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专题21.22 一元二次方程（全章分层练习）（提升练）
一、单选题
1．关于 的一元二次方程 的解为 ， ，则代数式 的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．已知m，n是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的方程 根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等实数根
C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根
4．一元二次方程 有两个实数根a，b，那么一次函数 的图象一定不经
过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．设 与 为一元二次方程 的两根，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．当 满足 时，方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则一次函数 的图像一定不经
过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时
长为 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了 ，设每半年平均每周作业时长的下降率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形 是边长为5的菱形，对角线 的长度分别是一元二次方程
的两实数根， 是 边上的高，则 值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在y轴上，边 在x轴上，点B的坐标是 ，
D为 边上一个动点，把 沿 折叠，若点A的对应点 恰好落在矩形的对角线 上，
则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知m，n是一元二次方程 的两根，则代数式 ．
12．如图，我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得
到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．若 ， ，则图中正
方形的边长为 ．13．在平面直角坐标系 中，直线 分别与 的正半轴、 的负半轴相交于 两点，已
知 的面积等于 ，则 的值为 ．
14．若实数 分别满足 ，且 ，则代数式 的值为 ．
15．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则n的值为
．
16．已知a、b为一元二次方程 的两个不等实数根，则 的值是 ．
17．定义新运算“ ”，规则： ，如 ， ．若 的两
根为 ，则 ．
18．在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据
的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为 时，设最佳值为a，那么
应为最小，此时 ；设某次实验测量了m次，
由这m次数据的得到的最佳值为 ；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为 ，则利用这
次数据得到的最佳值为 ．
三、解答题
19．解方程．
(1) （配方法）． (2) （公式法）．20．解方程：
(1) ． (2) ．
21．关于x的一元二次方程 ．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一个根大于0，求k的取值范围．
22．在欧几里得的 几何原本 中，形如 的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正
根：如图，先画 ，使 ， ， ，再在斜边 上截取 ，连接，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
(1)用含 ， 的代数式表示 的长．
(2)图中哪条线段的长是一元二次方程 的一个正根？请说明理由．
23．据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古
镇火出圈了．假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首．古镇附近某宾馆有50间房供游
客居住．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲
一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
(1) 求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率；
(2) 为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元．24．请阅读下列材料：
我们可以通过配方，利用平方的非负性来求出代数式的最值．
例如：①请求出代数式 的最值．
，且 ，
∴当 时，代数式 有最小值 ．
②请求出代数式 的最值．
，且 ．
∴当 时，代数式 有最大值2．
请根据上述方法，解决下列问题：
(1)当x= ，代数式 有最 （填“大”，“小”）值为
(2)代数式 有最小值2，求k的值．
(3)应用拓展：如图，现在有长度24m的围栏，要利用一面墙（墙的最大可用长度为15m）来围成菜园，
的长度不大于墙的长度，要围成中间有一道围栏的矩形菜园，请问菜园的长 和宽 分别为多少时，
菜园有最大面积？参考答案
1．C
【分析】把 代入方程 求得 ，再解方程求得 ，将 、 的值代入 求值即
可．
解：将 代入 得： ，
解得： ，
的一元二次方程 ，
解得： ， 即 ，
将 ， 代入 ，
得： ，
故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等
的未知数的值．
2．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后将分式化简，代入 即可求
解．
解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ，
∴
，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
3．B
【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可．
解：根据题意得， ，
则关于x的方程 有两个不相等实数根，
故选B．
【点拨】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握 ，一元二次方程有两个不相等的
实数根； ，一元二次方程有一个实数根； ，一元二次方程无实数根是解题的关键．
4．D
【分析】根据根与系数的关系即可求出 与 的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
解：由根与系数的关系可知： ， ，
∴
∴一次函数解析式为： ，
故一次函数的图象一定不经过第四象限．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性
质．
5．A
【分析】由根于系数的关系可得 、 ，然后代入 进行配方即可解
答．
解：∵
∴ ， ，
．
，
．
的最小值为 ．
故选： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、运用配方法求最值等知识点，掌握配方法是
解答本题的关键．
6．D
【分析】先利用配方法求出方程的根，再求出一元一次不等式组的解集，由此即可得．
解： ，
，，
，
，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解集为 ，
所以方程 的根是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，熟练掌握方程和不等式组的解法是解题关
键．
7．C
【分析】先利用根的判别式的意义得到 ，解不等式得到b的取值范围，然后根据一次函
数的性质解决问题．一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，
方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
解：根据题意得 ，解得 ，
∴一次函数 的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点拨】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程与根的判别式的关系及一次函数的性质是解题的
关键．
8．C
【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x,根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了
，列方程即可得到结论．
解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，
可列方程为 ，即
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
9．B
【分析】根据对角线 的长度分别是一二次方程 的两实数根，得到 ，
根据菱形的面积公式得到 ，再根据 得到 ．
解：∵对角线 的长度分别是一二次方程 的两实数根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握菱形面积的计算方法是
解题的关键．
10．A
【分析】过点 作 轴于点 ，先利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，从而
可设点 的坐标为 ，则 ，再根据折叠的性质可得
，然后在 中，利用勾股定理可求出 的值，由此即可得．
解：如图，过点 作 轴于点 ，矩形 的边 在 轴上，边 在 轴上，点B的坐标是 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
由折叠的性质得： ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质、一次函数的几何应用、勾股定理、折叠的性质、一元二次方程的应
用，正确求出直线 的函数解析式是解题关键．
11．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出 ， ，然后对所求代
数式变形，整体代入计算即可．解：∵m，n是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程 （a、
b、c为常数， ）的两根为 ， ，则 ， ．
12．2
【分析】根据题意可得 ， ，则 ，设正方形的边长为x，则 ，
，在 中，利用勾股定理列方程求解即可．
解：由题意可得： ， ，
∴ ，
设正方形的边长为x，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得： ， （舍），
∴正方形的边长为2，
故答案为：2．【点拨】本题考查勾股定理的应用、解一元二次方程，根据勾股定理列方程是解题的关键．
13．
【分析】依据题目求出 ， ，再根据 的面积等于 ，即可得出答案．
解：当 时，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∵直线 分别与 的正半轴、 的负半轴相交于 两点，
∴ ，
∵ 的面积等于16，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了一次函数与 轴、 轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，
掌握一次函数与 轴、 轴的交点的求法是解题的关键．
14．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
解：设 是 的根，
则 ，
，
∴
【点拨】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系式．
15．15或16/16或15
【分析】分3为等腰三角形的腰长和3为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定
义、根的判别式求解即可得．
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当3为等腰三角形的腰长时，则3是关于 的方程 的一个根，
因此有 ，
解得 ，
则方程为 ，
设另一个根为 ，
∴
∴另一个根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系；
（2）当3为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根，
因此，根的判别式 ，
解得 ，
则方程为 ，解得方程的根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系；
综上， 的值为15或16，
故答案为：15或16．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种
情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．
16．1
【分析】先将分式化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，即可求解．
解： ，
∵a、b为一元二次方程 的两个不等实数根，∴ ，
∴原式 ，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了分式的化简，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方
程 ，两根之和为 ，两根之积为 ．
17． 或
【分析】首先解方程求得方程的两个解，根据 ，可以得到 的值是两个根中的较
大的一个．
解：解方程 ，
，
或 ，
解得： ， 或 ， ，
，
当 ， 时，
．
当 ， 时，
.
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是理解 ．18．
【分析】利用完全平方公式展开后合并，再将 配方得到
，则利用非负数的性质得到当 时，代数式有最小值； 次数据得到的最佳
值为 个数据的平均数．
解：
，
∵ ，
∴当 时， 有最小值；
∵m次数据的得到的最佳值为 ，n次数据得到的最佳值为 ，
设最佳值为a，与 个数据的差的平方和为 ，与 个数据的差的平方和为 ，
当 时， 最小，
∴ 次数据得到的最佳值为 ．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了配方法：根据完全平方公式为 ，二次项系数为1的多项式配成完全平方式是加上一次项系数一半的平方，注意等式是恒等变形是解题关键．
19．(1) ；(2)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．(1) ；(2)
【分析】（1）利用配方法求解即可．
（2）去分母，化分式方程为整式方程，求解即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得 ．
（2）∵ ，
∴ ，
整理，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，
故原方程的解为 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
21．(1)见分析；(2)
【分析】（1）计算根的判别式的值，再利用非负数的性质得到 ，从而得到结论；
△
（2）利用因式分解法解方程得到 ， ，则 ．
解：（1）证明： ， ， ，
∴
∴方程总有两个实数根；
（2）解：
∴ ， ，
该方程有一个根大于0，
，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程 ，则有 方程有两实根， 方程有两不等实根，
方程有两相等实根， 方程没有实根．
22．(1) ；(2) ，理由见分析．
【分析】（1）由勾股定理得到 ，由 即可得到答案；
（2）设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，整理
得： ，即可得到结论．
（1）解： ， ， ，
，
；
（2）线段 的长是一元二次方程 的一个正根，理由如下：
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
整理得： ，
线段 的长是一元二次方程 的一个正根
【点拨】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键．
23．(1) ；(2)230元
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2021年和2023年的游客人数列出方程，解之即可；
（2）设房价定为y元，根据居住的房间数乘以每间房间的利润等于总利润，列出方程，解之，取较小
正数解即可．
（1）解：设年平均增长率为x，由题意可得： ，
解得： ， （舍），
∴年平均增长率为 ；
（2）设房价定为y元，
由题意可得： ，
解得： 或 ，
∵尽可能让游客享受更低的单价，
∴ ，
即房价定为230元时，宾馆当天的利润为9450元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是等量关系，列出方程．
24．(1) ，小， ；(2) ；(3)
【分析】（1）根据配方法进行计算即可得到答案；
（2）根据配方法求参数即可；
（3）设 ，根据题意，列出代数式，再用配方法求最值即可．
（1）解：∵ ，且
∴当 时，代数式： 有最小值： ；
故答案为： ，小， ；
（2）∵ ，且 ，
∴当 时，代数式 有最小值： ，
∴ ，
解得： ；
（3）解：设 ，则： ，
∵ ，
∴ ，解得： ；
由题意得： ，
当 时，代数式 有最大值：72，
∴当 时，菜园面积最大．
【点拨】本题考查配方法的应用．正确理解并掌握利用配方法求代数式的最值是解题的关键．
