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专题21.23 一元二次方程（直通中考）（全章基础练）
一、单选题
1．（2023·天津·统考中考真题）若 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数 的取值有关
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至
6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程 两根为 ，且 ，
则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根8．（2023·四川泸州·统考中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于 的一元二次方程
的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程 中，设 ，可得到关于y的整式
方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条宽度相等的
小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是（ ）
A． B． C． 或 D．
二、填空题
11．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则 的取值范围是 ．
12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）实数m，n分别满足 ，且 ，则
的值是 ．
13．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a、b是方程 的两根，则
．
14．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 的一个根为 ，则m
的值为 ，另一个根为 ．15．（2023·辽宁营口·统考中考真题）若关于x的方程 的一个根是3，则此方程的另一
个根是 ．
16．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到 年底，校园绿化面积为 平方米．为美化环境，
该校计划 年底绿化面积达到 平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率
为 ，则依题意列方程为 ．
17．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知
长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有
门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，
竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
18．（2023·江苏扬州·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方
图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角
三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若 ，则每个直角三角形的面积为 ．
三、解答题
19．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程： ．
20．（2023·四川凉山·统考中考真题）解方程： ．21．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
(1) 求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2) 设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．
22．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程 ．在下面的四组条件中选择其中
一组 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① ；② ；③ ；④ ．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
23．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
(1) 求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2) 若 ， 是方程的两个实数根，且 ，求m的值．24．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足
够长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 的羊圈？
(2) 羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
解：方程 中的 ，
是方程 的两个根，
， ，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解
题关键．
2．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出 ，即可得出答案．
解：∵ ，
∴关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．【点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无
实数根．
3．D
【分析】由于关于 的一元二次方程 有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可
知 ，且 ，据此列不等式求解即可．
解：由题意得， ，且 ，
解得， ，且 .
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 与根的关系，熟练
掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当
时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．
4．A
【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
解：由题意得： ．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
5．C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上 ，即可求解．
解：
移项得，
两边同时加上 ，即
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
6．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后即可确定两个根，再由根与系数的关
系求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程 两根为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
7．A
【分析】对于 ，当 , 方程有两个不相等的实根，当 , 方程有两个相等
的实根， , 方程没有实根，根据原理作答即可．
解：∵ ，
∴ ，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
8．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到 ，根据菱形的面积得到 ，利用勾
股定理以及完全平方公式计算可得答案．
解：设方程 的两根分别为a，b，
∴ ，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴ ，即 ，∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出
是解题的关键．
9．D
【分析】设 ，则原方程可变形为 ，再化为整式方程即可得出答案.
解：设 ，则原方程可变形为 ，
即 ；
故选：D.
【点拨】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
10．A
【分析】设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面
积，根据花草的种植面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结
论．
解：设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面积，
依题意得：
解得： ， （不合题意，舍去），
∴小路宽为 ．
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式 ，建立关于k的不等式，
解不等式即可得出答案．
解：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了根的判别式．一元二次方程 的根与 有如下关系：
（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方
程没有实数⇔根． ⇔ ⇔
12．
【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．
解：由题可知，m和n是 的两个根，
所以 ，
所以 ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程
的两个根分别为 和 ，则 ”．
13．
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得 ，从而得到
，然后代入，即可求解．
解：∵a，b是方程 的两根，
∴ ，∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的
定义和根与系数的关系是解题的关键．
14．
【分析】将 代入原方程，解得 ，根据一元二次方程根与系数的关系，得出 ，即可
求解．
解：∵关于x的一元二次方程 的一个根为 ，
∴
解得： ，
设原方程的另一个根为 ，则 ，
∵
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程
根与系数的关系是解题的关键．
15．
【分析】根据根与系数的关系 即可求出方程的另一个根．
解：设另一个根为 ，
根据题意： ，解得， ，
即另一个根为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数 、 来
计算时，要弄清楚 、 、 的意义．
16．
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为 ，依题意列出一元二次方程即可求解．
解：设这两年绿化面积的年平均增长率为 ，则依题意列方程为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
17．8
【分析】设门高 尺，则竿长为 尺，门的对角线长为 尺，门宽为 尺，根据勾股定
理即可求解．
解：设门高 尺，依题意，竿长为 尺，门的对角线长为 尺，门宽为 尺，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．
18．96
【分析】由题意知， ，由 ，可得 ，计算求出满足要求的 ，
然后求 ，根据每个直角三角形的面积为 ，计算求解即可．
解：由题意知， ，
∵ ，∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴每个直角三角形的面积为 ，
故答案为：96．
【点拨】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用．
19． ，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
解：
∴ 或
∴ ， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
20．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程
的解．
解：
方程两边同乘 ，
得 ，
整理得， ，
∴ ，
解得： ， ，
检验：当 时， ， 是增根，
当 时， ，原方程的解为 ．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
21．(1)证明见分析；(2) 的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
解：（1）证明：∵ ，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 的两个实数根为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
即 ．
解得 或 ．
∴ 的值为1或 ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别
式及根与系数的关系是解题的关键．
22．选②， ， ；选③， ，
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
解： 中 ，
① 时， ，方程有两个相等的实数根；
② 时， ，方程有两个不相等的实数根；
③ 时， ，方程有两个不相等的实数根；
④ 时， ，方程没有实数根；
因此可选择②或③．选择② 时，
，
，
，
， ；
选择③ 时，
，
，
，
， ．
【点拨】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对
于一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个不
相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
23．(1)见分析；(2) 或 ．
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定 即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，整体代入得到
求解即可得到答案．
解：（1）证明： 关于 的一元二次方程 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴不论 为何值，方程总有实数根；（2）解：∵ ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，整理，得 ，解得 ， ，
∴m的值为 或 ．
【点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二
次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
24．(1)当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈；
【分析】（1）设矩形 的边 ，则边 ，根据题意列出一元
二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
（1）解：设矩形 的边 ，则边 ．
根据题意，得 ．
化简，得 ．
解得 ， ．
当 时， ；
当 时， ．
答：当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得 ．
化简，得 ．∵ ，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关
键．
