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02 卷 第六章 数 列《真题模拟卷》《真题模拟卷》
－2022 年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．设函数 ， 是公差为 的等差数列，
，则
A． B． C． D．
2．已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前100项和为
A． B． C． D．
3．数列 的通项公式 其前n项和为 ，则 等于
A．1006 B．2012 C．503 D．0
第II卷（非选择题）
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二、填空题
4．（2017新课标全国II理科）等差数列 的前 项和为 ， ， ，
则 ____________．
5．数列 是等差数列，若 构成公比为 的等比数列，则
________.
三、解答题
6．已知数列 满足 .(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明： .
7．已知数列 和 满足 .若 为等比数列，且
（1）求 与 ；
（2）设 ．记数列 的前 项和为 .
（i）求 ；
（ii）求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
8．已知数列 和 满足，
（1）求 与 ；
（2）记数列 的前 项和为 ，求 .
9．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{a}满足： ，求证:数列{a}为“M－
n n
数列”；
（2）已知数列{b}满足: ，其中S 为数列{b}的前n项和．
n n n
①求数列{b}的通项公式；
n
②设m为正整数，若存在“M－数列”{c}，对任意正整数k，当k≤m时，都有
n
成立，求m的最大值．10． 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
11．设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
12．设 是等差数列， 是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
13．已知 是各项均为正数的等比数列， .
（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前n项和.
14．
已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0， ，
n n 1 1
.
（1）证明：{a+b}是等比数列，{a–b}是等差数列；
n n n n
（2）求{a}和{b}的通项公式.
n n
15．已知数列 ， ，前 项和为 .
（1）若 为等差数列，且 ，求 ；
（2）若 为等比数列，且 ，求公比 的取值范围.
16．已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，且
公比大于0，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
17．已知{a}是各项均为正数的等比数列,且 .
n
(I)求数列{a}通项公式；
n
(II){b}为各项非零的等差数列,其前n项和S,已知 ,求数列 的前n项
n n
和 .
18．
在等差数列 中，已知公差 ， 是 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记 ，求 .
19． 为等差数列 的前n项和，且 记 ，其中 表示不超过x的最大整数，如 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求数列 的前1000项和.
20．设 是等比数列 ， ， ， ， 的各项和，其中 ， ，
．
（Ⅰ）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ），且
；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和
为 ，比较
与 的大小，并加以证明．
21．已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
22．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，且 为钝角.
（1）证明： ； （2）求 的取值范围.
23．等差数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求 的值．
24．正项数列{a}满足：a2﹣（2n﹣1）a﹣2n＝0．
n n n
（1）求数列{a}的通项公式a；
n n
（2）令b ，求数列{b}的前n项和T．
n n n
25．设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（ ）.
（1）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；
（2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，
求数列 的前 项和 .
26．已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
27．已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，
且 是等比数列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
28．等差数列 的前n项和为 ，已知 ， 为整数，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .29．设数列{a}的前n项和为S，数列{S}的前n项和为T，满足T＝2S－n2，n∈N*．
n n n n n n
(1)求a 的值；
1
(2)求数列{a}的通项公式．
n
30．已知等差数列 的前 项和 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
31．已知等差数列{a}满足a＝0，a＋a＝－10.
n 2 6 8
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)求数列 的前n项和．
32．在数列 中，
（I）设 ，求数列 的通项公式
（II）求数列 的前 项和
33．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知数列 满足 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 是公比为 等比数列， ，
求 的取值范围；
（3）若 成等差数列，且 ，求正整数 的最大值，
以及 取最大值时相应数列 的公差.34．设数列{a }的前n项和为S，满足 ，且a，a+5，
n n 1 2
a 成等差数列．
3
（1）求a 的值；
1
（2）求数列{a }的通项公式；
n
（3）证明：对一切正整数n，有 ．
35．已知数列{a }的前n项和为S，且满足：a=a（a≠0），a =rS （n∈N*，r∈R，r≠
n n 1 n+1 n
﹣1）．
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）若存在k∈N*，使得S ，S，S 成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且
k+1 k k+2
m≥2，a ，a ，a 是否成等差数列，并证明你的结论．
m+1 m m+2
36．已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a }满足a =f（a），n∈N*
n n+1 n
（1）若a=0，求a，a，a；
1 2 3 4
（2）若a＞0，且a，a，a 成等比数列，求a 的值
1 1 2 3 1
（3）是否存在a，使得a，a，…，a，…成等差数列？若存在，求出所有这样的
1 1 2 n
a，若不存在，说明理由．
1
37．已知{a }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A，第n项
n n
之后各项 ， …的最小值记为B ，d=A －B .
n n n n
(1)若{a }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，
n
)，写出d，d，d，d 的值；
1 2 3 4
(2)设d为非负整数，证明：d=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a }为公差为d的等差
n n
数列；
(3)证明：若a=2，d=1(n=1,2,3…)，则{a }的项只能是1或2，且有无穷多项为1.
1 n n
38．已知 是等差数列，其前n项和为S， 是等比数列，且
n
， .
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）记 ， ，证明 （）.
39．
已知数列 与 满足：
， ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，证明： 是等比数列；
（Ⅲ）设 证明： ．
40．
在数列 与 中， ，数列 的前 项和 满足
, 为 与 的等比中项， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅲ）设 .证明 .
41．
等比数列{ }的前n项和为 ，已知对任意的 ，点 ，均在函数
且 均为常数)的图像上．
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记 ，求数列 的前 项和 ．
42．
设数列 满足 为实数（Ⅰ）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
（Ⅱ）设 ，证明： ;
（Ⅲ）设 ，证明：
43．
已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列.
（1） 若 ，是否存在 ，有 说明理由；
（2） 找出所有数列 和 ，使对一切 , ,并说明理由；
（3） 若 试确定所有的 ，使数列 中存在某个连续 项
的和是数列 中的一项，请证明.
