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专题 21.3 公式法
1. 掌握一元二次方程的根的判别式，能够熟练的计算根的判别式的值并判断一元二次
方程的根的情况。
教学目标 2. 掌握用公式法解一元二次方程的具体步骤，并能够根据求根公式判断一元二次方
程。
3. 能够结合根的判别式以及一元二次方程的解解决相应的参数问题。
1. 重点
（1）根的判别式的计算，判断根的情况及求未知参数的值；
（2）利用公式法解一元二次方程；
教学重难点
2. 难点
（1）判断含有参数的一元二次方程的根的情况；
（2）利用根的判别式及方程的解求参数。知识点01 一元二次方程根的判别式
1. 根的判别式：
用配方法解一元二次方程 ，可将方程化成 。由配方法解
方程可知，根据 与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定 与0的大小关系只需
要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号 来
表示。
①若 。
②若 。
③若 。
【即学即练1】
1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
【即学即练2】
2．关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
【即学即练3】
3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣1 D．0
【即学即练4】
4．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a＜3 C．a≥﹣3且a≠2 D．a≤3且a≠2
知识点02 公式法解一元二次方程
1. 求根公式：
由 可知， 。 。我们把它叫做
一元二次方程的求根公式。① 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
即 ； 。
② 时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。
③ 时，一元二次方程没有实数根。
2. 公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把 的值带入相应的求根公式求解。
【即学即练1】
5．方程x2+3x﹣1＝0，则b2﹣4ac＝（ ）
A．5 B．﹣5 C．13 D．﹣13
【即学即练2】
−b±❑√b2−4ac
6．在用求根公式x= 求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了 a，b，c 得到
2a
3±❑√(−3) 2−4×2×(−1)
x= ，则她求解的一元二次方程是（ ）
2×2
A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0
【即学即练3】
7．用公式法解下列方程：
（1）x（x+8）＝16； （2）❑√2x2﹣4x＝4❑√2； （3）2x2﹣2❑√2x+1＝0．
题型01 判断不含参数的一元二次方程组的根的情况
【典例1】一元二次方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根【变式1】关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【变式2】一元二次方程x2﹣5x+7＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
题型02 判断含参数的一元二次方程的根的情况
【典例1】关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【变式1】关于x的一元二次方程x2+2x＝m2的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【变式2】关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝m，下列说法正确的是（ ）
A．当m＝0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m＞0时，此方程有两个不相等的实数根
C．当m＜0时，此方程没有实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
【变式3】已知b2＝ac，则关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
题型03 根据一元二次方程的根的情况求值或范围
【典例1】若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【变式1】若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
1
A．﹣1 B． C．0 D．1
4
【变式2】若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【变式3】关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1
【变式 4】关于 x 的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值可以是（ ）
2 3
A．﹣1 B．0 C．− D．−
3 2
【变式 5】若关于 x 的方程 x2﹣4x+k+2＝0 有两个不相等的实数根，则直线 y＝（k﹣2）x+1 不经过
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型04 利用公式法解一元二次方程
【典例1】用公式法解下列方程：
1
（1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）2y2−y− =0；
2
（3）2x2﹣7x+5＝0； （4） 2x2﹣7x﹣18＝0．
【变式1】使用“公式法”解一元二次方程
1
（1）x2−❑√2x− =0； （2）2x2﹣2❑√2x+1＝0； （3）3x2+20＝2x2+8x．
4
【变式2】用公式法解下列方程．
（1）（x+1）（x+3）＝6x+4； （2）x2+2（❑√3+1）x+2❑√3=0； （3）x2﹣（2m+1）x+m＝0．题型05 根据求根公式判断一元二次方程
−3±❑√32−4×2×(−4)
【典例 1】若用公式法解关于 x 的一元二次方程的根为x= ，则这个方程是
2×2
（ ）
A．2x2+3x+4＝0 B．2x2﹣3x+4＝0
C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2﹣3x﹣4＝0
b±❑√b2+20
【变式1】以x= 为根的一元二次方程可能是（ ）
2
A．x2﹣bx+10＝0 B．x2﹣bx﹣10＝0
C．x2+bx﹣5＝0 D．x2﹣bx﹣5＝0
2±❑√b2−4×(−1)a
【变式2】若x= 可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（ ）
2×3
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
−5±❑√52−4×3×1
【变式3】用公式法解一元二次方程，得：x= ，则该一元二次方程是
2×3
．
题型06 根的判别式与方程的解
【典例1】已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2025的值．
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程的根均为整数，求此时k的值．【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若a是方程的一个实数根，且满足（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40，求m的值．
【变式3】已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【变式4】已知关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）若该△ABC是等边三角形，求该方程的根；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．1．用公式法解方程x2+2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．1，2，3 B．1，﹣2，3 C．1，2，﹣3 D．1，﹣2，﹣3
2．学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实
数根，这个一元二次方程是（ ）
A．x2=❑√2x B．x2﹣x﹣1＝0 C．4x2﹣x+1＝0 D．x2＝5x﹣2
3．若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（ ）
3±❑√32−4×2×(−4) −3±❑√(−4) 2−4×2×3
A．x= B．x=
2×2 2×2
−3±❑√32−4×2×(−4) −3±❑√32−4×2×(−4)
C．x= D．x=
2×2 2
4．关于x的方程2x2﹣mx+m﹣3＝0的根的情况是（ ）．
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
5．已知关于 x的一元二次方程 x2﹣2x+a﹣1＝0无实数根，则一次函数 y＝﹣x+a的图象一定不经过
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．定义运算：a※b＝a2﹣2ab﹣b．例如：4※2＝42﹣2×4×2﹣2＝﹣2．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
D．无实数根
7．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
3 3
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥ 且k≠2
2 2
8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2−4ac=(2ax +b) 2．
0 0
其中正确的（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①③
9．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．已知点A（1，1），B（﹣2，4），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有（ ）个．
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
10．如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半
径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（ ）
A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长
11．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为 ．
2±❑√4−4×3×(−1)
12．若x= 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b﹣c的值为 ．
2×3
13．从﹣5，0，3三个数中，选取1个数作为p的值代入方程x2﹣px+1＝0．若该方程有两个正实数根，则
选取的p的值为 ．
14．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则代数式❑√m2−2m+1+m化简的结果是 ．
15．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小
的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：
若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝ ．
16．用公式法解方程：
5
（1）x2﹣4x+1＝0 （2）5x2＝4x﹣1 （3）2x2﹣2x﹣1＝0 （4）4x（x− ）＝8．
2
1
17．已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k− )=0．
2
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是
多少？18．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
19．已知实数a、b、c，且c＞0．
（1）若a、b、c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项．用公式法解得方程
−2±❑√b2+8
的根为x= ，求a+b+c的值；
2
（2）若a+2b+c＝0，abc＝1，求证c的最小值为2．20．由两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为
m、n，斜边长为q，分别以m，❑√2q，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程 mx2
+❑√2qx+n＝0，称为勾股方程．
（1）直接写出一个勾股方程．
m
（2）若勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0有两个相等的实数根，求 的值．
q
（3）若x＝﹣1是勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的
面积．
