考点22利用导数研究函数的极值和最值（原卷版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 22 利用导数研究函数的极值和最值 【命题解读】 从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是 导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、 恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将 导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活 应用数学知识分析问题、解决问题的能力 【基础知识回顾】 1、函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2、函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b] 上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、常用结论 1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 1、函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( ) A．1＋ln 2 B．1－ln 2C. D. 2、函数f (x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f (x)( ) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 3、设函数f (x)＝＋ln x，则( ) A．x＝为f (x)的极大值点 B．x＝为f (x)的极小值点 C．x＝2为f (x)的极大值点 D．x＝2为f (x)的极小值点 4、已知a为函数f (x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( ) A．－4 B．－2 C．4 D．2 5、函数 的极大值是正数，极小值是负数，则 的取值范围是________． 考向一 利用导数研究函数的极值 例1、已知函数 ，求函数 的极大值与极小值． 变式1、已知函数f(x)＝＋lnx，求函数f(x)的极值．方法总结：(1)求函数 极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数 ； ③解方程 ，求出函数定义域内的所有根； ④列表检验在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 在 处取极大值，如果左负 右正，那么 在 处取极小值． (2)若函数 在区间内有极值，那么 在 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数 没有极值． 考向二 利用导数研究函数的最值 1 f x x3 x2 ax1 例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数 2 ． y  f x  0, f 0 a2 （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；  3 2, （2）若函数 f x在x1处有极小值，求函数 f x 在区间   2  上的最大值． 变式1、已知 ，函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)求 在区间 上的最小值． 变式2、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值． 考向三 极值（最值）的综合性问题 例3、已知函数 在 处取得极大值为2. (1) 求函数 的解析式； (2) 若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最小值． 变式1、已知函数f(x)＝(a>0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． 1 f xx1ex  ax2 2ax 变式2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数 2 （e是自然对 数的底数）. f x （Ⅰ）讨论 极值点的个数； x x 2 f x f 2e2 f x 1 （Ⅱ）若 0 0 是 的一个极值点，且 ，证明： 0 . 方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值； 2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么． 1、（2017年高考全国Ⅱ卷理数）若 是函数 的极值点，则 的极小值为 A． B． C． D．12、【2019年高考北京理数】设函数 （a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________； 若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 ，则 的最小值是_____________． f(x)(2ax2 4x)lnxax2 4x(aR 4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数 且a≠0）． （1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； 1 （2）若函数f（x）的极小值为a ，试求a的值． 5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数 ． （1）当 时，讨论 的单调性； （2）当 时， ，求 的取值范围． 6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数 ． （1）若 ，求 的取值范围； （2）设 ，讨论函数 的单调性．