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专题 21.1 一元二次方程
1. 掌握一元二次方程的定义及其一般形式，并能根据定义判断一元二次方程以及求未
知字母的值。还能把非一般形式的一元二次方程化成一般形式并确定一元二次方程各
项的系数。
教学目标
2. 掌握一元二次方程的根的定义，并能够根据一元二次方程的根求出未知系数或式子
的值。
3. 能够根据实际问题中的数量关系或等量关系列出简单的一元二次方程。
1. 重点
（1）一元二次方程的定义与一般形式及其各项系数的确定；
教学重难点 （2）一元二次方程的根的理解及其应用；
（3）根据实际问题抽象出一元二次方程。
2. 难点（1）根据一元二次方程的定义求未知系数的值；
（2）根据一元二次方程的解求代数式的值。
知识点01 一元二次方程的定义及其一般形式
1. 一元二次方程的定义：
只含有 1 个未知数且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0) 。其中 ax2 是二次项， a 是二次项
系数。 b x 是一次项， b 一次项系数。 c 是常数项。
【即学即练1】
1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+1﹣x2＝0
1
C．x2+ =2 D．x2﹣x﹣2＝0
x
【答案】D
【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、由已知方程得到1＝0，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【即学即练2】
2．已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：由关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，得
|k|﹣1＝2且k﹣3≠0．
解得k＝﹣3．
故选：C．
【即学即练3】
3．方程2x2﹣3x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．2，3，1 D．2，﹣3，﹣1
【答案】D
【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣1＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，﹣1，
故选：D．
【即学即练4】
4．已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．﹣3 D．±3
【答案】C
【解答】解：方程整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2﹣9＝0，
由常数项为0，得到m2﹣9＝0，
解得：m＝3（舍去）或m＝﹣3，
则m＝﹣3，
故选：C．
知识点02 一元二次方程的根
1．一元二次方程的根：
使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的根。也叫做一元二
次方程的解。
注意：若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有一个根为1，则有a+b+c=0；
若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有一个根为﹣1，则有a−b+c=0；
若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有一个根为0，则有c=0；
【即学即练1】
5．已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣4＝0的一个根是x＝1，则a的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣4＝0的一个根是x＝1，
∴1+2+a﹣4＝0，
∴a＝1．
故答案为：1．
【即学即练2】
6．若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2019﹣m2+5m的值是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】B
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，
∴m2﹣5m﹣2＝0，
∴m2﹣5m＝2，
∴2019﹣m2+5m＝2019﹣（m2﹣5m）＝2019﹣2＝2017，故选：B．
【即学即练3】
7．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．x ＝1，x ＝0 B．x ＝﹣1，x ＝0
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝﹣1 D．无法确定
1 2
【答案】C
【解答】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0，满足a﹣b+c＝0，
∴当x＝﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝0即为：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0；
∴a﹣b+c＝0，
∴当x＝1时，代入方程ax2+bx+c＝0，有a+b+c＝0；
方程的根是x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
故选：C．
知识点03 根据实际问题列出一元二次方程
1．根据实际问题列出一元二次方程的简单步骤：
①正确理解题目的含义；
②找出题目中的数量关系和等量关系；
③列出一元二次方程。
【即学即练1】
8．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设
个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4
C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4
D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
【答案】C
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．
故选：C．
【即学即练2】
9．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．根据题意，列出关于 x的方程为（
）A．15（30﹣2x）•x＝600 B．30（30﹣2x）•x＝600
C．15（15﹣x）•x＝600 D．x（15﹣x）•x＝600
【答案】C
【解答】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：（30﹣2x）÷2＝15﹣x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15（15﹣x）•x＝600．
故选：C．
题型01 判断方程是否为一元二次方程
【典例1】下列是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+3= B．x2﹣x＝0 C．2（x﹣1）＝3x D．x2+2y＝1
x
【答案】B
1
【解答】解：A、x2+3= ，是分式方程，故A不符合题意；
x
B、x2﹣x＝0，是一元二次方程，故B符合题意；
C、2（x﹣1）＝3x，是一元一次方程，故C不符合题意；
D、x2+2y＝1，是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：B．
【变式1】下列式子中是关于x的一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+ B．ax2+bx+c＝0
x
C．（x﹣2）（x﹣3）＝0 D．4x2+1＝x2+3（x﹣1）2
【答案】C
【解答】解：A、不是方程，故此选项不符合题意；
B、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、由（x﹣2）（x﹣3）＝0得x2﹣5x+6＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、4x2+1＝x2+3（x﹣1）2得6x﹣2＝0，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．1 y2
【变式2】方程①2x2− =1；②2x2﹣5xy+y2＝0；③7x2+1＝0；④ =0中，一元二次方程个数是（
3x 2
）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
1 y2
【解答】解：在方程①2x2− =1；②2x2﹣5xy+y2＝0；③7x2+1＝0；④ =0中，一元二次方程
3x 2
y2
为7x2+1＝0； =0，共2个．
2
故选：B．
题型02 根据一元二次方程的定义求未知字母的值
【典例1】若关于x的方程（k﹣2）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k≠0 B．k≠2 C．k＞2 D．k＞0
【答案】B
【解答】解：若关于x的方程（k﹣2）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，
则k﹣2≠0，
解得k≠2，
故选：B．
【变式1】若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．±❑√3
【答案】C
{|m−1|=2)
【解答】解：由题意可知： ，
m−3≠0
解得：m＝﹣1，
故选：C．
【变式2】若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在
【答案】B
【解答】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，
∵方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，
∴|a|﹣1＝2且a+3≠0，
解得a＝3，
故选：B．
【变式3】若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程，
{ m−4≠0 )
∴ ，
|m−2|=2
解得m＝0．
故答案为：0．
题型03 化一元二次方程的一般形式并确定各项系数
【典例1】把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2化成一般形式，得（ ）
A．x2+2x﹣17＝0 B．x2﹣8x﹣17＝0
C．x2﹣2x＝17 D．x2﹣2x﹣17＝0
【答案】D
【解答】解：（x+3）（x﹣5）＝2，
去括号得：x2﹣5x+3x﹣15＝2，
移项得：x2﹣5x+3x﹣15﹣2＝0，
合并同类项得：x2﹣2x﹣17＝0，
故选：D．
【变式1】一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，﹣1 D．5，﹣4，1
【答案】C
【解答】解：一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、﹣4、﹣1．
故选：C．
【变式2】关于x的一元二次方程3x2＝5x﹣2的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．3，﹣5，﹣2 B．3，﹣5x，2 C．3，5x，﹣2 D．3，﹣5，2
【答案】D
【解答】解：方程整理得：3x2﹣5x+2＝0，
则二次项系数，一次项系数，和常数项分别为3，﹣5，2．
故选：D．
【变式3】把方程x（x+1）＝5（x﹣2）化成一般式，则a+b+c得值是（ ）
A．﹣3 B．7 C．﹣5 D．1
【答案】B
【解答】解：原方程整理得x2+x﹣5x+10＝0．
x2﹣4x+10＝0．
故：a＝1，b＝﹣4，c＝10．
∴a+b+c＝1﹣4+10＝7．
故选：B．题型04 根据一元二次方程的各项系数求字母
【典例1】关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．±1
【答案】B
【解答】解：由题意，得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【变式1】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m＝（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣m＝0的常数项为0，
{m−1≠0 )
∴ ，
m2−m=0
解m﹣1≠0得m≠1；
解m2﹣m＝0得m＝0或1．
∴m＝0．
故选：A．
【变式2】关于x的一元二次方程5x2+mx+7＝0，二次项系数与一次项系数的比为1：2，则m＝（ ）
A．10 B．14 C．2.5 D．3.5
【答案】A
【解答】解：由条件可知5：m＝1：2，
∴m＝10，
故选：A．
题型05 根据一元二次方程的解求字母的值
将方程的解带入方程中求关于未知字母的新方程即可。
【典例1】如果x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】A
【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，
∴1+m+3＝0，
∴m＝﹣4．故选：A．
【变式1】已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得：
1+k﹣6＝0，
k＝5，
故选：C．
【变式2】关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．﹣2 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：把x＝0代入（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0得﹣a2+4＝0，
解得a ＝2，a ＝﹣2，
1 2
∵a﹣2≠0，
∴a＝﹣2．
故选：B．
【变式3】若一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
【答案】C
【解答】解：由条件可知k2﹣4＝0，
∴k＝±2，
∵k﹣2≠0，
∴k≠2，
∴k＝﹣2，
故选：C．
题型06 根据一元二次方程的解求式子的值
将方程的解带入方程中得到一个关于解的式子，找出所求的式子的字母部分与已知式子的倍数关系即可解
决问题。
【典例1】若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（ ）
A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050
【答案】C
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，∴m2+2m﹣2025＝0，
∴m2+2m＝2025．
故选：C．
【变式1】已知m是一元二次方程x2﹣x+3＝0的一个根，则2019﹣m2+m的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【答案】B
【解答】解：由条件可得m2﹣m＝﹣3，
所以2019﹣m2+m＝2019﹣（m2﹣m）＝2019﹣（﹣3）＝2019+3＝2022．
故选：B．
【变式2】已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（ ）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
【答案】C
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣2＝0，
∴m2﹣2m＝2，
∴2m2﹣4m+2025＝2（m2﹣2m）+2025＝2×2+2025＝4+2025＝2029，
故选：C．
【变式3】已知m是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m+2025的值为（ ）
A．2018 B．2021 C．2022 D．2024
【答案】B
【解答】解：由条件可知m2﹣3m+2＝0，
即：m2﹣3m＝﹣2，
∴2m2﹣6m+2025
＝2（m2﹣3m）+2025
＝2×（﹣2）+2025
＝2021，
故选：B．
题型07 根据实际问题列出简单的一元二次方程
【典例1】如图，小区物业规划在一个长60米、宽22米的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场．其
中，阴影部分为停车位所在区域，两侧道路的宽x米，中间道路的宽2x米．若阴影部分的总面积是600
平方米，则可列方程（ ）A．x2﹣41x+225＝0 B．x2﹣41x+30＝0
C．x2﹣41x+180＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0
【答案】C
【解答】解：∵矩形场地ABCD的长为60米，宽为22米，两侧道路的宽x米，中间道路的宽2x米，
∴阴影部分可合成长为（60﹣2x）米，宽为（22﹣2x）米的矩形．
根据题意得：（60﹣2x）（22﹣2x）＝600，
整理得：x2﹣41x+180＝0．
故选：C．
【变式1】如图，长30m，宽20m的矩形基地上有三条宽x m的小路，剩余522m2种花，依题意列方程（
）
A．20x+30×2x＝600﹣522
B．20x+30×2x﹣x2＝600﹣522
C．（20﹣2x）（30﹣x）＝522
D．（20﹣x）（30﹣2x）＝522
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
（30﹣x）（20﹣2x）＝522，
故选：C．
【变式2】如图，在长为80cm、宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为
6300cm2．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为 x cm．则可列的一元二次方程是（
）
A．（80﹣2x）（60﹣2x）＝6300
B．（80+2x）（60+2x）＝6300
C．（80﹣x）（60﹣x）＝6300
D．（80+2）（60+x）＝6300
【答案】B
【解答】解：根据题意得（80+2x）（60+2x）＝6300，
故选：B．1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2﹣6 B．2x+7＝3 C．3x2+1＝0 D．2x﹣y＝0
【答案】C
【解答】解：3x2﹣6不是等式，则A不符合题意，
2x+7＝3中未知数的次数为1，则B不符合题意，
3x2+1＝0符合一元二次方程的定义，则C符合题意，
2x﹣y＝0中含有两个未知数，并且次数都是1，则D不符合题意，
故选：C．
2．将一元二次方程x（x﹣1）＝2化为一般形式为（ ）
A．x2﹣x＝2 B．x2﹣x﹣2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2+x+2＝0
【答案】B
【解答】解：∵x（x﹣1）＝2，
∴x2﹣x﹣2＝0，
故选：B．
3．把一元二次方程x（2x﹣1）＝4x化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ）
A．1，4，1 B．2，﹣5，0 C．3，4，0 D．﹣2，﹣5，1
【答案】B
【解答】解：方程整理得：2x2﹣5x＝0，
则a，b，c的值分别是2，﹣5，0．
故选：B．
4．若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，
∴1+m+1＝0，解得m＝﹣2，
故选：D．
5．傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按
样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信
仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长80cm，宽50cm的
傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个
挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的
金色纸边宽度相同），则下列方程正确的为（ ）
A．（50+x）（80+x）＝5400B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400
C．（50+2x）（80+2x）＝5400
D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400
【答案】C
【解答】解：设金色纸边的宽度为x cm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，
根据题意得（50+2x）（80+2x）＝5400．
故选：C．
6．已知a是方程x2+2x+1＝0的一个根，则代数式2a2+4a+3的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：由条件可知a2+2a+1＝0，
∴a2+2a＝﹣1，
∴2a2+4a+3＝2（a2+2a）+3＝2×（﹣1）+3＝1，
故选：B．
7．如果x＝0是关于x的方程（m﹣3）x2+2x+m2﹣9＝0的根，那么m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【答案】C
【解答】解：由条件可得m2﹣9＝0，
∴m＝±3，
故选：C．
8．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题：
周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十比个位正小三，个位六倍与寿符．
哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上
的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字
为x，下列方程正确的是（ ）
A．（x﹣3）+x＝6x B．10（x﹣3）+x＝6x
C．x（x+3）＝6x D．（x﹣3）+10x＝6x
【答案】B
【解答】解：设这个两位数个位上的数字为x，
则这个两位数十位上的数字为（x﹣3），
由题意可列方程：10（x﹣3）+x＝6x．
故选：B．
9．如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝12的根是（ ）x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 12 …
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2，x ＝3 D．x ＝﹣3，x ＝4
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：由表中数据得当x＝﹣3时，ax2+bx＝12；
当x＝4时，ax2+bx＝12；
所以方程ax2+bx＝12的解为x ＝﹣3，x ＝4．
1 2
故选：D．
10．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝
0（ac≠0）必有一根为（ ）
1 1
A．﹣m B． C．m D．−
m m
【答案】D
【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根，
∴am2+bm+c＝0，
1 1
∴a+ b + c＝0，
m m2
1 1
∴（− ）2﹣（− ）b+a＝0，
m m
1
∴− 是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根，
m
故选：D．
11．若方程(m+1)xm2+1−3x+2m−1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：根据题意，得m2+1＝2且m+1≠0，
解得m＝1，
故答案为：1．
12．将方程化为一元二次方程3x2﹣8x＝10的一般形式是 3 x 2 ﹣ 8 x ﹣ 1 0 ＝ 0 ，其中二次项系数是 3
，一次项系数是 ﹣ 8 ，常数项是 ﹣ 1 0 ．
【答案】3x2﹣8x﹣10＝0；3；﹣8；﹣10．
【解答】解：方程化为一元二次方程 3x2﹣8x＝10的一般形式是3x2﹣8x﹣10＝0，其中二次项系数是
3，一次项系数是﹣8，常数项是﹣10，
故答案为：3x2﹣8x﹣10＝0；3；﹣8；﹣10．
13．已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为 202 1 ．【答案】2021．
【解答】解：∵m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，
∴2m2﹣m﹣3＝0，
∴2m2﹣m＝3，
∴2024﹣2m2+m＝2024﹣（2m2﹣m）＝2024﹣3＝2021，
故答案为：2021．
14．如图，在宽为20m，长60m的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地
的面积为500m2，若设路宽为x m，则可列方程为： （ 6 0 ﹣ x ）（ 2 0 ﹣ x ）＝ 50 0 ．
【答案】（60﹣x）（20﹣x）＝500．
【解答】解：设路宽为x m，
则耕地的长应该为（60﹣x）m，宽应该为（20﹣x）m；
根据面积公式可得：（60﹣x）（20﹣x）＝500．
15．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行．故谓之方程．”这是我国古代
著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个
方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0和一
元一次方程2x﹣6＝0为“相伴方程”，则c的值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：解方程2x﹣6＝0，
解得x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0和一元一次方程2x﹣6＝0为“相伴方程”，
∴x＝3为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的解，
∴9﹣12+c＝0，
解得c＝3．
故答案为：3．
16．方程(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0．
（1）当m取何值时是一元二次方程？
（2）当m取何值时是一元一次方程？
【答案】（1）m＝1；
（2）m＝0或m＝﹣1．
【解答】解：（1）∵方程(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0是一元二次方程，
{m2+1=2)
∴ ，
m+1≠0∴m＝1；
（2）当m＝0时，原方程为x﹣3x﹣1＝0，是一元一次方程，符合题意；
当m≠0时，
∵方程(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0，
{m+1=0)
∴ ，
m−3≠0
∴m＝﹣1；
综上所述，m＝0或m＝﹣1．
17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）3x2﹣1＝2x；
（2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x；
（3）关于x的方程mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0）．
【答案】（1）3x2﹣2x﹣1＝0，二次项系数为3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1；
（2）3x2﹣x＝0，二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项为0；
（3）（m+n）x2+（m﹣n）x+p﹣q＝0，二次项系数为（m+n），一次项系数为（m﹣n），常数项为（p
﹣q）．
【解答】解：（1）3x2﹣1＝2x，
移项，得3x2﹣2x﹣1＝0，
二次项系数为3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1；
（2）x（x﹣2）＝4x2﹣3x，
去括号，得x2﹣2x＝4x2﹣3x，
移项、合并同类项，得﹣3x2+x＝0，
整理，得3x2﹣x＝0，
二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项为0；
（3）mx2﹣nx+mx+nx2＝q﹣p（m+n≠0），
移项、合并同类项，得（m+n）x2+（m﹣n）x+p﹣q＝0，
二次项系数为（m+n），一次项系数为（m﹣n），常数项为（p﹣q）．
18．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“凤凰方程”，并说明理由；
（2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）一元二次方程3x2+4x+1＝0是凤凰方程，
理由：
因为一元二次方程3x2+4x+1＝0满足3﹣4+1＝0，
所以一元二次方程3x2+4x+1＝0是凤凰方程；（2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”，
则1﹣m﹣5＝0，
解得m＝﹣4．
19．苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题：
“在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给
出设计方案吗？”
课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等
（如图）．
（1）请你计算出上述方案中绿地的宽；
（2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开
辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃
面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示
意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答）
1 1
【答案】（1）4米；（2）(32−3x)(24−2x)= ×24×32或(32−2x)(24−3x)= ×24×32．
2 2
【解答】解：（1）设绿地的宽为x米，则花圃的长为（32﹣2x）米，宽为（24﹣2x）米，
1
根据题意，列方程为：（24﹣2x）（32﹣2x）= ×32×24，
2
解方程得x ＝4，x ＝24（舍去），
1 2
故绿地的宽为4米．
（2）方案1如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为（32﹣3x）米，宽为（24﹣2x）米，则方程为
1
(32−3x)(24−2x)= ×24×32．
2
方案 2如下，设绿地的宽为 x米，则花圃的长为（32﹣2x）米，宽为（24﹣3x）米，则方程为：
1
(32−2x)(24−3x)= ×24×32．
220．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、
应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c
为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题：
（1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是 x 2 + 3 x ﹣ 4 ＝ 0 ；
（2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值；
（3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则 m3+m2﹣6m+2025的值为 2025
．
【答案】（1）x2+3x﹣4＝0；
（2）c＝﹣3；
（3）2025．
【解答】解：（1）方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0；
故答案为：x2+3x﹣4＝0；
（2）由条件可倒方程为cx2﹣2x+1＝0，
把x＝﹣1代入方程，
得c+2+1＝0，
∴c＝﹣3；
（3）由题意得：方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0，
∵m是方程x2+x﹣6＝0的一个实数根，
∴m2+m﹣6＝0，
∴m3+m2﹣6m+2025＝m（m2+m﹣6）+2025＝2025．
故答案为：2025．
