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专题21.21 一元二次方程（全章分层练习）（基础练）
一、单选题
1．如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．解关于x的一元二次方程 时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， （ 为任意实数），那么 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．分式 的值为0，则 的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
5．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则一次函数 的大致图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，那么 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
7．已知关于 的一元二次方程 的两个实数根为 、 ，且 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台，设生产该种机械的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，
如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
10．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代
销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每
件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知
每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主
播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．方程 的解是 ．
12．关于x的方程 是一元二次方程，则 ．
13．用配方法解方程 时，将方程化为 的形式，则 ， ．
14．若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．15．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 ．
16．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数根，则这个直角
三角形斜边的长是 ．
17．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北
与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速
度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走
了多少步？”请问甲走的步数是 ．
18．如图1，在矩形ABCD中， ，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿
向点D运动．设点P的运动路程为x， 的面积为y，y与x的函数关系图象如
图2所示，则AD边的长为 ．
三、解答题
19．解方程
(1)2x2+4x+1=0 （配方法） (2)x2+6x=5（公式法）
20．小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框：
小敏：
小霞：
两边同除以 ，得移项，得 ，
， 提取公因式，得 ．
则 ．
则 或 ，
解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过
程．
21．已知关于x的方程 ．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为 ， ，若 ，求m的值．
22．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出
20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价
1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时
又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．23．我们知道 ，所以代数式 的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公
式，即用 来求一些多项式的最小值．
例如，求 的最小值问题．
解：∵ ，
又∵ ，∴ ，∴ 的最小值为 ．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究： ；
(2)求 的最小值．
(3)比较代数式： 与 的大小．24．提出问题
为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后可设 ，则
，于是原方程可转化为 ，解此方程，得 ， ．
当 时， ， ，∴ ；
当 时， ， ，∴ ．
∴原方程的解为 ， ， ， ．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程 ．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足 ，求 的值．参考答案
1．A
【分析】将 代入一元二次方程，可得 ，由此可得答案．
解： 关于x的一元二次方程 的一个解是 ，
，
，
，
即代数式 的值为 ．
故选A．
【点拨】本题主要一元二次方程的解的定义，解题的关键是掌握定义：能使一元二次方程左右两边相
等的未知数的值称为一元二次方程的解．
2．A
【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．
解： ，，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
3．B
【分析】利用作差法判断 与 大小即可．
解： ， （ 为任意实数），
，
，
即 ，
则 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，数量掌握完全平方公式是解题的关键．
4．A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
解：∵分式 的值为0，
∴ ，
解得 ，
故选A．
【点拨】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的
关键．5．B
【分析】利用判别式的意义得到 ，则 ，然后根据一次函数的性质对各选项
进行判断．
解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
当 ， 时，一次函数经过第一、三、四象限；
当 ， 时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一元二次函数根的判别式，一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握
，则方程有两根不相等的实数根； ，则方程有两根相等的实数根；
，则方程有没有实数根．
6．C
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可
得．
解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤ 且k≠0，
故选：C．
【点拨】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与
△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的
两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
7．C
【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
解：由题意可知： ，
，
， ，，
，
，
故选： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别
式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
8．A
【分析】根据增长后的量 增长前的量 增长率 列出方程即可．
解：根据题意，得 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决
问题的关键，同时要注意增长率问题的一般规律．
9．B
【分析】先用 表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于 的方程．
解：由题意可知：挂图的长为 ，宽为 ，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
【点拨】本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问
题的关键．
10．D
【分析】设每件电子产品售价为 元，主播每天的利润为 元，根据每件利润=实际售价－成本价，销
售量=原销售量+变化量，总利润=每件利润×数量，即可得出答案．
解：设每件电子产品售价为 元，主播每天的利润为 元，
则每件盈利 元，每天可销售 件，
根据题意得： ．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键．
11． 或
【分析】利用因式分解法求解即可．
解： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
12．
【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．
解：由题意得 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一
元二次方程，一般形式是 ．特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的
知识点．
13．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上1，然后把方程作边写成完全平方形式，从
而得到m、n的值．
解： ，
移项得： ，
配方得： ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1，5．
【点拨】本题考查解一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开
平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．14．3
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出
m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程 ( )的两根时，
1 2
， ．也考查了一元二次方程的解．
15．
【分析】利用根与系数的关系可求得 和 的值，代入求值即可．
解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程 的根与系数的关系为：
， ．
16．
【分析】由题意解一元二次方程 得到 或 ，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是 ．
解： 一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数根，
由公式法解一元二次方程 可得 ，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问
题的关键．
17．
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为 ，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，利用勾股
定理即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 值，将其正值代入 中即可求出结论．
解：设甲、乙两人相遇的时间为 ，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，则
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
，即甲走的步数是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
18．5
【分析】当 点在 上运动时， 面积逐渐增大，当 点到达 点时，结合图象可得 面积
最大为5，得到 与 的积为20；当 点在 上运动时， 面积逐渐减小，当 点到达 点时，
面积为0，此时结合图象可知 点运动路径长为9，得到 与 的和为9，构造关于 的一元二
方程可求解．
解：由图象与题意知可知，当 点在 上运动时， 面积逐渐增大，当 点到达 点时，
面积最大为5，∴ ，即 ．
当 点在 上运动时， 面积逐渐减小，当 点到达 点时， 面积为0，此时结合图象可
知 点运动路径长为9，
∴ ．
则 ，代入 ，得 ，
解得 或 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，
找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
19．(1) ；(2) ， ．
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
解：（1）（1）解：2x2+4x=﹣1，
x2+2x=﹣ ，
x2+2x+1=﹣ +1，即（x+1）2= ，
∴x+1=± ，
则x=﹣1±
∴
（2）解：x2+6x﹣5=0，
∵a=1，b=6，c=﹣5，
∴△=36﹣4×1×（﹣5）=56，则x= =﹣3
， ．
【点拨】本题考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟悉用公式法和配方法解一元二次方程的解题
步骤是解题的关键．
20．两位同学的解法都错误，正确过程见分析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
解：
小霞：
小敏：
移项，得 ，
两边同除以 ，
得 提取公因式，得 ．
，
则 或 ，
则 ．
解得 ， ．
（×）
（×）
正确解答：
移项，得 ，
提取公因式，得 ，
去括号，得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
21．(1)见分析；(2)3
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的
实数根；
（2）利用根与系数的关系可得 即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．解：（1）根据题意可知： ，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）有题意得：
∴ ，解得
【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系
的表达式，并会熟练计算．
22．(1)每件降价20元；(2)不可能，理由见分析
【分析】（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍
去；
（2）根据题意列出方程进行求解即可．
（1）解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x=20，x=10，
1 2
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（2）解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．(1) ，1；(2) ；(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小即可．（1）解： ．
（2） ，
∵ ，
∴当 即 时，
原式有最小值 ．
（3） ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的
大小”是解本题的关键．
24．（1） ， ；（2）
【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解；
（2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解．
解：解决问题：（1）设 ，
∴原方程变形为 ，解得， ， ，
当 时， ，故舍去；
当 时， ，解得， ， ；
综上所示，原方程的解为 ， ．
延伸拓展：（2）
∴ ，
∴原式变形为 ，∴ ，设 ，
∴ ，则 ，解得， ，即 ，
∵ ，
∴
∴ ．
【点拨】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题
的关键．
