文档内容
第 03 讲 等比数列及其前 n 项和
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：等比数列的基本运算............................................................................................................2
题型二：等比数列的判定与证明........................................................................................................2
题型三：等比数列项的性质应用........................................................................................................3
题型四：等比数列前n项和的性质....................................................................................................3
题型五：奇偶项求和问题的讨论........................................................................................................3
题型六：等差数列与等比数列的综合应用........................................................................................4
题型七：等比数列的范围与最值问题................................................................................................5
题型八：等比数列的实际应用............................................................................................................6
题型九：公共项与插项问题................................................................................................................6
02 重难创新练......................................................................................................................................8
03 真题实战练....................................................................................................................................11题型一：等比数列的基本运算
1．（2024·山东济南·三模）已知 是等比数列，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·模拟预测）已知 是各项均为正数的等比数列， ，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·江西·二模）已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 ，则 （ ）
A．120 B．40 C．48 D．60
题型二：等比数列的判定与证明
4．（2024·江西·模拟预测）已知数列 满足 ， ．
令 ，证明：数列 为等比数列；
5．已知数列 满足 ，
判断数列 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
6．已知非零向量列 满足： ， ，（ ， ）.证明：数列 是等比数列.
7．已知数列 和 满足： ， ， ， ，其中 ．
证明：数列 是等比数列；
题型三：等比数列项的性质应用
8．已知数列 是等比数列，且 ，则 的值为 .
9．已知 是正项等比数列，若 则 的最小值等于 .
10．已知数列 是各项均为正数的等比数列，则 的最小值为 ．
11．（2024·河南新乡·二模）已知等比数列 的首项为 ，且 ，则
.
题型四：等比数列前n项和的性质
12．（2024·上海闵行·三模）设 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则
.
13．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项
数为
14．已知数列 的前 项和 ，若此数列为等比数列，则 ．题型五：奇偶项求和问题的讨论
15．（2024·河北张家口·三模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
16．数列 满足 ， ， 则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·高三·河南南阳·期中）已知数列 满足 ， .
(1)记 ，证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)求 的前30项和．
18．（2024·高三·河北张家口·期末）已知数列 满足 ， .
(1)若 ，证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前2n项和 ．
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 且 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)求数列 的前100项和 ．题型六：等差数列与等比数列的综合应用
20．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列 的公差 ，首项 ， 是 与 的等比中项，记
为数列 的前 项和，则
21．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列 的前 项和为 是等比数列，若 ，且
，则 的最小值为 .
22．已知函数 的两个零点分别为 ， ，若 ， ， 三个数适当调整顺
序后可为等差数列，也可为等比数列，则 （ ）
A．1 B． C． D．
题型七：等比数列的范围与最值问题
23．（多选题）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 前 项积为 并满足条件 ，
，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值
24．（多选题）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ， ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D． 是数列 中的最小值
25．（多选题）（2024·高三·江西·期中）在等比数列 中， ， ， ，若 为
的前 项和， 为 的前 项积，则（ ）
A． 为单调递增数列 B．
C． 为 的最大项 D． 无最大项
26．（多选题）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足， ，则下列选项正确的是（ ）
A． 为递减数列 B．
C． 是数列 中的最小项 D．当 时， 的最小值为4045
题型八：等比数列的实际应用
27．（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为 年还清，约定采用等额本
息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（ ）(参考
数据：
A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元
28．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史
可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．
其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创
作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承
和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩
如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠
久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每
次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
29．（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，
即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用
7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是
万，则 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
30．（2024·高三·四川·期中）剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，
为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为 的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后
的纸张厚度为 ，第2次对折后的纸张厚度为 ，以此类推，设纸张未折之前的厚度为 毫米，则
（ ）
A． B． C． D．题型九：公共项与插项问题
31．（2024·吉林长春·模拟预测）设 为数列 的前n项和，且 ，数列 的通项
公式为 ，将数列 与 的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列
数列 的通项公式为 ．
32．（2024·广西·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，对任意正整数n，有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数m，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求 的
前91项和．
33．（2024·高三·天津·期末）已知公差为 的等差数列 和公比 的等比数列 中， ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 ；
(3)若在数列 任意相邻两项 之间插入一个实数 ，从而构成一个新的数列 ．若实数 满足
，求数列 的前 项和 ．
34．（2024·浙江嘉兴·二模）已知 是首项为2，公差为3的等差数列，数列 满足
.
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若数列 与 中有公共项，即存在 ，使得 成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排
列，得到一个新的数列，记作 ，求 .35．（2024·吉林通化·一模）记 为公比不为1的等比数列 的前 项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，若由 与 的公共项从小到大组成数列 ，求数列 的前 项和 ．
1．（2024·北京海淀·二模）设 是公比为 的无穷等比数列， 为其前 项和．若 ，则“
”是“数列 存在最小项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2024·天津和平·三模）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），
例如：从蜂房 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用 表示
蜜蜂爬到 号蜂房的方法数，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．5．（2024·重庆·模拟预测）在半径为1的圆 中作内接正方形 ，作正方形 的内切圆 ，再作
圆 的内接正方形A B C D ，依此方法一直继续下去．我们定义每作出一个正方形为一次操作，则至少经
1 1 1 1
过（ ）次操作才能使所有正方形的面积之和超过 ．
A．9 B．10 C．11 D．12
6．（2024·河南·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江西南昌·三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 的值不可
能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．15
8．（2024·北京·三模） 为公差不为零的等差数列， 是其前 项和， 是等比数列， 是其前 项
和，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， ，如果 ，那么
B．存在 ， ，满足 ，且
C．对任意 ， ，如果 ，那么
D．存在 ， ，满足 ，且
9．（多选题）（2024·黑龙江·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70
年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照
图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为 ，黑心圈的个数为 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列 为等比数列D．图②中第2023行的黑心圈的个数是
10．（多选题）（2024·江西南昌·三模）已知 是单调递减的等比数列，若 ，前3项和 ，则
下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列 为等比数列，且其前 项的和 ，则
B．若数列 为等比数列，且 ，则
C．若数列 为等比数列， 为前 项和，则 ， ， ，…成等比数列
D．若数列 为等差数列， ，则 最小
12．（2024·浙江金华·模拟预测）已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1
个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的
细菌的个数为 （用数字作答）.
13．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则
.
14．（2024·河北·模拟预测）下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比
数列，每行的第 个数从上到下形成以 为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第 行 所有
数据的和 .
15．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，设 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．16．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对于任意 恒成立，求实数
的取值范围.
17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 的前n项积为 ，数列 满足 ，
（ ， ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 中的公共项从小到大排列构成新数列 ，求数列 的通项公式．
18．（2024·河北衡水·三模）已知数列 满足： ．
(1)请写出 的值，给出一个你的猜想，并证明；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
19．（2024·山西太原·三模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 也是等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .1．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）设正整数 ，其中
，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，
其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底
面直径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高
为 ．
3．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码
的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，
该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列
所有项的和为 ．
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公
比为 ．
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等比数列， ， ，则
.
6．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足
．给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
7．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知
， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
10．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和
为 ．
(1)若 ，求 ；(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
