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专题21.4 配方法（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】用直接开平方法解一元二次方程
利用平方根的定义，直接开平方法求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
类型：
（1） ；
（2）
（3）
【例1】方程 的两个根是（ ）
A. ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据直接开平方法求解即可．
解： ，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．
【变式1】若 ，则 的值为（ ）A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】用直接开平方法即可进行解答．
解： ，
，
或 ，
∵ ， ，
，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了直接开平方法，解题的关键是掌握用直接开平方法求解一元二次方程的方法和步
骤．
【变式2】已知关于x的一元二次方程 （m，h，k均为常数且 ）的解是 ，
，则关于x的一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】把 看作关于 的一元二次方程，则 或 ，然后解两个一次方程
即可．
解： 方程 、 ， 均为常数且 的解是 ， ，
对于关于 的一元二次方程 的解，
即 或 ，即 ， ，
关于 的一元二次方程 的解是 ， ．
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元二次方程 直接开平方法：形如 或 的一元二次方程可
采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【知识点2】用配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）化：方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1；
（2）移：把一元二次方程常数项移到方程的另一边；
（3）配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为
（4）解：开方，解得：
【例2】用配方法解方程：
（1） ； （2） ．
【答案】(1) ， ； (2) ，
【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
（1）解： ，
，
，
，
， ；（2） ，
，
，
，
，
，
， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键．
【变式1】用配方法解下列一元二次方程：
（2） ； （2） ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
解：（1） ，
，
，
，
（2） ，
，
，
，，
∴
【点拨】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟记配方的步骤是解此题的关键．
【变式2】用配方法解下列方程：
（1） ． （2） ．
【答案】(1) ， ； (2) ，
【分析】（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解:（1）
或
， ．
（2） 化成
即
，
【点拨】考查解一元二次方程-配方法，解题关键是掌握配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法求解．
【题型一】配方法求值
【例1】已知 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
【答案】A
【分析】由已知得 ，注意x的取值范围，代入 再配方，利用非负数的性质即可求解．
解：∵ ，
∴ ，且 即 ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 的最小值是 ，
故选：A．
【点拨】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范
围是解决问题的关键．
【变式1】对于任意实数x，多项式 的值是（ ）
A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数
【答案】C
【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的情况．
解：∵ ，∴多项式 的值是正数，
故选：C．
【点拨】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．熟练掌握配方法是解决此类问题的关键．
【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最_____（填“大”或“小”）值，为_________．
【答案】 大 21
【分析】原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
解：﹣x2－6x+12
＝12﹣（x2＋6x）
＝12﹣（x2＋6x+9﹣9）
＝12﹣（x＋3）2＋9
＝21﹣（x＋3）2，
∵（x＋3）2≥0，
∴当（x＋3）2＝0时，21﹣（x＋3）2取得最大值21．
故答案为：大，21
【点拨】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【题型二】用配方法解决实际问题
【例2】数学社团的同学们想用边长为 的正方形铝板，设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智
慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题：
“兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在
该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”．
“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其
中小正方形的面积为 ．解决问题：
(1)“兴趣小组”设计的方案中，小矩形的长约等于 （精确到 ）．
(2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少 ？
【答案】(1) ; (2) 小直角三角形的短直角边为 ，长直角边为
【分析】（1）由黄金矩形结合题意可得 ，再分别求解 ，可得答案；
（2）由题意可得：正方形 ， ， ，可得正方形 的边长为 ，
设 ， ，则 ， ，再解方程即可．
解：（1）解：如图，
∵矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比，黄金矩形 ，
∴ ，
∵正方形 ， ，
∴ ，
（2）如图，由题意可得：正方形 ， ， ，
∴正方形 的边长为 ，
设 ， ，∴ ， ，
∴ ，
整理可得： ，
解得： ， （负数舍去）
∴ ，
答：小直角三角形的短直角边为 ，长直角边为 ．
【点拨】本题考查的是黄金矩形的含义，勾股定理的应用，一元二次方程的应用，正方形的性质，二次根
式的混合运算，理解题意，选择合适的解题工具是解本题的关键．
【变式】如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为
m，其他部分种植花草．
(1) 用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；
(2) 若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的 ，求a的值．
【答案】(1) ； (2) 60
【分析】（1）根据两个正方形区域的面积和雕塑区的面积之间的关系求解即可；
（2）根据M的面积是A的 列方程求解即可．
（1）解：种植花草的面积 ；
（2）依题意得， ， ， ．
列方程得， ，解得 ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【题型三】利用配方法解与三角形的形状有关的问题
【例3】已知：a、b、c是 的三边，且 ， 的形状是
________ ．
【答案】直角三角形
【分析】等式配方成 ，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定
理的逆定理即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点拨】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角形．
【变式】 阅读材料：若 ，求 、 的值．
，，
，
， ．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个三角形的三边长分别为 、 、 ，且 、 、 都是正整数，并满足：
，则 ______．
（2）已知 、 、 是 的三边长，且满足 ，试判断 的形状．
（3）试探究关于 、 的代数式 是否有最小值，若存在，求出最小值及此时 、
的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）4；（2） 为等边三角形；（3）最小值为25，此时 ， ．
【分析】（1）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质
即可得出a和b的值，再结合三角形三边关系即可得出c的值；
（2）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质即可得出
a、b、c的值，由此可判断三角形的形状；
（3）根据题干中叙述的方法，对代数式拆分后，利用完全平方公式变形，根据平方的非负性即可得出代
数式的最小值和此时的x和y的值．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵三角形的三边长分别为 、 、 ，且 、 、 都是正整数，
∴ ， ，符合条件的c的值为4
故答案为：4；
（2）∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， 为等边三角形；
（3）
=
= ，
∵ ， ，
∴当 ， ，代数式 有最小值为25，
此时 ， ．
【点拨】本题考查完全平方公式的应用．解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料
中的形式．
