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专题 21.6 实际问题与一元二次方程
1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤，能够熟练的从各种实际问题中抽象
教学目标
出方程并解决问题。
1. 重点
（1）利用一元二次方程解决实际问题的基本步骤；
（2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式；
教学重难点 2. 难点
（1）从数学文化中抽象出一元二次方程。
（2）一元二次方程解决实际问题中的销售利润问题（每每问题）；
（3）一元二次方程解决实际问题中的几何图形问题。知识点01 列一元二次方程解决实际问题的步骤
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确 、 以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 表示其他未知量，从而列出方程．
④解：准确求出方程的解．
⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
⑥答：写出答案。
知识点02 一元二次方程与传播问题
1. 一元二次方程与传播问题：
计算公式： 。
【即学即练1】
1．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个
好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过
两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．（n+1）2＝1641 B．（n﹣1）2＝1641
C．n（n+1）＝1641 D．1+n+n2＝1641
【即学即练2】
2．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、
食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、
腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有 81人被传染，请问每轮传染中平均一个
人传染了几个人？
知识点03 一元二次方程与数字问题
1. 一元二次方程与数字问题：
数字问题：若一个两位数，个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 1 0 b + a 。若是一个
三位数，则百位乘 ，十位乘 ，把他们 再加上 数字就是该数。【即学即练1】
3．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题：
周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十比个位正小三，个位六倍与寿符．
哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上
的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字
为x，下列方程正确的是（ ）
A．（x﹣3）+x＝6x B．10（x﹣3）+x＝6x
C．x（x+3）＝6x D．（x﹣3）+10x＝6x
【即学即练2】
4．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
知识点04 一元二次方程与单（双）循环问题
1. 一元二次方程与单（双）循环问题：
计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）： 。
双循环（两两之间比赛（握手）两次）： 。
【即学即练1】
5．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育
活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一
场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
1 1
C． x(x+1)=28 D． x(x−1)=28
2 2
【即学即练2】
6．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），
彰显了大连在中国足球历史上的重要地位.2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间
都进行两场比赛），共要比赛240场．求本次联赛共有多少支球队．知识点05 一元二次方程与平均增长率
1. 一元二次方程与平均增长率：
若起始量为a，终止量为b，n为增长或降低次数，若平均增长率（或下降率）为x
计算公式：平均增长类型： 。
平均下降类型： 。
【即学即练1】
7．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长
率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．560（1+x）2＝1860
B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860
C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860
D．560+560（1+2x）2＝1860
【即学即练2】
8．某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面
改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款6.25亿
元人民币，则每年拨款的增长率为多少？
知识点06 一元二次方程与销售利润问题
1. 一元二次方程与销售利润问题：
计算公式：总利润＝
现单利＝
现数量＝
【即学即练1】
9．山西剪纸是一项古老的民间艺术，有极高的审美价值．某经销商销售“广灵剪纸”“浮山剪纸”“晋
城剪纸”“中阳剪纸”等礼盒，进价均为每盒50元，售价为每盒70元，平均每天可售出100盒，经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，则每
盒剪纸礼盒应降价多少元？设每盒剪纸礼盒应降价x元，根据题意可列方程为（ ）
x
A．(70+x−50)(100+ ×20)=2240
2
x
B．(70−x−50)(100+ ×20)=2240
2
x
C．(70−x−50)(100− ×20)=2240
2
x
D．(70+x−50)(100− ×20)=2240
2
【即学即练2】
10．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年
增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人．
（1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率．
（2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着
市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销
的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组
获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？
知识点07 一元二次方程与几何图形
1. 一元二次方程与几何图形：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。
【即学即练1】
11．如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分未种花
草，使绿化面积为126平方米，设路宽为x米，则可列方程（ ）A．（15﹣x）（10﹣x）＝126 B．15（10﹣x）＝126
C．10（15﹣x）＝126 D．15×10﹣10x﹣15x＝126
【即学即练2】
12．数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm，宽为40cm的长方形纸板，如图，在其四
角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来
得长方体礼品盒．
（1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；
（2）当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm2，求剪去的小正方形的边长．
题型01 由实际问题抽象一元二次方程
【典例1】一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72
x(x−1)
C．（x﹣1）2＝72 D． =72
2
【变式1】某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的 1个主干上长出x个支干，每个
支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是 36个，则下列方程中正确的是（ ）
A．x2＝36 B．（1+x）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36
【变式2】根据乘联会（简称CPCA）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．2025年1
月新能源汽车国内月销量达到74.4万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到241.8万辆．若设
2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x，依题意，可列出方程为（ ）
A．74.4+74.4（1+x）+74.4（1+x）2＝241.8
B．74.4（1+3x）＝241.8
C．74.4（1+x）2＝241.8
D．74.4×3（1+x）＝241.8
【变式3】读诗词，列方程：大江东去，浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十
位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字
比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，
则列出的方程正确的是（ ）
A．10x+（x﹣3）＝x2
B．10（x﹣3）+x＝x2
C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2
D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
【变式4】某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能
售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利
润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（ ）
A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220
B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220
C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220
D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220
【变式5】傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿
样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生
活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长60cm，宽40cm的傣族剪纸的四周镶一条金色纸
边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸
边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正
确的是（ ）
A．（60+x）（40+2x）＝2816
B．（60+2x）（40+2x）＝2816
C．（60+2x）（40+x）＝2816
D．（60+x）（40+x）＝2816题型02 一元二次方程的实际应用
【典例1】九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的 n名班委，班委接到通知后，又分别通
知了班级的其他n名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求n的值．
【变式1】随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施投入，尽快形成合肥都市圈“1小
时通勤圈”和“1小时生活圈”．在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资
金2000万元，2021年投入的资金为2420万元，设这两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求出这两年间的年平均增长率．
（2）若对该道路投入资金的年平均增长率不变，预计完成这条道路改造工程的总投入．
【变式2】某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～
60元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售
价为x（元），月销售量为y（个）．
（1）求出在售价为40～60元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
（3）商场能否实现平均每月15000元的销售利润？【变式3】八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛 1场），以下是小锦和小
江对比赛总场数的统计：
（1）若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？
（2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
（3）赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为
．
【典例4】某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长 60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条
丝绸花边．
（1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天
除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售
出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元；
（3）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？1．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销
活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均
下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
2．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符
合题意的是（ ）
1
A． x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90
2
1
C． x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
2
3．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲
型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人4．如图，长为20m、宽为15m的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种
植面积为252m2，若设小道的宽为x m，则根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+20×15﹣2x＝252
B．20×15﹣20x﹣2×15x＝252
C．（20﹣x）（15﹣2x）＝252
D．（20﹣2x）（15﹣x）＝252
5．嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝
英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时
年龄的个位数字是x，则下列说法正确的是（ ）
A．列方程为x2＝10（x+3）+x
B．列方程为x2﹣10x+30＝0
C．列方程为x2＝10（x﹣3）+x
D．周瑜去世时25岁
6．“立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以
来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月
增长率相同，设为x，依题意可列方程（ ）
A．180（1+x）2＝1260
B．180（1+x）+180（1+x）2＝1260
C．180+180x+180x2＝1260
D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝1260
7．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问
户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿
比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线
长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝2x2 B．（x﹣2）2+42＝x2
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 D．（x﹣4）2+x2＝（x﹣2）2
8．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增
加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出4件，
若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价 x元，由题意可列方程（
）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400
B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
9．如图，小军的爸爸用一段15m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6m）的矩形鸭舍，其面积为24m2，
在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（ ）A．4m或12m B．4m C．2m或6m D．2m
a
10．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图1，以 和b
2
a
为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD= ，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二
2
次方程 x2+4mx＝36，按照图 1 的图解法构造图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，连结 CD，若
S 5
△BCD = ，则m的值为（ ）
S 8
△ACD
A．1.25 B．2.5 C．5 D．8
11．某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，若设共有x
支队伍参加比赛，则可列方程为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，AC＝40cm，CB＝32cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s
的速度移动，同时另一个点 Q从点C开始沿CB向点B以3cm/s的速度移动，当△PCQ的面积等于
300cm2时，经过的时间是 ．
13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群
人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此
类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均
分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？”
14．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每
天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的
销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元．
15．《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，
如图1．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图2所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为7.2m2，则这些桌面的宽度为 m．
16．6月是吃小龙虾的月份，长沙市马王堆批发市场某批发商原计划以每千克 36元的单价对外批发销售小
龙虾．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某夜宵摊准备到该批发商处购买50千克小龙虾做成油爆虾和香辣虾两种产品进行销售，每份产品
标准是1千克，油爆虾每份盈利12元，香辣虾每份盈利22元，请问该摊主至少卖多少份香辣虾才能盈
利超过800元？
17．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长方形
花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的
面积恰好为40m2．
（1）求此时花圃AB边的长；
（2）花圃的面积能达到50m2吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由．
18．活动背景：制作无盖方形纸盒．
现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是2：1．小成将纸板的四个角各剪
裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围成一个无盖的方形纸盒（如图③）．任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是10cm、容积12000cm3的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽
分别是多少？
任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是
896cm2的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由．
19．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某电动车用品批发店准备分两次购入 A、B两款
头盔．第一次购进了A、B两款头盔共500个，A款头盔进价10元，售价20元；B款头盔进价16元，
售价20元．
（1）第一次购进头盔的金额不得超过6320元，则至少购进多少个A款头盔？
（2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变．A款头盔进货量在
（1）的最少进货量的基础上增加了8m个，售价比第一次提高了2m元；B款头盔售价和第一次相同，
进货量为300个，但是在运输过程中有5%已经损坏，无法销售．结果第二批头盔的销售利润为5044元，
求m的值．20．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
（1）第二、三天该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到 605
件，求第二、三天的日平均增长率；
（2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，
若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
