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考点 22 利用导数研究函数的极值和最值
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是
导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、
恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将
导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活
应用数学知识分析问题、解决问题的能力
【基础知识回顾】
1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a
附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b
附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]
上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1、函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A．1＋ln 2 B．1－ln 2C. D.
【答案】C
【解析】 因为f(x)＝x2－ln x(x>0)，所以f′(x)＝2x－，令2x－＝0得x＝，令f′(x)>0，则
x>；令f′(x)<0，则00，f (x)为增函数，当x0.
当x>2时，f′(x)>0，f (x)为增函数；当00，函数f (x)单
调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f (x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f (x)单调递增，
所以a＝2.
5、函数 的极大值是正数，极小值是负数，则 的取值范围是________．
【答案】：(，＋∞)【解析】：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，
当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数递增．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，解得a>.
∴a的取值范围是(，＋∞)
考向一 利用导数研究函数的极值
例1、已知函数 ，求函数 的极大值与极小值．
【解析】：由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax .
令f′(x)＝0得x＝0或.
当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：
(－
x 0 (0，) (，＋∞)
∞，0)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
极 极
f(x) ↗ ↘ ↗
大值 小值
∴f(x) ＝f(0)＝1－，f(x) ＝ ＝－－＋1.
极大值 极小值
当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：
(0，＋
x (－∞，) (，0) 0
∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
极 极
f(x) ↘ ↗ ↘
小值 大值
∴f(x) ＝f(0)＝1－，f(x) ＝ ＝－－＋1.
极大值 极小值
综上，f(x) ＝f(0)＝1－，f(x) ＝ ＝－－＋1.
极大值 极小值
变式1、已知函数f(x)＝＋lnx，求函数f(x)的极值．
【解析】 ∵f(x)＝＋lnx，∴f′(x)＝－＋＝，令f(x)＝0，得x＝1，列表：x (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
∴x＝1是f(x)的极小值点，f(x)的极小值为1，无极大值．
方法总结：(1)求函数 极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数 ；
③解方程 ，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 在 处取极大值，如果左负
右正，那么 在 处取极小值．
(2)若函数 在区间内有极值，那么 在 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数
没有极值．
考向二 利用导数研究函数的最值
1
f x x3 x2 ax1
例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数 2 ．
y f x 0, f 0
a2
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
3
2,
（2）若函数 f x在x1处有极小值，求函数 f x 在区间 2 上的最大值．
49
【答案】（1）2x y10；（2）27
.
【解析】
1
f(x) x3 x2 2x1
（1）当a2时， 2 ， f(x)3x2 x2 ，
f(0)2 f(0)1 y f x 0, f 0 y12x
所以 ，又 ，所以曲线 在点 处切线方程为 ，即2x y10
.
f(x)3x2 xa
（2）因为 ，
f x在x1 f(1)2a 0a 2
因为函数 处有极小值，所以 ，
f(x)3x2 x2
所以
2
fx0 x
由 ，得 3或x1，
2
x fx0
当 3 或x1时， ，
2
x1
当 3 时， f(x)0，
2 3 2
所以 f x 在 2, 3 ， 1, 2 上是增函数，在 3 ,1 上是减函数，
2 49 3 1
f f
因为 3 27 ， 2 4，
2 49
f
所以 f x 的最大值为 3 27 .
变式1、已知 ，函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最小值．
【解析】
：(1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．
因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为.
又f(2)＝ln 2－，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2－)＝(x－2)，
即x－4y＋4ln 2－4＝0.
(2)因为f(x)＝＋ln x－1，所以f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．
②若00，函数
f(x)在区间(a，e]上单调递增，
所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.
③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，
所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
∴f(x) ＝f(1)＝－1.
max
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，
∴f(x) ＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意．
max
②若a<－，令f′(x)>0得 a＋>0，结合x∈(0，e]，
解得00)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
解：(1)f′(x)＝
＝.
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex>0，所以f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a>0，所以当－30，即f′(x)>0，
当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.
由(1)可知当x＝0时f(x)取得极大值f(0)＝5，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．
而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
1
f xx1ex ax2 2ax
变式2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数 2 （e是自然对数的底数）.
f x
（Ⅰ）讨论 极值点的个数；
x x 2 f x f 2e2 f x 1
（Ⅱ）若 0 0 是 的一个极值点，且 ，证明： 0 .
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
f x fxx2 ex a
（Ⅰ） 的定义域为R， ，
a0 ex a0
①若 ，则 ，
x,2 fx0 x2, fx0
所以当 时， ；当 时， ，
f x ,2 2,
所以 在 上递减，在 递增.
f x
x2
所以 为 唯一的极小值点，无极大值，
f x
故此时 有一个极值点.
fxx2 ex a 0
②若a0，令 ，
x 2 x lna
则 1 ， 2 ，
2lna
ae2
当 时， ，
x,2 fx0 x 2,lna fx0
则当 时， ；当 时， ；
x lna, fx0
当 时， .
lna f x
所以－2， 分别为 的极大值点和极小值点，
f x
故此时 有2个极值点.
2lna
a e2
当 时， ，fx(x2) ex a 0
且不恒为0，
f x
R
此时 在 上单调递增，
无极值点
2lna
e2 a0
当 时， ，
x ,lna fx0 x lna,2
则当 时， ；当 时，
fx0 x2, fx0
；当 时， .
lna f x
所以 ，－2分别为 的极大值点和极小值点，
f x
故此时 有2个极值点.
f x
a e2
综上，当 时， 无极值点；
f x
a0
当 时， 有1个极值点；
f x
ae2 e2 a0
当 或 时， 有2个极值点.
x x 2 f x
（Ⅱ）证明：若 0 0 是 的一个极值点，
a ,e2 e2,0
由（Ⅰ）可知 ，
f 2e2 2ae2 a ,e2
又 ，所以 ，
x 2 x lna
且 0 ，则 0 ，
1
f x f lna aln2a2lna2
所以 0 2 .
t lna2,
aet
令 ，则 ，
1
gt f lna et t2 2t2
所以 2 ，1
gt tt4et
故 2
t2, gt0
t40 t 0
又因为 ，所以 ，令 ，得 .
t2,0 gt0 gt
当 时， ， 单调递增，
t0, gt0 gt
当 时， ， 单调递减，
gt
t 0
所以 是 唯一的极大值点，也是最大值点，
gt g01
即 ，
f lna 1 f x 1
故 ，即 0 .
方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；
2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．
1、（2017年高考全国Ⅱ卷理数）若 是函数 的极值点，则 的极小值为
A． B．
C． D．1
【答案】A
【解析】由题可得 ，
因为 ，所以 ， ，故 ，
令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的极小值为 .
故选A．
2、【2019年高考北京理数】设函数 （a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；
若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用 可得a的
取值范围.
若函数 为奇函数，则 即 ，
即 对任意的 恒成立，
则 ，得 .
若函数 是R上的增函数，则 在R上恒成立，
即 在R上恒成立，
又 ，则 ，
即实数 的取值范围是 .
3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 ，则 的最小值是_____________．
3√3
【答案】−
2
1
【解析】f '(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx−2=4(cosx+1)(cosx− )，
2
1 1
所以当cosx< 时函数单调递减，当cosx> 时函数单调递增，
2 2
从而得到函数的递减区间为 ，函数的递增区间为 ，
所以当 时，函数f (x)取得最小值，
√3 √3
此时sinx=− ,sin2x=− ，
2 2
√3 √3 3√3
所以f (x) =2×(− )− =− ，
min 2 2 2
3√3
故答案是− .
2
f(x)(2ax2 4x)lnxax2 4x(aR
4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数 且a≠0）．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
1
（2）若函数f（x）的极小值为a ，试求a的值．
y -a-4 a 2 3
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（a∈R，且a≠0）．
f '(x)4(ax1)lnx,x(0,) f '(1)0, f(1)-a-4
由题意可知 ．
y -a-4
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ．
f '(x), f(x)
（Ⅱ）①当a＜-1时，x变化时 变化情况如下表：
1 1 1
x 0， ，1 1 （1，+∞）
a a a
f '(x) - 0 + 0 -
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 1 3 2 1 1
f ln(a) a 1
此时 a a a a ，解得 e ，故不成立．
f '(x)
②当a=-1时， ≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．
此时f（x）无极小值，故不成立．
f '(x), f(x)
③当-1＜a＜0时，x变化时 变化情况如下表：
1 1 1
x （0，1） 1 1， ，
a a a
f '(x) - 0 + 0 -
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
1
a4
此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得 a ，
a 2 3 a2 3
解得 或 ．
a 32
因为-1＜a＜0，所以 ．
f '(x), f(x)
④当a＞0时，x变化时 变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f '(x) - 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
1
a4
此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得 a ，
a 2 3 a2 3
解得 或 ，故不成立．
a 2 3
综上所述 ．5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
(2)由 得， ，其中 ，
①．当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②．当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，则 ， ，
故 单调递增， ，故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；因此， ．综上可得，实数a的取值范围是 ．
6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）设 ，讨论函数 的单调性．
【解析】（1）函数 的定义域为： ，
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，∴当 时，函数
有最大值，即 ，要想不等式 在 上恒成立，只
需 ．
（2） 且 ，因此
，
设 ，则有 ，
当 时， ，∴ ， 单调递减，因此有 ，即
，∴ 单调递减；当 时， ，∴ ， 单调递增，因此有 ，即 ，∴
单调递减，∴函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间．
