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专题 21.5 一元二次方程组根与系数的关系
1. 掌握根与系数的关系并能够熟练运用其求值。
教学目标 2. 掌握根与系数的关系的拓展式子，并能够熟练应用其求相关式子的值。
3. 能综合应用根与系数的关系的所有式子解决相应的问题。
1. 重点
（1）根与系数的关系的基本式子；
（2）根与系数的关系的变形拓展式；
教学重难点 2. 难点
（1）根与系数的关系的变形拓展式的求值；
（2）利用根与系数的关系求代数式的值；
（3）利用根与系数的关系求方程中的位置参数。知识点01 根与系数的关系
1. 一元二次方程根与系数的关系：
由公式法可知，若一元二次方程的 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别
是
与 。由此可求出：
① ；② 。
【即学即练1】
1．设一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x ，x ，则下列选项正确的是（ ）
1 2
A．x +x ＝2 B．x +x ＝﹣2
1 2 1 2
1
C．x x =− D．x x ＝1
1 2 2 1 2
【即学即练2】
2．已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（ ）
A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030
【即学即练3】
3．已知x＝2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A．﹣5 B．1 C．2 D．﹣1
知识点02 跟与次数的关系的变形拓展
1. 根与系数的关系的推广应用：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ 。
⑥ 。
【即学即练1】
4．设x ，x 是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x2+x2的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．10 C．2 D．﹣10
【即学即练2】
5．已知a，b是一元二次方程2x2﹣4x＝3的两个根，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6
【即学即练3】
6．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x ，x ，则（x +1）（x +1）的值为（ ）
1 2 1 2A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5
【即学即练4】
3 3
7．已知x ，x 分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式 + 的值为（ ）
1 2 x x
1 2
A．4 B．5 C．2 D．6
【即学即练5】
n m
8．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则 + 的值为（ ）
m n
5 13 1 17
A． B．− C． D．−
2 2 4 4
题型01 利用根与系数的关系求两个的和与积
【典例1】若 ， （ ≠ ）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则 + ＝（ ）
A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10
α β α β α β
【变式1】已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x ，x ，则x +x ﹣x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【变式2】若x ，x 是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则（ ）
1 2
A．x +x ＝﹣2 B．x +x ＝2
1 2 1 2
1
C．x x ＝3 D．x x =−
1 2 1 2 3
【变式3】若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（ ）
A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023
题型02 利用根与系数的关系求变形拓展式子的值
对式子进行运算变形，最终用x +x ，x ·x 来表示，在带入求值。
1 2 1 2
【典例1】已知x 和x 是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x2+x2的值为（ ）
1 2 1 2
A．6 B．2 C．﹣4 D．3
【变式1】若x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则x2x +x x2的值为 ．
1 2 1 2 1 2
1 1
【变式2】若x ，x 是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则 + 的值为（ ）
1 2 x x
1 23 3 5 5
A．− B． C． D．−
5 5 3 3
β α
【变式3】已知 ， 是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则 + 的值等于（ ）
α β
22 α β 22 4 4
A．− B． C．− D．
9 9 9 9
【变式4】方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x ，x ，则（x +1）（x +1）的值为（ ）
1 2 1 2
A．﹣33 B．15 C．﹣28 D．﹣21
【变式5】设x ，x 是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则❑√x +❑√x =（ ）
1 2 1 2
A．❑√3 B．❑√5 C．3 D．5
【变式6】已知 ， 是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024 + 2）（1+2025 + 2）的值是（
）
α β α α β β
A．4 B．3 C．2 D．1
题型03 利用根与系数的关系求代数式的值
对式子变形，通常把高次方通过方程降次处理，最后变形为两根之和与两个之积的形式再带入求值。
【典例1】设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（ ）
A．2020 B．2022 C．2024 D．2026
【变式1】若 ， 是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则 2+3 + 的值为（ ）
A．2023 B．2027 C．﹣2023 D．4050
α β α α β
【变式2】已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（ ）
A．2025 B．2028 C．2030 D．4048
【变式3】已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x3−2024x +x2的值为（ ）
1 2 1 1 2
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
2025
【变式4】已知方程x2﹣2025x+1＝0的两根分别为m、n，则m2−
的值为 ．
n
题型04 根据已知根及根与系数的关系求方程的另一个根
【典例1】若一元二次方程x2+5x+4＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ）
A．4 B．1 C．0 D．﹣4
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个实数根为2，则另一个实数根是（ ）
A．﹣8 B．﹣3 C．3 D．4
【变式2】方程﹣2x2+kx﹣3＝0的一个根为2，则另一个根为（ ）11 3 1
A． B．1 C． D．−
2 4 2
【变式3】已知关于y的方程y2﹣ky+2025＝0的一个根1，则方程的另一个根为 ．
题型05 根据根与系数的关系满足的式子求未知参数
【典例1】若x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+k＝0的两个根，且x +x ＝7﹣x x ，则k的
1 2 1 2 1 2
值为（ ）
A．﹣4或1 B．﹣4 C．1 D．1或4
1 1
【变式1】已知 ， 是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足 + =−1，
α β
则m的值为（α β）
A．3 B．3或﹣1 C．1 D．﹣3或1
【变式2】关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根的倒数和为1，则m＝（ ）
A．﹣2或0 B．2或0 C．2 D．0
【变式3】若关于x的方程（k+2）x2+3x+k2＝0的两根互为倒数，则k＝（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．±1
题型06 根与系数的关系与根的判别式的综合
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根，分别为x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围．
（2）当2（x +x ）+x x +10＝0时，求m的值．
1 2 1 2
【变式1】已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m+1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x ，x ，且满足（x ﹣1）（x ﹣1）＝﹣m，求实数m的值．
1 2 1 2
【变式2】已知关于x的方程：x2+2kx+k2﹣3＝0，其中k是常数．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m、n是此方程的两个根，当k＝1时，求代数式2025﹣m2+2m+4n的值．
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）当m＝1时，解该一元二次方程；
（2）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；
x x 5
（3）若x ，x 是方程的两个实数根，且
2+ 1=−
，求m的值．
1 2 x x 2
1 2
1．若a，b是方程x2﹣2025x+1＝0的两个实数根，则下列结论正确的是（ ）2025
A．a+b= B．a+b＝﹣2025 C．ab＝1 D．ab＝﹣1
2
2．一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有两个实数根a，b，那么一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b的图象一定不经过
的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x 2+x 2＝（ ）
1 2 1 2
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．10
4．若 ， 是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则 2﹣ ﹣2 +3的值为（ ）
A．2028 B．2026 C．2024 D．2022
α β α α β
5．已知 ， 是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020 + 2）（1+2020 + 2）的值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
α β α α β β
6．小影和小冬在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和
1，小冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为﹣2和﹣5，则原来的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0
C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0
7．设直角三角的两条直角边a，b是方程2x2﹣6x+1＝0的两个根，则该直角三角形的斜边为（ ）
A．❑√7 B．2❑√2 C．3 D．❑√10
8．实数a、b（a≠b）满足a2﹣5a﹣1＝0，b2﹣5b﹣1＝0，则（ ）
A．a+b＝5，a2+6b＞0 B．a+b＝5，a2+6b＜0
C．a+b＝﹣5，a2+6b＞0 D．a+b＝﹣5，a2+6b＜0
9．若关于 x 的方程 x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0 有两个实数根，且两根之和不小于﹣6，则代数式
❑√(m+2) 2−8m−|m+1|化简的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2m﹣1 D．﹣2m+1
10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则
称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）
①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m+n＝0；
③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
11．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣4＝0的一个根等于4，则另一个根为 ．
b2
12．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个非零实数根分别是m和2m，则 ．
c
1 1
13．实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，则 + 的值是 ．
m n1 1 2
14． ， 是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的两实数根，且 + =− ，则m的值为 ．
α β 3
15． α 对于 β 任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，
n m
n是方程（x+2）*3＝0的两根，则 + 的值为 ．
m n
16．设x ，x 是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
1 2
1 1
+
（1）（x +1）（x +1）； （2） ．
1 2 x x
1 2
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝1是一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0的一个根．求方程的另一个根．
1
18．已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m− =0的两个实数根．
2
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
19．已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和．
（2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由．（3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．
20．定义：已知关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根 x ，x ，若满足|x ﹣x |＝|
1 2 1 2
x •x |，则称此类方程为“差积方程”．
1 2
3 1 1 1
例如：x2− x+ =0，即(x− )(x−1)=0，解得x = ，x ＝1，
2 2 2 1 2 2
1 1 3 1
∵|1− |=|1× |，∴x2− x+ =0是差积方程．
2 2 2 2
（1）方程x2﹣5x+6＝0 （填是或不是）“差积方程”；
（2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值．
（3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，求b+c的值．
