∠P=90°＋ （∠B＋∠D）．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，四边形的内角和，解题的关键在于能够熟
练掌握相关知识进行求解.
【3 种思想】
1.转化思想
42.（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，
与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．
【答案】80
【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可
求出∠C的度数．
【详解】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，
∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；
五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°；
∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．
故答案为：80．
【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
43.（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，
∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．【答案】70°
【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．
【详解】如图，
∵∠1+∠2+∠3=220°，
∴∠4+∠5=360°-220°=140°，
∴∠EAB+∠CBA=220°，
∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=110°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．
故答案是：70°．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于 360°
是解题的关键．
2.分类讨论思想
44.（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能
是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选C
【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其
中的任何一种情况．
45.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．
【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、
AC边不等，故应分类讨论．
【答案与解析】
解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝ ．
(1)若AB+AD＝12，即 ，所以x＝8，
即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．
此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．
(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即 ，所以x＝10．
即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．
显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．
综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．
【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有
交代，因此，必须进行分类讨论
46.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【答案与解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，
∵ BD是AC边上的高(已知)，
∴ ∠ADB＝90°(垂直定义)．
又∵ ∠ABD＝30°(已知)，
∴ ∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．
又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝120°，
又∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝60°．
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，
∵ ∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．
∴ ∠BAC＝120°．
又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝60°．
∴ ∠C＝30°．
综上，∠C的度数为60°或30°．
47．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知：如图 ，在三角形 中， ， ，
将线段 沿直线 平移得到线段 ，连接 ．(1)当 时，请说明 ．
(2)如图 ，当 在 上方时，且 时，求 与 的度数．
(3)在整个运动中，当 垂直三角形 中的一边时，求出所有满足条件的 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3) 或 或
【详解】（1）证明： 将线段 沿直线 平移得到线段 ，
，
，
，
；
（2）解： 将线段 沿直线 平移得到线段 ，
，
， ，
，
，
， ，
；
（3）解：如图 ，当 时，， ，
，
，
，
，
；
如图 ，当 时，
，
，
如图 ，当 时，
∵ ，
∴
综上所述： 或 或 ．
3.方程思想
48.（2023春·全国·八年级专题练习）解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是 ，这个多边形是几边形？【答案】(1)八边形
(2)八边形
【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于 建立方程，解方程即可得；
（2）设这个多边形是 边形，重复加的一个角的度数为 ，则 ，再根据多边形的内角和公式
建立等式，结合 建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：设这个多边形是 边形，
由题意得： ，
解得 ，
答：这个多边形是八边形．
（2）解：设这个多边形是 边形，重复加的一个角的度数为 ，则 ，
由题意得： ，
解得 ，
则 ，即 ，
解得 ，
为正整数，
，
答：这个多边形是八边形．
【检测卷】
一．选择题（共10小题）
1．（2023•梁山县二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的
是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝ ∠ACBC．AE＝BE D．CD⊥BE
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角
形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE＝ ∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．
2．（2023春•泌阳县月考）如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、
点F，△ABC中AC边上的高是（ ）
A．CF B．BE C．AD D．CD
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求
解即可．
【解答】解：△ABC中，画AC边上的高，是线段BE．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．
3．（2023•霍林郭勒市模拟）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
所以这个多边形是四边形．
故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
4．（2023春•秀英区校级月考）已知三角形的三边长分别是3，8，x，若x的值为奇数，则x的值可以是
（ ）
A．5 B．7 C．11 D．13
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得 x的取值范
围，再进一步根据x是奇数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
8﹣3＜x＜8+3，
即5＜x＜11，
又x是奇数，则x＝7或9．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，注意奇数这一条件是解题关键．
5．（2022秋•红花岗区校级月考）如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝
95°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
【分析】根据折叠的性质，再根据邻补角的定义运用合理的推理，结合三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF＝∠B'EF，∠CFE＝∠C'FE，
∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，
∵∠1＝95°，
∴∠AEF＝ （180°﹣95°）＝42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°，
∴180°﹣77.5°＝∠2+77.5°，
∴∠2＝25°，故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质，解题关键在于根据轴对称变化关系找到对应边，对应角．
6．（ 2023 春•唐河县期末）如图，六边形 ABCDEF 内部有一点 G，连接 BG、DG．若
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】利用多边形的内角和定理计算出六边形内角和，计算出∠6+∠7+∠C的度数，然后可得∠BGD
的大小．
【解答】解：∵多边形ABCDEF是六边形，
∴∠1+∠5+∠4+∠3+∠2+∠6+∠7+∠C＝180°×（6﹣2）＝720°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，
∴∠6+∠7+∠C＝720°﹣440°＝280°，
∵多边形BCDG是四边形，
∴∠C+∠6+∠7+∠BGD＝360°，
∴∠BGD＝360°﹣（∠6+∠7+∠C）＝360°﹣280°＝80°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为
整数）．
7．（2022秋•广水市期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
8．（2023春•嘉定区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长；
②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高；
④线段CD是△BCD边BD上的高．
上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的高的定义即可判断②③④，根据两点间的距离定义即可判断①．
【解答】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确；②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确；
③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确；
④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确．
综上所述，正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查对三角形的角平分线、中线、高，两点间的距离等知识点的理解和掌握，能熟练
地运用性质进行判断是解此题的关键．
9．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分
线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，设∠CAE＝
∠BAE＝x，设∠C＝y，∠ABC＝3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．
【解答】解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，
设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，
由外角的性质得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝ ∠ABD＝ （2x+y）＝x+ y，
∴x+20＝x+ y，解得y＝40°，
∴∠1＝∠2＝ （180°﹣∠ABC）＝ ×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠DFB＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，
属于中考常考题型．
10．（2023春•承德县期末）如图，已知点 P是射线ON上一动点（不与点 O重合），∠O＝30°，若
△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜60°
B．90°＜∠A＜180°
C．0°＜∠A＜30°或90°＜∠A＜130°
D．0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°
【分析】由∠O＝30°可分两种情况：若∠A为钝角，则90°＜∠A＜180°﹣30°，可直接求解∠A的范围；
若∠A为锐角，则90°＜∠A＜180°﹣30°，再根据三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵∠O＝30°，
若∠A为钝角，则90°＜∠A＜180°﹣30°，
即90°＜∠A＜150°，
若∠A为锐角，则0°＜∠APN＜90°，
∵∠APN＝∠O+∠A，
∴∠A+30°＜90°，
∴0°＜∠A＜60°，
综上，∠A的取值范围为0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论是解题的关键．二．填空题（共10小题）
11．（2022秋•朝阳区校级期末）△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝ 60 ° ．
【分析】根据三角形的三个内角和是180°，结合已知条件求解．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C，
∴3∠C＝180°，
∠C＝60°．
故答案为60°．
【点评】此题主要是三角形内角和定理的运用，注意整体代入求解．
12．（2023春•海州区期末）一个多边形的内角和与外角和相等，则它是 四 边形．
【分析】设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程解答．
【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意列方程得，（n﹣2）•180°＝360°，
n﹣2＝2，
n＝4．
故答案为四．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角
和为360°．
13．（2023春•沈北新区期末）将Rt△ABC和Rt△DEF如图摆放，点C在EF上，AC经过点D，∠A＝
∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，∠CDF＝20°，则∠BCE的度数为 35 ° ．
【分析】利用直角三角形的性质可分别求出∠F，∠ACB的度数，在△CDF中，利用三角形内角和定理
可求出∠ACF的度数，再结合∠BCE+∠ACB+∠DCF＝180°，即可求出∠BCE的度数．
【解答】解：在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝30°，
∴∠F＝90°﹣∠E＝60°．
在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝45°．
在△CDF中，∠CDF＝20°，∠F＝60°，∴∠DCF＝180°﹣20°﹣60°＝100°．
又∵∠BCE+∠ACB+∠DCF＝180°，
∴∠BCE＝180°﹣45°﹣100°＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质以及三角形内角和定理，利用直角三角形的性质及三角形内角和
定理，求出∠ACF的度数是解题的关键．
14．（2023•丹阳市模拟）如图，五边形 ABCDE中，∠A＝125°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 305 °
．
【分析】先求出∠A对应的外角度数，根据多边形的外角和等于360°求出即可．
【解答】解：如图，
∵∠A＝125°，
∴∠5＝180°﹣∠A＝55°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣55°＝305°．
故答案为：305°．
【点评】本题考查了多边形的外角和，能知道多边形的外角和等于360°是解此题的关键．15．（2023春•遂平县期末）已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|＝ 8 ．
【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣13的值，然后去绝对值符号求解即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，
∴6＜x＜12，
∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，
∴|x﹣5|+|x﹣13|＝x﹣5+13﹣x＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三边关系确定x的取值范围，从而确定
绝对值内的代数式的符号，难度不大．
16．（2022秋•大安市期末）在△ABC中，已知∠A＝ ∠B＝ ∠C，则三角形的形状是 直角 三角形．
【分析】利用三角形内角和定理和已知条件列方程求解，再判断形状．
【解答】解：由题意，设∠C＝6x，由∠B＝4x，∠A＝2x，
则6x+4x+2x＝180°，
∴x＝15°，
∴最大角为∠C＝6x＝90°，
则三角形的形状是直角三角形．
【点评】此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．
17．（2023•郧西县模拟）如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角
的2倍，则此三角形最小内角的度数是 36 ° ．
【分析】先根据已知三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，互为邻补角的两个角和为180°，从
而求出这个外角与它相邻的内角的度数为 144°、36°．又知这个外角还等于与它不相邻的一个内角的 2
倍，所以可以得到这两个与它不相邻的内角分别为：72°、72°，则这个三角形各角的度数分别是36°，
72°，72°．
【解答】解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，
∴可设这一内角为x，则它的外角为4x，
∴有x+4x＝180°，
则x＝36°，4x＝144°．
又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，
∴这两个与它不相邻的内角分别为：72°、72°，
∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°，∴此三角形最小内角的度数是36°．
故答案为：36°
【点评】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角
性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
18．（2023•邵阳模拟）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来
解决．
19．（2023春•通州区月考）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 十二 边形．
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
故多边形是十二边形．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角
和公式计算可得．
20．（2022秋•张店区校级期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，
且S△ABC ＝4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，
那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD ＝S△ACD ＝ S△ABC ＝ ×4＝2（cm2），
同理S△BDE ＝S△CDE ＝ S△BCE ＝ ×2＝1（cm2），∴S△BCE ＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF ＝ S△BCE ＝ ×2＝1（cm2）．
故答案为1．
【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
三．解答题（共8小题）
21．（2023春•兴庆区期末）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形
的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
22．（2022•岳麓区校级开学）如图，已知在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AE是BC边上的高，AD是
∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两
锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴ ，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识
是解题的关键．
23．（2022秋•章贡区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分
∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．
【分析】首先利用三角形的内角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分线的性质求出∠DAF＝20°，最后
利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．
【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
而∠ABC＝82°，∠C＝58°，
∴∠CAB＝40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF＝20°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
24．（2023春•高碑店市校级月考）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B
重合），CD与BE交于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 1 ；
（2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数；
（3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数．【分析】（1）首先由CD是中线得BD＝AD，再分别求出△BCD和△ACD的周长，然后再求出它们的
差即可；
（2）先根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝31°，然后根据三角
形的外角定理可得∠BOC的度数；
（2）先利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝102°，由此可根据据角平分线的定义求出
∠OBC+∠OCB＝51°，然后利用三角形的内角和定理可求出∠BOC的度数．
【解答】解：（1）∵CD是中线，
∴BD＝AD，
∵BC＝3，AC＝2，
∴△BCD的周长P ＝BC+BD+AD＝3+AD+CD，△ACD的周长为P ＝AD+CD+AC＝2+AD+CD，
1 2
∴P ﹣P ＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1．
1 2
故答案为：1．
（2）CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝1/2∠ABC＝1/2×62°＝31°，
∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°，
（3）∵∠A＝78°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣78°＝102°，
∵BE，CD是△ABC的角平分线，
∴∠OBC＝1/2∠ABC，∠OCB＝1/2∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝1/2（∠ABC+∠ACB）＝1/2×102°＝51°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分线的定义，三角形
高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的内角和定理进行角度的计
算是解答此题的关键．25．（2023•高新区校级开学）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝
180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）利用平行线的性质和判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC
∴∠2＝∠DAC
∵∠l+∠2＝180°
∴∠1+∠DAC＝180°
∴AD∥GF
（2）∵ED∥AC
∴∠EDB＝∠C＝40°
∵ED平分∠ADB
∴∠2＝∠EDB＝40°
∴∠ADB＝80°
∵AD∥FG
∴∠BFG＝∠ADB＝80°
【点评】此题考查三角形的内角和定理，关键是根据平行线的判定和性质解答．
26．（2022秋•高安市校级月考）在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝140°．
（1）如图①，若∠B＝∠C，求出∠B的度数；
（2）如图②，若∠DCB的角平分线交AB于点E，且EC∥AD，求出∠B的度数；
（3）如图③，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，求出∠BEC的度数．【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，结合已知条件就可求解；
（2）根据平行线的性质得到∠AEC的度数，再根据角平分线的定义得到∠ECB＝∠DCE＝40°，最后根
据三角形外角的性质进行求解；
（3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得∠EBC+∠ECB的度数，再进一步求得∠BEC的
度数．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝80°∠D＝140°，
∴∠B+∠C＝360°﹣∠A﹣∠D＝360°﹣80°﹣140°＝140°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝70°；
（2）∵EC∥AD，∠A＝80°，∠D＝140°，
∴∠AEC＝180°﹣∠A＝100°，∠DCE＝180°﹣∠D＝40°，
∵CE平分∠DCB，
∴∠ECB＝∠DCE＝40°，
∵∠AEC＝∠B+∠ECB，
∴∠B＝∠AEC﹣∠ECB＝100°﹣40°＝60°；
（3）∵∠A+∠ABC+∠DCB+∠D＝360°，∠A＝80°，∠D＝140°，
∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣∠A﹣∠D＝360°﹣80°﹣140°＝140°，
∵BE，CE分别平分∠ABC和∠DCB，
∴ ， ，
∴ ，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣70°＝110°．
【点评】本题考查了四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是
解题的关键．
27．（2022秋•兰山区校级月考）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为 1，点A，点B，点C在小
正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为 4 ．
【分析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；
（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；
（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求；
（3）S△ABC ＝ BC•AD＝ 4×4＝8．
∴△ABE的面积＝ S△ABC ＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了基本作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．
28．（2023•东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A
的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC
即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得
∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣ ∠A，求出∠E＝ ∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在
一个内角等于另一个内角的 2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝
2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ ×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝ （∠MBC+∠NCB）
＝ （360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝ （180°+∠A）
＝90°+ ∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝ ∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝ ∠ABC+ ∠MBC
＝ （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣ ∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则 ∠A＝2（90°﹣ ∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运
用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
