文档内容
专题 02 一元二次方程的实际应用专项
类型一：一元二次方程与数学文化
类型二：一元二次方程与传播问题专项
类型三：一元二次方程与数字问题专项
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
类型八：一元二次方程与几何动点问题专项
类型一：一元二次方程与数学文化
1．《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与
乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速
度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、
乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．（7x﹣10）2＝102+（3x）2 B．（7x﹣10）2+（3x）2＝102
C．（7x﹣10）2+102＝（3x）2 D．（7x+10）2＝102+（3x）2
【答案】A
【解答】解：画出图形，如图所示．
根据题意得：（7x﹣10）2＝102+（3x）2．
故选：A．
2．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问
户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿
比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线
长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝2x2 B．（x﹣2）2+42＝x2
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 D．（x﹣4）2+x2＝（x﹣2）2【答案】C
【解答】解：根据勾股定理可得：
（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，
故选：C．
3．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知
识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一
样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（ ）
1 1
A．1−x2= B．(1+x) 2=
2 2
1 1
C． (1+x) 2=1 D．(1−x) 2=
2 2
【答案】D
1
【解答】解：根据题意可得(1−x) 2= ，
2
故选：D．
4．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阔一尺，不二寸，问门广
几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC）门边缘D、C两点到门槛的距离是1尺（即C、D到
线段AB的距离为1尺），两扇门的间隙CD为2寸，则宽AB是多少寸？（1尺＝10寸）设单门的宽度
AO是x尺，则所列方程为（ ）
A．x2＝1+（x+0.1）2 B．x2＝1+（x﹣0.1）2
C．x2＝1+（x+0.2）2 D．x2＝1+（x﹣0.2）2
【答案】B
【解答】解：根据勾股定理，得x2＝1+（x﹣0.1）2，
故选：B．
5．《九章算术》有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：
已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？如果设门
的宽为x尺，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x2+（x﹣6）2＝102 B．（x﹣6）2+102＝x2
C．x2+（x+6）2＝102 D．x2+102＝（x+6）2
【答案】C
【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
x2+（x+6）2＝102，故选：C．
6．我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，
引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在
它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多
少？（小知识：1丈＝10尺）若设水深为x尺，则符合题意的方程是（ ）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x+1）2+52＝x2 D．（x+1）2+102＝x2
【答案】A
【解答】解：由题意得：x2+52＝（x+1）2，
故选：A．
7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，
去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长为9
尺，求绳索AC长为多少？设绳索AC长为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．（x﹣3）2+92＝x2 B．（x+3）2+92＝x2
C．x2+92＝（x﹣3）2 D．x2+92＝（x+3）2
【答案】A
【解答】解：根据题意，得（x﹣3）2+92＝x2，
故选：A．
类型二：一元二次方程与传播问题专项
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则可列方程为（ ）
A．1+x+x2＝49 B．x+x2＝49
C．1+x+x（1+x）＝49 D．x+x（1+x）＝49
【答案】C
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
而已知经过两轮传染后共有49人患了流感，则可得方程，
1+x+x（1+x）＝49．
故选：C．
2．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A．1+x+x2＝49 B．x+x2＝49
C．（1+x）2＝49 D．x+x（1+x）＝49
【答案】C
【解答】解：∵某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均
每人传染x人，
∴（x+1）+x（x+1）＝49，
即：（1+x）2＝49；
故选：C．
3．国庆期间，某市一中学发起了“热爱祖国，说句心里话”征集活动．学校学生会主席将征集活动通知
发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动通知，每个好友转发朋友圈后，再分别邀请 n个互不
相同的好友将征集活动通知转发朋友圈，以此类推，已知经过两轮转发后，共有871人将征集活动通知
发在自己的朋友圈，则n所满足的方程为（ ）
A．（1+n）2＝871 B．n（n﹣1）＝871
C．1+n+n2＝871 D．n（n+1）＝871
【答案】C
【解答】解：由题意知，第一轮结束后共有（1+n）个人，第二轮结束后共有（1+n+n2）个人，
依题意得，1+n+n2＝871，
故选：C．
4．10月8号到校前，帅童收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学
转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，帅童给 1 2 个同学发了短信．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设帅童给x个同学发了短信，
依题意，得：1+x+x2＝157，
解得：x ＝﹣13（舍去），x ＝12．
1 2
故答案为：12．
5．Omicron（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染
了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者，在每轮传染中，平均一个
人传染了 1 1 人．
【答案】11．
【解答】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝144，
整理得：（1+x）2＝144，
解得：x ＝11，x ＝﹣13（不合题意，舍去）．
1 2
即每轮传染中，平均每个人传染了11个人，
故答案为：11．6．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、
食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、
腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有 81人被传染，请问每轮传染中平均一个
人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则一轮传染后共有x+1人被传染，两轮传染后共有x+1+x（x+1）人被传染，
∴x+1+x（x+1）＝81，
整理得，x2+2x﹣80＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣10（舍去），
1 2
∴每轮传染中平均一个人传染了8个人，
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．
7．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪
场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病．
（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？
【答案】（1）每头发病生猪平均每天传染15头生猪；
（2）若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．
【解答】解：（1）设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，
根据题意可得：1+x+（1+x）x＝196，
解得：x ＝13，x ＝﹣15（不合题意，舍去）．
1 2
答：每头发病生猪平均每天传染15头生猪．
（2）196×（1+13）＝196×14＝2744（头），
2744＞2500，
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．
类型三：一元二次方程与数字问题专项
1．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题：
周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十比个位正小三，个位六倍与寿符．
哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上
的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字
为x，下列方程正确的是（ ）
A．（x﹣3）+x＝6x B．10（x﹣3）+x＝6x
C．x（x+3）＝6x D．（x﹣3）+10x＝6x
【答案】B【解答】解：设这个两位数个位上的数字为x，
则这个两位数十位上的数字为（x﹣3），
由题意可列方程：10（x﹣3）+x＝6x．
故选：B．
2．有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数
字之积的3倍，则这个两位数为（ ）
A．24 B．15 C．24或15 D．42或51
【答案】C
【解答】解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为6﹣x．则，
3x（6﹣x）＝10（6﹣x）+x，
解得x ＝4，x ＝5，
1 2
当x＝4时，即原来的两位数个位数字为4，十位数字为2．
∴这个两位数是24，
当x＝5时，即原来的两位数个位数字为5，十位数字为1．
∴这个两位数是15，
故选：C．
3．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列
出方程为 x （ x + 1 ）＝ 7 2 ．
【答案】x（x+1）＝72．
【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为x+1，
由题意得x（x+1）＝72，
故答案为：x（x+1）＝72．
4．根据下面的问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位
数小4，求这个两位数．
【答案】2x2﹣3x﹣20＝0．
【解答】解：设个位数为x，则十位数字为（x+4），根据题意可得：
10（x+4）+x﹣4＝（x+4）2+x2，
整理得：2x2﹣3x﹣20＝0．
5．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数
值比原来的两位数大138，求这原来的两位数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，
根据题意列出方程得：
[10（x+2）+x]+138＝（10x+x+2）2，
整理得11x2+3x﹣14＝0，14
解得x ＝1，x =− （不合题意舍去）．
1 2 11
答：这原来的两位数是31．
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
1．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（
）
1 1
A． x（x+1）＝45 B． x(x−1)=45
2 2
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】B
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
1
∴共比赛场数为 x（x﹣1），
2
∴共比赛了45场，
1
∴ x（x﹣1）＝45，
2
故选：B．
2．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设
九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x2＝1560 B．x（x﹣1）＝1560
1
C．x（x+1）＝1560 D． x(x−1)=1560
2
【答案】B
【解答】解：∵九（1）班共有x名学生，
∴每名学生赠祝福卡（x﹣1）张．
根据题意得：x（x﹣1）＝1560．
故选：B．
3．一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72
x(x−1)
C．（x﹣1）2＝72 D． =72
2
【答案】B
【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝72．
故选：B．
4．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育
活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一
场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
1 1
C． x(x+1)=28 D． x(x−1)=28
2 2
【答案】D
1
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝28．
2
故选：D．
5．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送
一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼物，
依题意，得：x（x﹣1）＝30，
解得：x ＝6，x ＝﹣5（不合题意，舍去）．
1 2
答：该兴趣小组的人数为6人．
6．八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛
总场数的统计：
（1）若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？
（2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
（3）赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为 4
．
【答案】4．
6×(6−1)
【解答】解：（1）由题意，得6个人需比赛的局数为 =15（场），
2
答：若参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛；
（2）小江说的有道理，
理由如下：设有x人报名参赛，
x(x−1)
由题意得 =40，
2
1±❑√321
整理得 x2﹣x﹣80＝0，解得x= ，不为整数．
2∴方程的解不符合实际，小江说的有道理；
(x−1)(x−2)
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得， +n=40，
2
整理得x2﹣3x+2n﹣78＝0，
3±❑√321−8n
解得x= ，
2
当n＝4时，x＝10（符合题意）或x＝﹣7（不符合题意），
∴共有10名参赛者报名本次比赛．
故n的值为4．
故答案为：4．
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
1．某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第
三个月新建了500个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（
）
A．300（1﹣x）2＝500 B．300（1+x）2＝500
C．500（1﹣x）2＝300． D．500（1﹣x）2＝300
【答案】B
【解答】解：根据题意，列出方程为300（1+x）2＝500，
故选：B．
2．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销
活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月
平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．25（1﹣x）2＝20.25 B．20.25（1+x）2＝25
C．20.25（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣2x）＝20.25
【答案】A
【解答】解：根据题意得：25（1﹣x）2＝20.25．
故选：A．
3．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，
若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
【答案】D
【解答】解：∵某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，
∴二月份的产值为：50（1+x），∴三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故选：D．
4．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售1500个，7月份销售2160个，且从5月份到7
月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是 1200
个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少 30个/月，现该厂要保证每月生产头盔
5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）应该增加4条生产线．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意得：1500（1+x）2＝2160，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去），
1 2
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设应该增加m条生产线，
由题意得：（1200﹣30m）（m+1）＝5400，
整理得：m2﹣29m+100＝0，
解得：m ＝4，m ＝35（不符合题意，舍去），
1 2
答：应该增加4条生产线．
5．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．某运动商城的自行车销售量逐月
增加，据统计，该商城2月份销售自行车64辆，4月份销售自行车100辆．
（1）若该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率相同，求该商城3月份售出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进一批A，B两种型号的自行车共100辆，已知A型
自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．若所
购进的自行车全部售完，为使利润不低于26000元，该商城购进A型自行车最多多少辆？
【答案】（1）该商城3月份售出80辆自行车；
（2）该商城购进A型自行车最多40辆．
【解答】解：（1）设该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率为x，
根据题意得：64（1+x）2＝100，
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
1 2
∴64（1+x）＝64×（1+25%）＝80（辆）．
答：该商城3月份售出80辆自行车；
（2）设该商城购进A型自行车y辆，则购进B型自行车（100﹣y）辆，
根据题意得：（700﹣500）y+（1000﹣700）（100﹣y）≥26000，
解得：y≤40，∴y的最大值为40．
答：该商城购进A型自行车最多40辆．
类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
1．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增
加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出4件，
若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价 x元，由题意可列方程（
）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400
B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
【答案】B
【解答】解：设每件商品降价x元，
由题意可得：（60﹣20﹣x）（20+4x）＝1400，
即（40﹣x）（20+4x）＝1400，
故选：B．
2．山西剪纸是一项古老的民间艺术，有极高的审美价值．某经销商销售“广灵剪纸”“浮山剪纸”“晋
城剪纸”“中阳剪纸”等礼盒，进价均为每盒50元，售价为每盒70元，平均每天可售出100盒，经市
场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，则每
盒剪纸礼盒应降价多少元？设每盒剪纸礼盒应降价x元，根据题意可列方程为（ ）
x
A．(70+x−50)(100+ ×20)=2240
2
x
B．(70−x−50)(100+ ×20)=2240
2
x
C．(70−x−50)(100− ×20)=2240
2
x
D．(70+x−50)(100− ×20)=2240
2
【答案】B
x
【解答】解：根据题意可列方程为（70﹣x﹣50）（100+ ×20）＝2240，
2
故选：B．
3．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80
个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达
4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x灵石，则列出方程为（ ）
x
A．(50−x)(80+ ×10)=4000
2x
B．(50−x−30)(80+ ×10)=4000
2
C．（50﹣x﹣30）（80+10x）＝4000
D．（50﹣2x﹣30）（80+10x）＝4000
【答案】B
x
【解答】解：根据题意得：（50﹣x﹣30）（80+ ×10）＝4000，
2
故选：B．
4．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨
0.5元，其销量就减少10件．售价为（ ）元时，每天的利润可得到700元．
A．13 B．15 C．13或15 D．10
【答案】C
【解答】解：设涨价t元，
根据题意列方程得：（10+t﹣8）[200﹣10×（t÷0.5）]＝700，
∴（2+t）（10﹣t）＝35，
整理得，t2﹣8t+15＝0，
解得t ＝3，t ＝5，
1 2
∴10+3＝13（元）或10+5＝15（元），
即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元，
综上所述，只有选项C正确，符合题意．
故选：C．
5．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来
经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克．
（1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：
①每千克樱桃应降价多少元？
②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降
价多少元；如果不可以，请说明理由．
【答案】（1）①每千克樱桃应降价4元或6元；②该店应按原售价的9折出售；
（2）不可以达到，理由见解析．
【解答】解：（1）①设每千克樱桃应降价x元，根据题意列一元二次方程得：
x
(60−x−40)(100+ ×30)=2240，
3
解得x ＝4，x ＝6，
1 2
答：每千克樱桃应降价4元或6元；
②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价 6元．
此时，售价为60﹣6＝54（元），54
∴ ×100%=90%．
60
即该店应按原售价的9折出售；
（2）设每千克樱桃应降价y元，根据题意列方程得：
（60﹣y﹣40）（100+10y）＝2400，
整理得，3y2+40y+400＝0，
∵Δ＝402﹣4×3×400＝﹣3200＜0，
∴原方程没有实根．
答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元．
6．在政府消费补贴政策推动下，各大商圈销售持续升温，某精品店借着这一波热度，在5月份用5100元
购进了一批遮阳帽和防晒衣共80件进行销售．已知遮阳帽每顶的进价为60元，售价为80元；防晒衣
每件的进价为75元，售价为120元．
（1）该精品店5月份遮阳帽和防晒衣各购进多少件？
（2）市场热销，5月份购进的遮阳帽和防晒衣全部售出，6月份精品店再购进一批遮阳帽和防晒衣．为
增加6月份防晒衣的销量，老板采取降价促销．据市场调查发现，在 5月份的基础上，若防晒衣的售价
每降低2元，则可多售出1件（实际售价不低于进价）．若6月份遮阳帽的售价、销售量与5月份相同，
两种商品6月份的销售总额为7800元，则6月份每件防晒衣的售价为多少元？
【答案】（1）该精品店5月份遮阳帽购进60件，防晒衣各购进20件；
（2）6月份每件防晒衣的售价为100元．
【解答】解：（1）设该精品店5月份遮阳帽购进x件，防晒衣各购进y件，
{ x+ y=80 )
由题意得： ，
60x+75 y=5100
{x=60)
解得： ，
y=20
答：该精品店5月份遮阳帽购进60件，防晒衣各购进20件；
m
（2）设每件防晒衣降价m元，则售价为（120﹣m）元，销量为（20+ ×1）件，
2
m
由题意得：60×80+（120﹣m）（20+ ×1）＝7800，
2
整理得：m2﹣80m+1200＝0，
解得：m ＝20，m ＝60（不符合题意，舍去），
1 2
∴120﹣m＝100，
答：6月份每件防晒衣的售价为100元．
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
1．如图，某校有一块长为50m，宽为20m的长方形“劳动实践基地”，为满足各班种植需求，学校铺设
了7条宽度相等的石板小路（图中阴影部分），将“劳动实践基地”分成了20个种植区域（图中空白
部分），其中种植区域面积为782m2．设石板小路的宽为x m，根据题意可列出方程为（ ）A．20×50﹣20×4x﹣50×3x＝782
B．20×50﹣20×4x﹣50×3x﹣12x2＝782
C．（20﹣3x）（50﹣4x）＝782
D．（20﹣4x）（50﹣3x）＝782
【答案】C
【解答】解：设石板小路的宽为x m，根据题意可列出方程为（50﹣4x）×（20﹣3x）＝782，
故选：C．
2．如图，已知长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，分别在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成
底面积为24cm2的无盖长方体盒子，则可列方程为（ ）
A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10﹣x）（8﹣x）＝24
C．（10﹣x）（8﹣2x）＝24 D．（10﹣2x）（8﹣x）＝24
【答案】A
【解答】解：根据（长方形的长﹣2x）（长方形的宽﹣2x）＝24cm2可得：
（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，
故选：A．
3．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿
化，要使绿化面积为 7644 平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为
（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x＝7644
B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644
C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644D．100x+80x＝356
【答案】C
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）＝7644，
故选：C．
4．活动背景：制作无盖方形纸盒．
现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是2：1．小成将纸板的四个角各剪
裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围成一个无盖的方形纸盒（如图③）．
任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是10cm、容积12000cm3的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽
分别是多少？
任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是
896cm2的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由．
【答案】任务1：原硬纸板的长是80cm，宽是40cm；
任务2：剪裁的小正方形的边长为12cm时，小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒．
【解答】解：任务1：设原硬纸板的宽是x cm，则长是2x cm，
根据题意得：10（2x﹣20）（x﹣20）＝12000，
整理得：x2﹣30x﹣400＝0，
解得：x ＝40，x ＝﹣10（不符合题意，舍去），
1 2
∴2x＝80，
答：原硬纸板的长是80cm，宽是40cm；
任务2：小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒，理由如下：
设剪裁的小正方形的边长为y cm，
根据题意得：（80﹣2y）（40﹣2y）＝896，
整理得：y2﹣60y+576＝0，
解得：y ＝12，x ＝48（不符合题意，舍去），
1 2
答：剪裁的小正方形的边长为12cm时，小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒．
5．如图，某校准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现
已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为x m．
（1）BC的长为 （ 6 0 ﹣ 2 x ） m；x的取值范围是 17. 5 ≤ x ＜ 3 0 ；
（2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400m2；
（3）嘉嘉说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由．【答案】（1）（60﹣2x）；17.5≤x＜30；
（2）当x为20m时，矩形花园ABCD的面积为400m2；
（3）嘉嘉的说法不正确，理由见解析过程．
【解答】解：（1）∵AB＝x cm，
∴BC＝（60﹣2x）cm，
∵0＜BC≤25，
∴17.5≤x＜30，
故答案为：（60﹣2x）；17.5≤x＜30；
（2）根据题意得x（60﹣2x）＝400，
整理得x2﹣30x+200＝0，
解得x ＝10（舍），x ＝20，
1 2
答：当x为20m时，矩形花园ABCD的面积为400m2；
（3）嘉嘉的说法不正确；
理由：根据题意得x2﹣30x+250＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴该方程无实数根，
∴矩形花园ABCD的面积不可以为500m2，即嘉嘉的说法不正确．
