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专题21.24 一元二次方程（直通中考）（全章提升练）
一、单选题
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的值可
以是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．3或 B． 或9 C．3或 D． 或6
3．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个实数根
， ，且 ，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
4．（2021·西藏·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，
则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
5．（2021·四川宜宾·统考中考真题）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则
的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
6．（2021·山东烟台·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 ，其中m，n在数
轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．（2022·山东枣庄·统考中考真题）已知y 和y 均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是
1 2
N 和N ，若存在实数n，使得N +N ＝1，则称函数y 和y 是“和谐函数”．则下列函数y 和y 不是
1 2 1 2 1 2 1 2
“和谐函数”的是（ ）A．y＝x2+2x和y＝﹣x+1 B．y＝ 和y＝x+1
1 2 1 2
C．y＝﹣ 和y＝﹣x﹣1 D．y＝x2+2x和y＝﹣x﹣1
1 2 1 2
8．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，
书中 记载的图表给出了 展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式 的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
9．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式 有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜ ＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④ 的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
10．（2021·河南·统考中考真题）如图1，矩形 中，点 为 的中点，点 沿 从点 运动
到点 ，设 ， 两点间的距离为 ， ，图2是点 运动时 随 变化的关系图象，则
的长为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·江苏连云港·统考中考真题）若 （ 为实数），则 的最
小值为 ．
12．（2023·江苏扬州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是 ．
13．（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知函数 （m，n是常数）是正比例
函 数，则 的值为 ．
14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程 的解为 ．
15．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 有两个不相
等的实数根，且 ，则实数 ．
16．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以 为边长作正方形，已知 且满足
， ．
（1）若 ，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为 ，图2四边形 的面积为 ，则图2阴影部分的面积是．
17．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们
称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中
， ，连接 ，若 与 的面积相等，则 ．
18．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形 的边长为1，点E、F分别在边
上，将正方形沿着 翻折，点B恰好落在 边上的点 处，如果四边形 与四边
形 的面积比为3∶5，那么线段 的长为 ．
19．（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．
书中记 载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、
邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门
高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽
和对角线的长分别是 尺．
20．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，将长宽比为 的矩形 沿着 折叠，使点C落到宽 上点 处，点B落到点 处，且满足 ，则 ．
三、解答题
21．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 有两个不相
等的实数根．
(1) 求 的取值范围；
(2) 当 时，用配方法解方程．
22．（2023·四川遂宁·统考中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 ，
其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： ．
(1)求 的值；
(2)已知关于x的方程 有两个实数根，求m的取值范围．23．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于
购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200
元，求 年买书资金的平均增长率．
24．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数
为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1) 求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2) 预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景
区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
25．（2023·四川泸州·统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来
临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用
240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1) 该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2) 如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20
元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？26．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客
端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1) 求豆沙粽和肉粽的单价；
(2) 超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量
（单位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装
成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个
豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装
的销量分别为 包， 包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
27．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，b，c有如下关系：
， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ．则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ___________，
___________；
(2) 类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3) 提升：已知实数s，t满足 且 ，求 的值．
参考答案
1．A
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
解：∵一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
∴ ，故选：A.
【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程无实数根”是解题的关键．
2．A
【分析】结合根与系数的关系以及解出方程 进行分类讨论即可得出答案．
解：∵ ，
∴ ，
,则两根为：3或-1，
当 时， ，
当 时， ，
故选：A．
【点拨】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
3．A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出
，把 变形为 ，再代入得方程
，求出m的值即可．
解：解:∵关于x的一元二次方程 有两个实数根,
∴ ,
∴
∵ 是方程 的两个实数根,
∵ ，
又∴
把 代入整理得,
解得,
故选A
【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记
“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合 ，找出关于m的
一元二次方程．
4．C
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．
解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12．
故选：C．
【点拨】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．
5．C
【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，
mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把
m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，
∴m＋n＝−3，mn＝−9，
∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，
∴m2＋3m−9＝0，
∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．
故选：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两
根x、x 之间的关系：x＋x=− ，x•x= ．
1 2 1 2 1 2
6．A
【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断．
解：由数轴可知， 且 ，则 ，
∵△= ， ，
∴△＞0，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别式，利用数
轴提供的信息进行判断．
7．B
【分析】根据题意，令y+y＝1，若方程有解，则称函数y 和y 是“和谐函数”，若无解，则称函数
1 2 1 2
y 和y 不是“和谐函数”．
1 2
解：A、令y+y＝1，
1 2
则x2+2x﹣x+1＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得：x＝0，x＝﹣1，
1 2
∴函数y 和y 是“和谐函数”，故A不符合题意；
1 2
B、令y+y＝1，
1 2
则 +x+1＝1，
整理得：x2+1＝0，
此方程无解，
∴函数y 和y 不是“和谐函数”，故B符合题意；
1 2
C、令y+y＝1，
1 2
则﹣ ﹣x﹣1＝1，整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x＝﹣1，x＝﹣1，
1 2
∴函数y 和y 是“和谐函数”，故C不符合题意；
1 2
D、令y+y＝1，
1 2
则x2+2x﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x＝1，x＝﹣2，
1 2
∴函数y 和y 是“和谐函数”，故D不符合题意；
1 2
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y+y＝1，然后进行求解是解题的关键．
1 2
8．C
【分析】由规律可得： ，令 ， ，可得 ，再
解方程即可．
解：由规律可得： ，
令 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故选：C．
【点拨】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
9．B
【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定
理，根的判别式判断即可．
解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数
根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
10．C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以
及 ，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
解：由图2可知，当P点位于B点时， ，即 ，
当P点位于E点时， ，即 ，则 ，
∵ ,
∴ ,
即 ,
∵
∴ ,
∵点 为 的中点，
∴ ,
故选：C．
【点拨】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定
义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，
本题蕴含了数形结合的思想方法．
11．
【分析】运用配方法将 变形为 ，然后根据非负数的性质求出 的最小值即可．
解：
=
=
=
∵ 为实数，
∴
∴ 的最小值为 ,
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程
中不要改变式子的值．
12．k＜1．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△= ，
解得： ，
故答案为 .
【点拨】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．
熟知“在一元二次方程 中，若方程有两个不相等的实数根，则△= ”是解答
本题的关键.
13．
【分析】由函数 （m，n是常数）是正比例函数，可得 ， ，计
算求解 的值，然后代入求解即可．解：∵函数 （m，n是常数）是正比例函数，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正比例函数，解一元一次不等式，解一元二次方程，解一元一次方程，代数式求
值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14．
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出 的值．
解： ，
方程两边同时乘以 得， ，
，
，
，
或 ．
经检验 时， ，故舍去．
原方程的解为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
15．3
【分析】利用一元二次方程 有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根
与系数关系得到 ，代入 ，解得 的值，根据求得的m的取
值范围，确定m的值即可．
解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点拨】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根
与系数关系的内容是解题的关键．
16．
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出 ，根据题意得出 ，进而得出 ，
根据图2阴影部分的面积为 ，代入进行计算即可求解．
解：（1） ，图1阴影部分的面积是 ，
故答案为： ．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形 的面积为 ，
∴ ， ，即
∴ （负值舍去）
∵ ， ．
解得：
∵ ①∴ ，
∴ ，
∴ ②
联立①②解得： （ 为负数舍去）或
∴ ，
图2阴影部分的面积是
故答案为： ．
【点拨】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元
二次方程，正确的计算是解题的关键．
17．
【分析】根据题意得出 ，即 ，解方程得出 （负值舍去）代入进行计
算即可求解．
解：∵图中 ， ，
∴
∵ 与 的面积相等，
∴∴
∴
∴
∴
解得： （负值舍去）
∴ ，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于 的方程是解题的关键．
18．
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，设 ，则 ，则 ，根据已知条
件，分别表示出 ，证明 ，得出 ，在 中，
，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
∵正方形 的边长为1，四边形 与四边形 的面积比为3∶5，
∴ ，
设 ，则 ，则∴
即
∴
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ,
∴ ，
∴
在 中，
即
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以
上知识是解题的关键．
19．8，6，10
【分析】设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，利用勾股定理求解即可．
解：设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，根据题意可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ （尺）， （尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，
故答案为：8，6，10．
【点拨】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键．
20．
【分析】设矩形 的长为 ，宽为 ，则 ，设 ，由题意可知，
，根据勾股定理得到 ，则 ，解得 ，即可得
到 ．
解：设矩形 的长为 ，宽为 ，则 ，设 ，
由题意可知，点C落到宽 上点 处，
∴ ，
由折叠可知， ，
则 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得到 ，
即 ，
则 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
即 ，
∴ ．故答案为：
【点拨】此题考查了矩形性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等知识，熟练掌握矩形性质
和折叠的性质是解题的关键．
21．(1) 且 ；(2) ，
【分析】（1）根据题意，可得 ，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将 代入 ，利用配方法解方程即可．
（1）解：依题意得： ，
解得 且 ；
（2）解：当 时，原方程变为： ，
则有： ，
，
，
方程的根为 ， ．
【点拨】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次
方程是解题的关键．
22．(1)10；(2) 且 ．
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
（1）解：∵ ，
∴ ；（2）解：∵ ，
∴ ，
整理得 ，
∵关于x的方程 有两个实数根，
∴ ，且 ，
解得 且 ．
【点拨】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当 时，方程有两个实数根”是解题的关键．
23．
【分析】设 年买书资金的平均增长率为 ，根据2022年买书资金 2020年买书资金
建立方程，解方程即可得．
解：设 年买书资金的平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
答： 年买书资金的平均增长率为 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
24．(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多
是0.1万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ，根据题意，列出一元二次方程，进
行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ，由题意，得：
，
解得： （负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得： ；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点拨】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不
等式，是解题的关键．
25．(1)节后每千克A粽子的进价为10元；(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为
3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为 元，根据节前
用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进 千克A粽子，获得的利润为w元，根据
利润 售价 进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求
出最大利润即可．
（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为 元，根据题意得：
，
解得： ， ，
经检验 ， 都是原方程的解，但 不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进 千克A粽子，获得的利润为w元，
根据题意得：
，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取最大值，且最大值为： ，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点拨】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
26．(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；(2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的
单价为7元；②
【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为 元，依题意列一元一次方程即可求解；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求
解；
②根据销售额=销售单价 销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为 元，
依题意得 ，
解得 ；
则 ；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
依题意得 ，解得 ，
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得 ，
解得 或 ，
，
∴ ，
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意
找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．
27．(1) ， ；(2) ；(3) 的值为 或 ．【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据
，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而由
，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可．
（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵一元二次方程 的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足 ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，
∴ ， ，
∵，
∴ 或 ，
当 时，
，
当 时，
，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解
题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
