文档内容
第 03 讲 等比数列及其前 项和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：等比数列基本量的运算
题型二：等比数列的判断与证明
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度 1：等比数列的性质
角度 2：等比数列与等差数列的综合问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 ( )表示．数学语言表达： ，
为常数， .
(2)等比中项
如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．即： 是 与 的等比中项⇔ ， ，
成等比数列⇔ .
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；可推广为 .
(2)等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， .
3.等比数列的性质设数列 是等比数列， 是其前 项和．
(1)若 ，则 ，其中 .特别地，若 ，则 ，其
中 .
， ， ，
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 …仍是等比数列，公比为
( )．
(3)若数列 ， 是两个项数相同的等比数列，则数列 ， 和 (其中 ， ，
是非零常数)也是等比数列．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知 、 、 成等比数列，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙
伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都
归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只
3．（2022·北京·昌平一中高二期中） 与 的等比中项是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，
则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵
列成等比数列，那么 的值为（ ）
2 4
1 2
x y
A．2 B．3 C．4 D．5第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：等比数列基本量的运算
例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）若等比数列 满足 ，
，则数列 的公比为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
例题2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列 中， ，且 ，
则 （ ）
A．1024 B．960 C．768 D．512
例题3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列 中， ， ，则
公比 （ ）
A． B．2 C．1 D．
例题4．（2022·全国·模拟预测）已知 是等比数列， ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前 项和，求使得 的正整数 的所有取值．
例题5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列 是等比数列， ，
(1)求数列 的通项公式及其前 项和 ；
(2)若 分别为等差数列 的第3项和第5项，求数列 的通项公式及其前 项和 .
题型二：等比数列的判断与证明
例题1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知 是数列 的前 项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
例题3．（2022·江西·二模（理））已知正项数列 的前 项和为 ， ，且
.
(1)求 的通项公式；
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度 1：等比数列的性质
例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））已知 是等比数列，若 ，且
，则 （ ）
A．10 B．25 C．5 D．15
例题2．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））在正项等比数列 中， ，则
（ ）
A．2 B．1 C． D．
例题3．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列 中， 为方程 的两根，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·河南·高二阶段练习（文））在等比数列 中， ，则 ______．
例题5．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列 中，若 ，则 ______．
例题6．（2022·全国·高二单元测试）等比数列 中， 且 ，则_______
角度 2：等比数列与等差数列的综合问题
例题1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，
且数列 的前 项和为 ．
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
例题2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
例题3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若 为数列 的前n项和， ，
且 ．
(1)求数列 的通项公式；
例题4．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
例题5．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在① ，② 这两个条件中任选
一个补充在下面问题中，并解答下列题目.
设首项为2的数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且___________.
(1)求数列 的通项公式；(2)在数列 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例题6．（2022·全国·高二单元测试）在① ，② ，③ 这三个条件
中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：设 是数列 的前 项和，且 ，______，求 的通项公式，并判断 是否存在最大值，
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·上海·高考真题）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正
确的是（ ）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则
D．若数列 单调递增，则
2．（2022·上海·高考真题）已知数列 ， ， 的前 项和为 .
(1)若 为等比数列， ，求 ；
(2)若 为等差数列，公差为 ，对任意 ，均满足 ，求 的取值范围.3．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
4．（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
