文档内容
专题21.20 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】一元二次方程有关概念
1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二
次 方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
要点说明：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其
次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最
高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
【知识点2】一元二次方程的解法
1．基本思想
降次
一元二次方程 一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
要点说明：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．
【知识点3】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
ax2 bxc 0(a 0) b2 4ac ax2 bxc 0(a 0)
一元二次方程 中， 叫做一元二次方程
的根的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点说明：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决
以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
【知识点3】列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
要点说明：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对
实际问题的解决.
【考点一】一元二次方程➽➼➻有关概念
【例1】已知a是一元二次方程 的根．求代数式 的值．【答案】6
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式，然后根据方程根的定义可得
，再结合化简后的式子整体代入求解即可．
解：
，
∵a是一元二次方程 的根，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值，熟练掌握整式的运算法
则、掌握整体代入的方法是解题关键．
【举一反三】
【变式1】已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 是一元二次方程 的解，求 的值．
【答案】(1) ；(2)13
【分析】（1）分别计算单项式乘多项式、完全平方，然后进行加减运算即可；
（2）由题意知 ，即 ，根据 ，计算求解即可
（1）解：
，
∴ ；
（2）解：∵ 是一元二次方程 的解，
∴ ，即 ，
∴ ；∴ 的值为13．
【点拨】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的根，代数式求值等知识．解题的关键在于对知
识的熟练掌握与灵活运用．
【变式2】先化简，再求值： ，其中 是方程 的根．
【答案】 ，
【分析】先根据异分母分式的加减法则，化简分式，再根据 是方程 的根得到 ，
整体代入进行计算即可得到答案．
解：
，
是方程 的根，
，
，
原式．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握异分母分式的加减的运算法则，
以及一元二次方程的解法，整体代入法，是解题的关键．
【考点二】一元二次方程的解法
【例2】解方程：
（1） (2)
【答案】(1) ， ； (2) 无实数根
【分析】（1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用公式法计算即可．
（1）解： （2）解：∵ ，
， ∴
， ； 原方程无实数根
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】解一元二次方程：
(1) (2)
【答案】(1) ， ；(2) ，
【分析】（1）由配方法解方程即可得出答案；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
（1）解： ， （2） ，
， ，
， ，
， ，
． ∴ 或 ，∴ ， ； ∴ ， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式2】解方程
(1) (2)
【答案】(1) ， ； (2) ，
【分析】（1）移项，利用平方差公式分解因式求解可得； （2）用公式法进行求解可得．
（1）解：∵ ， （2）解：
∴ ， ∵ ，
即 ， ∴ ，
则 或 ， ∴ ， ．
解得 ， ；
【点拨】本题考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的
关键．
【例3】解方程： ．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程
的解．
解：
方程两边同乘 ，
得 ，
整理得， ，∴ ，
解得： ， ，
检验：当 时， ， 是增根，
当 时， ，
原方程的解为 ．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
【举一反三】
【变式1】解方程：
【答案】
【分析】先移项将原方程进行变形 ，再等式两边平方得到 ，然后整理解
一元二次方程即可解答．
解：移项： ，
两边平方： ，
整理得： ，解得： ．
经检验： 是原方程的根， 是增根，舍去．
所以，原方程的根是 ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，将原方程化成一元二次方程是解答本题的关键．
【变式2】解下列方程
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可求解；
（2）先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，代入最简公分母检验即可得．（1）解： （2）两边同时乘以 得：
∵ ， ， ， ，
∴ ． ，
∴ ． ．
∴ ． 检验：当 时， ．
∴ 为原方程的解．
【点拨】本题考查解一元二次方程和分式方程，解题的关键是掌握解方程的方法，正确求解．
【考点三】一元二次方程根的判别式
【例4】已知关于x的方程 有实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 当 时，求方程的根．
【答案】(1) ；(2) ，
【分析】（1）根据判别式不小于零，解不等式即可； （2）将m的值代入，求解方程即可．
（1）解：（1）∵关于x的方程 有实数根，
∴ ．解得 ．
（2）解：（2）当 时，原方程为 ．
即 ，∴ ， ，
∴方程的根为0，2；
【点拨】本题考查了一元二次方程的跟的判别式，一元二次方程的解法，是考试中常考的考点.
【举一反三】
【变式】已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
(1) 求 的取值范围； (2) 当 时，用配方法解方程．【答案】(1) 且 ；(2) ，
【分析】（1）根据题意，可得 ，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将 代入 ，利用配方法解方程即可．
（1）解：依题意得： ，
解得 且 ；
（2）解：当 时，原方程变为： ，
则有： ，
，
，
方程的根为 ， ．
【点拨】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次
方程是解题的关键．
【例5】已知关于 的一元二次方程 .
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是 ，求方程的另一个根．
【答案】(1)见分析；(2)方程另一个根为
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式得出 ，由此可证出方程总有两个不相等
的实数根；
（2）将1代入方程可得方程为 ，解方程即可求出另一个根；
解：（1）∵ ，
∴，
，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵1是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ， ，
∴方程另一个根为 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程，解答本
题的关键是能够熟记根判别式，熟练解答一元二次方程．
【举一反三】
【变式】已知关于 的一元二次方程 ．（m为实数）
（1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）该方程的两个实数根为 、 （ ），若 ，求正数m的值．
【答案】(1) 见分析； (2)
【分析】（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出 ， 的值，再根据完全平方公式的变形求解即
可．
解：（1）∵
∴
∴无论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）∵方程的两个实数根为 、∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴解得 或 （舍去）．
【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式
时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式 时，一元二次方
程有两个相等的实数根；当判别式 时，一元二次方程没有实数根．一元二次方程根与系
数的关系： ， ．
【考点四】一元二次方程根与系数关系
【例6】关于 的一元二次方程 有两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 的两条直角边 的长恰好是此方程的两个实数根，斜边 ，求
的周长．
【答案】(1) ； (2) 14
【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根，结合根的判别式可得出 ，解之即可得出
结论；
（2）根据题意，设 的两条直角边 分别为 ，由根与系数的关系可得出
、 ，结合勾股定理可得出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值，
由方程的两根是对应的直角边长，均为正值，可确定 的值，再根据三角形的周长公式即可求出结
论．（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
，解得： ；
（2）解：设 的两条直角边 分别为 ，
， 是方程 的两个实数根，
， ，
，即 ，解得 或 ，
由于 是直角三角形的两条直角边，从而有 ，即 ，
，
这个三角形的周长为 ．
【点拨】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：（1）由方程有两
个实数根找出 ；（2）利用根与系数的关系结合勾股定理找出 ．
【举一反三】
【变式1】已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证无论实数 取何值，此方程一定有两个实数根；
（2）设此方程的两个实数根分别为 ， ，若 ，求 的值．
【答案】(1)证明见详解；(2)
【分析】（1）根据题意证明 ，即可证明方程一定有两个实数根；
（2）根据 ， ，把 变形为： ，即可．
解：（1）关于 的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，∴ ，
∴无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根．
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
【变式2】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计
了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月
份到5月份销售量的月增长率均为 ．
（1）求月增长率r；
（2）经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若
在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可
能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1) ；(2)50
【分析】（1）根据5月份销售量 3月份销售量 建立方程，解方程即可得；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为 元/个，从而可得月销售量，再根据利润 （实际售价
进价） 月销售量建立方程，解方程即可得．
（1）解：由题意得： ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
答：月增长率 为 ．（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为 元/个，则月销售量为
（个），
由题意得： ，
解得 或 ，
要尽可能让顾客得到实惠，
，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
【考点五】一元二次方程根的应用
【例7】2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款
亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400
件．
(1) 求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率．
(2) 从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售
量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ；(2)该款吉祥物售价为50元时，
月销售利润达8400元
【分析】（1）设4月份到6月份的月平均增长率为 ，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售
量为400件，可列方程 ，求解即可；
（2）设该款吉祥物降价 元，根据单个商品的利润 销售量 总利润列方程求解即可．
（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ．
则
解得 ， （舍去）
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ．
（2）解：设该款吉祥物降价 元．则
解得 ， （舍去）
∴ 元，
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元．
(1) 连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
(2) 若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定
采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少
20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为 ；(2)每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为 ，列出方程求解即可；
（2）设每千克涨价 元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
（1）解：设每次下降百分率为 ，
根据题意，得 ，
解得： ， (不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为 ；
（2）设每千克涨价x元，
由题意得：
解得： 或 ，
∵商场规定每千克涨价不能超过8元，且要尽快减少库存，
∴ ，
答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式2】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为 米和 米．该农场打算借这两堵墙建一
个长方形饲养场 ，用总长 米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在 和 边上各留1米宽
的门，设 长x米．(1) 写出 的长（用含x的代数式表示）．
(2) 若饲养场 的面积为 平方米，求x的值．
【答案】(1) 米； (2) 米
【分析】（1）用（总长 个1米的门的宽度） 即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可．
（1）解：如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 长度为 米；
（2）解：由题意知， ，
解得 ， ，
又∵ ，且 ，
∴ ，
∴ （米）．
【点拨】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
【例8】如图，有一农户用24m长的篱笆围成一面靠墙（墙长12m），大小相等且彼此相连的三个矩
形鸡舍．
(1) 鸡舍的面积能够达到 吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由；
(2) 鸡舍的面积能够达到 吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由．【答案】(1)能，垂直于墙的一边长为 ，平行于墙的一边长为 ；(2)不能，理由见分析
【分析】（1）设垂直于墙的一边长 ，根据题意可得 ，解方程即可得到答案；
（2）设垂直于墙的一边长 ，由题意可得： ，解方程即可得到答案．
（1）解：能，理由如下：
设垂直于墙的一边长 ，
由题意可得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
当 时， （不符合题意，舍去），
当 时， ，符合题意，
，
垂直于墙的一边长为 ，平行于墙的一边长为 ，
（2）解：不能，理由如下：
设垂直于墙的一边长 ，
由题意可得： ，
整理得： ，
，
此方程无实数根，
不能．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，某市规划在五边形河畔公园 内挖一个四边形人工湖 ，使点O、P、
M、N分别在边 、 、 、 上，且满足 ， ．已知五边形中， ， m， m， m， m．请问，四边形人工
湖 的面积能否为 ，若能，求出此时 的长；若不能，请说明理由．
【答案】能， 的长为 m或 m
【分析】设 ，分别求出 ， ， ， ， 的长度，用 表示四边形人工湖
的面积，利用一元二次方程的判别式可求解．
解：能，理由如下：
如图，延长 ， 于 ，
四边形 是矩形，
， ，
， ，
， ，
设 ，则 ，
， ，
， ， ，
， ，
若四边形人工湖 的面积为 ，
，
整理得： ，
解得： ， ，
故：能， 的长为 m或 m．【点拨】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，利用参数表示四边形的面积是解题的关键．
