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专题 21.5 一元二次方程组根与系数的关系
1. 掌握根与系数的关系并能够熟练运用其求值。
教学目标 2. 掌握根与系数的关系的拓展式子，并能够熟练应用其求相关式子的值。
3. 能综合应用根与系数的关系的所有式子解决相应的问题。
1. 重点
（1）根与系数的关系的基本式子；
（2）根与系数的关系的变形拓展式；
教学重难点 2. 难点
（1）根与系数的关系的变形拓展式的求值；
（2）利用根与系数的关系求代数式的值；
（3）利用根与系数的关系求方程中的位置参数。知识点01 根与系数的关系
1. 一元二次方程根与系数的关系：
由公式法可知，若一元二次方程的 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别
是
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
x = 与 x = 。由此可求出：
1 2a 2 2a
b c
−
① ；② 。
a a
【即学即练1】
1．设一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x ，x ，则下列选项正确的是（ ）
1 2
A．x +x ＝2 B．x +x ＝﹣2
1 2 1 2
1
C．x x =− D．x x ＝1
1 2 2 1 2
【答案】B
【解答】解：一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x
1
，x
2则：
b c
x +x =− =−2，x x = =−1．
1 2 a 1 2 a
故选：B．
【即学即练2】
2．已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（ ）
A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030
【答案】D
【解答】解：由条件可知：a2+2025a＝5，a+b＝﹣2025，
∴a2+2024a﹣b
＝a2+2025a﹣（a+b）
＝5﹣（﹣2025）
＝5+2025
＝2030，
故选：D．
【即学即练3】
3．已知x＝2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A．﹣5 B．1 C．2 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：设该方程的两根为x ，x ，
1 2
则x +x ＝3，
1 2∵该方程的一个根为2，
∴另一个根为：3﹣2＝1，
故选：B．
知识点02 跟与次数的关系的变形拓展
1. 根与系数的关系的推广应用：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ 。
⑥ 。
【即学即练1】
4．设x ，x 是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x2+x2的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．10 C．2 D．﹣10
【答案】B
【解答】解：∵x ，x 是方程x2+2x﹣3＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝﹣2，x •x ＝﹣3，
1 2 1 2
∴(x +x ) 2=4，
1 2
x 2+x 2+2x ⋅x =4，
1 2 1 2
x 2+x 2+2×(−3)=4，
1 2
x 2+x 2=10，
1 2
故选：B．
【即学即练2】
5．已知a，b是一元二次方程2x2﹣4x＝3的两个根，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6
【答案】C
【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣4x﹣3＝0，
−4 3
根据根与系数的关系得a+b=− =2，ab=− ，
2 2
3
所以a2b+ab2＝ab（a+b）=− ×2＝﹣3．
2
故选：C．
【即学即练3】6．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x ，x ，则（x +1）（x +1）的值为（ ）
1 2 1 2
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5
【答案】A
【解答】解：由条件可知x +x ＝﹣1、x x ＝﹣3，
1 2 1 2
∴（x +1）（x +1）＝x x +（x +x ）+1＝﹣3﹣1+1＝﹣3．
1 2 1 2 1 2
故选：A．
【即学即练4】
3 3
7．已知x ，x 分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式 + 的值为（ ）
1 2 x x
1 2
A．4 B．5 C．2 D．6
【答案】A
【解答】解：由条件可得x +x ＝4，x x ＝3，
1 2 1 2
3 3 3(x +x ) 3×4
∴ + = 1 2 = =4；
x x x x 3
1 2 1 2
故选：A．
【即学即练5】
n m
8．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则 + 的值为（ ）
m n
5 13 1 17
A． B．− C． D．−
2 2 4 4
【答案】B
【解答】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，
3 1
∴m+n= ，mn=− ，
2 2
9
+1
n m n2+m2 (m+n) 2−2mn 4 13
∴ + = = = =− ．
m n mn mn 1 2
−
2
故选：B．
题型01 利用根与系数的关系求两个的和与积
【典例1】若 ， （ ≠ ）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则 + ＝（ ）
A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10
α β α β α β
【答案】A【解答】解：∵ ， （ ≠ ）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，
∴ + ＝7．
α β α β
故选：A．
α β
【变式1】已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x ，x ，则x +x ﹣x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x ，x ，
1 2
−3 −5
∴x +x =− =3，x ⋅x = =−5，
1 2 1 1 2 1
∴x +x ﹣x x ＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8，
1 2 1 2
故选：C．
【变式2】若x ，x 是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则（ ）
1 2
A．x +x ＝﹣2 B．x +x ＝2
1 2 1 2
1
C．x x ＝3 D．x x =−
1 2 1 2 3
【答案】A
【解答】解：由条件可知x +x ＝﹣2，x x ＝﹣3，
1 2 1 2
故选：A．
【变式3】若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（ ）
A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023
【答案】C
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，
−2023 2
∴a+b=− =2023，ab= =2，
1 1
∴ab（a+b）＝2×2023＝4046．
故选：C．
题型02 利用根与系数的关系求变形拓展式子的值
对式子进行运算变形，最终用x +x ，x ·x 来表示，在带入求值。
1 2 1 2
【典例1】已知x 和x 是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x2+x2的值为（ ）
1 2 1 2
A．6 B．2 C．﹣4 D．3
【答案】A
【解答】解：由条件可知x +x ＝2，x x ＝﹣1，
1 2 1 2∴x2+x2=(x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
＝22﹣2×（﹣1）
＝4+2
＝6，
故选：A．
【变式1】若x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则x2x +x x2的值为 ﹣ 6 ．
1 2 1 2 1 2
【答案】﹣6．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝1，x x ＝﹣6，
1 2 1 2
∴x2
x +x
x2=x
x （x +x ）＝﹣6×1＝﹣6．
1 2 1 2 1 2 1 2
故答案为：﹣6．
1 1
【变式2】若x ，x 是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则 + 的值为（ ）
1 2 x x
1 2
3 3 5 5
A．− B． C． D．−
5 5 3 3
【答案】A
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝3，x x ＝﹣5，
1 2 1 2
1 1 x +x 3 3
∴ + = 1 2= =− ，
x x x x −5 5
1 2 1 2
故选：A．
β α
【变式3】已知 ， 是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则 + 的值等于（ ）
α β
22 α β 22 4 4
A．− B． C．− D．
9 9 9 9
【答案】A
【解答】解：根据根与系数的关系得 + ＝﹣2， ＝﹣9，
β α β2+α2 (α+β) 2−2αβ α (β −2) 2−2 α × β(−9) 22
所以 + = = = =− ．
α β αβ αβ −9 9
故选：A．
【变式4】方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x ，x ，则（x +1）（x +1）的值为（ ）
1 2 1 2
A．﹣33 B．15 C．﹣28 D．﹣21
【答案】D
【解答】解：根据根与系数的关系得x +x ＝2，x x ＝﹣24，
1 2 1 2
所以（x +1）（x +1）＝x x +x +x +1＝﹣24+2+1＝﹣21．
1 2 1 2 1 2
故选：D．【变式5】设x ，x 是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则❑√x +❑√x =（ ）
1 2 1 2
A．❑√3 B．❑√5 C．3 D．5
【答案】B
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣3x+1＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝3，x •x ＝1，
1 2 1 2
而（❑√x +❑√x ）2＝x +x +2❑√x ⋅x =3+2＝5，
1 2 1 2 1 2
且❑√x ≥0，❑√x ≥0故❑√x +❑√x ≥0，
1 2 1 2
∴❑√x +❑√x =❑√5，
1 2
故选：B．
【变式6】已知 ， 是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024 + 2）（1+2025 + 2）的值是（
）
α β α α β β
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：∵ ， 是方程x2+2023x+1＝0的两个根，
∴ ＝1， 2+20α23 β+1＝0， 2+2023 +1＝0，
（ α1+β2024 α+ 2）（ α1+2025 +β 2） β
＝a•2
α α β β
＝2
β
＝2×1
αβ
＝2．
故选：C．
题型03 利用根与系数的关系求代数式的值
对式子变形，通常把高次方通过方程降次处理，最后变形为两根之和与两个之积的形式再带入求值。
【典例1】设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（ ）
A．2020 B．2022 C．2024 D．2026
【答案】B
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2024＝0，m+n＝﹣2，
∴m2+2m＝2024，
∴m2+3m+n＝m2+2m+（m+n）＝2024﹣2＝2022，
故选：B．【变式1】若 ， 是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则 2+3 + 的值为（ ）
A．2023 B．2027 C．﹣2023 D．4050
α β α α β
【答案】A
【解答】解：∵ ， 是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，
∴ 2+2 ﹣2025＝ α0， β + ＝﹣2，
∴
α
2+2α ＝2025，
α β
∴ α 2+3α+ ＝ 2+2 +（ + ）＝2025﹣2＝2023．
故选：A．
α α β α α α β
【变式2】已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（ ）
A．2025 B．2028 C．2030 D．4048
【答案】B
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，
∴m2﹣5m﹣2025＝0，m+n＝5，
∴m2﹣5m＝2025，
即m2﹣4m＝2025+m，
则m2﹣4m+n﹣2＝2025+m+n﹣2＝2025+5﹣2＝2028，
故选：B．
【变式3】已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x3−2024x +x2的值为（ ）
1 2 1 1 2
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
【答案】A
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，
1 2
∴x2−2024=x
，x x ＝﹣2024，x +x ＝1，
1 1 1 2 1 2
x3−2024x +x2=x (x2−2024)+x2=x2+x2=(x +x ) 2−2x x =1−2×(−2024)=4049，
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
故选：A．
2025
【变式4】已知方程x2﹣2025x+1＝0的两根分别为m、n，则m2−
的值为 ﹣ 1 ．
n
【答案】﹣1．
【解答】解：由条件可知x x ＝1，x2−2025x +1=0，
1 2 1 1
1
∴x = ，x2−2025x =−1，
1 x 1 1
2
2025
∴x2− =x2−2025x =−1，
1 x 1 1
2
故答案为：﹣1．
题型04 根据已知根及根与系数的关系求方程的另一个根【典例1】若一元二次方程x2+5x+4＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ）
A．4 B．1 C．0 D．﹣4
【答案】D
【解答】解：由题知，
因为一元二次方程为x2+5x+4＝0，
所以此方程的两根之和为﹣5．
又因为方程的一个根为﹣1，
所以方程的另一个根为﹣4．
故选：D．
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个实数根为2，则另一个实数根是（ ）
A．﹣8 B．﹣3 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：设方程的另一根为a，
−6
根据根与系数的关系得：2a= =−6，
1
解得a＝﹣3．
故选：B．
【变式2】方程﹣2x2+kx﹣3＝0的一个根为2，则另一个根为（ ）
11 3 1
A． B．1 C． D．−
2 4 2
【答案】C
【解答】解：设方程的另一个根为t，
−3
根据根与系数的关系得2t= ，
−2
3
解得t= ，
4
3
即方程的另一个根为 ．
4
故选：C．
【变式3】已知关于y的方程y2﹣ky+2025＝0的一个根1，则方程的另一个根为 202 5 ．
【答案】2025．
【解答】解：设y2﹣ky+2025＝0的一个根为a，
∵y2﹣ky+2025＝0的一个根1，
∴a×1＝2025，
解得a＝2025，
故答案为：2025．题型05 根据根与系数的关系满足的式子求未知参数
【典例1】若x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+k＝0的两个根，且x +x ＝7﹣x x ，则k的
1 2 1 2 1 2
值为（ ）
A．﹣4或1 B．﹣4 C．1 D．1或4
【答案】C
【解答】解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+k＝0的两个根，
1 2
9
∴x +x ＝2k+3、x x ＝k2+k，Δ＝（2k+3）2﹣4（k2+k）＞0，则k＞− ．
1 2 1 2 8
∵x +x ＝7﹣x x ，
1 2 1 2
∴2k+3＝7﹣k2﹣k
∴k ＝1，k ＝﹣4．
1 2
9
又∵k＞− ，
8
∴k＝1．
故选：C．
1 1
【变式1】已知 ， 是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足 + =−1，
α β
则m的值为（α β）
A．3 B．3或﹣1 C．1 D．﹣3或1
【答案】A
【解答】解：∵ ， 是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴ + ＝﹣2m﹣3α ， β ＝m2．
1 1 α+β
∵ α +β =−1，即 αβ =−1．
α β αβ
−2m−3
∴ =− 1，即m2﹣2m﹣3＝0．
m2
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m＝3，m＝﹣1．
Δ＝（2m+3）2﹣4•m2
＝（2m+3+2m）（2m+3﹣2m）
＝3（4m+3）
＝12m+9．
∵方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴12m+9＞0．
3
∴m＞− ．
4∴m＝3．
故选：A．
【变式2】关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根的倒数和为1，则m＝（ ）
A．﹣2或0 B．2或0 C．2 D．0
【答案】C
【解答】解：设方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根为a和b，
则a+b＝2m+2，ab＝m2+2，
1 1 a+b
∵ + = = 1，
a b ab
2m+2
=
∴ 1，
m2+2
解得m＝2或0，
2m+2
经检验，m＝2或0都是 = 1的解，
m2+2
∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）＝2m+1﹣2≥0，
1
∴m≥ ，
2
∴m＝2．
故选：C．
【变式3】若关于x的方程（k+2）x2+3x+k2＝0的两根互为倒数，则k＝（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】C
【解答】解：设x ，x 是方程（k+2）x2+3x+k2＝0的两根，
1 2
k2
∴x x = ，
1 2 k+2
∵两根互为倒数，
k2
∴ =1，
k+2
解得k＝﹣1或2；
∵方程有两个实数根，Δ≥0，
∴当k＝2时，Δ＝32﹣4×4×4＜0，舍去，
故k的值为﹣1．
故选：C．
题型06 根与系数的关系与根的判别式的综合
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根，分别为x ，x ．
1 2（1）求m的取值范围．
（2）当2（x +x ）+x x +10＝0时，求m的值．
1 2 1 2
【答案】（1）m≤7；
（2）m＝1．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×（m﹣3）＝28﹣4m≥0，
解得：m≤7，
∴m的取值范围为m≤7；
（2）∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣4，x x ＝m﹣3，
1 2 1 2
∵2（x +x ）+x x +10＝0，
1 2 1 2
∴2×（﹣4）+m﹣3+10＝0，
解得：m＝1，
∴m的值为1．
【变式1】已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m+1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x ，x ，且满足（x ﹣1）（x ﹣1）＝﹣m，求实数m的值．
1 2 1 2
【答案】（1）m≥﹣1且m≠1；
（2）m＝﹣1．
【解答】解：（1）由条件可知：
b2﹣4ac＝[2（m+1）]2﹣4（m﹣1）（m+1）
＝4（m2+2m+1）﹣4m2+4
＝8m+8≥0，且m﹣1≠0，
解得：m≥﹣1且m≠1，
即m的取值范围是m≥﹣1且m≠1；
−2(m+1) m+1
（2）∵x +x = ，x x = ，
1 2 m−1 1 2 m−1
∵（x ﹣1）（x ﹣1）＝﹣m，
1 2
∴（x ﹣1）（x ﹣1）＝x x ﹣x ﹣x +1＝﹣m，
1 2 1 2 1 2
m+1 2(m+1)
−[− ]+1=−m，
m−1 m−1
化简得到：
m+1+2(m+1)+m−1
=−m，
m−1
4m+2
=−m，
m−14m+2＝﹣m2+m，
m2+3m+2＝0，
∴（m+2）（m+1）＝0，
解得：m＝﹣2或m＝﹣1，
∵m≥﹣1且m≠1，
∴m＝﹣1．
【变式2】已知关于x的方程：x2+2kx+k2﹣3＝0，其中k是常数．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m、n是此方程的两个根，当k＝1时，求代数式2025﹣m2+2m+4n的值．
【答案】（1）见解答；
（2）2015．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k）2﹣4（k2﹣3）
＝4k2﹣4k2+12
＝12＞0，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣2＝0，
∵m是方程的根，
∴m2+2m﹣2＝0，
∴m2＝﹣2m+2，
∴2025﹣m2+2m+4n＝2025﹣（﹣2m+2）+2m+4n＝2025+2m﹣2+2m+4n＝2025+4（m+n）﹣2，
∵m、n是方程x2+2x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴2025﹣m2+2m+4n＝2025+4×（﹣2）﹣2＝2015．
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）当m＝1时，解该一元二次方程；
（2）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；
x x 5
（3）若x ，x 是方程的两个实数根，且
2+ 1=−
，求m的值．
1 2 x x 2
1 2
【答案】（1）x ＝2，x ＝﹣1；
1 2
（2）见解答；
2
（3） 或1．
5
【解答】（1）解：当m＝1时，原方程为x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，∴x ＝2，x ＝﹣1；
1 2
（2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）＝（4m﹣1）2≥0，
∴不论m为何实数，方程总有实数根；
（3）解：∵x x 是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝2m﹣1，x x =−3m2+m
1 2 1 2
x x x2+x2 (x +x ) 2−2x x 5
∵ 2+ 1= 1 2= 1 2 1 2=− ，
x x x x x x 2
1 2 1 2 1 2
(x +x ) 2 1
∴ 1 2 =− ，
x x 2
1 2
(2m−1) 2 1
∴ =− ，整理，得5m2﹣7m+2＝0，
−3m2+m 2
2
解得m = ，m ＝1，
1 5 2
2
∴m的值为 或1．
5
1．若a，b是方程x2﹣2025x+1＝0的两个实数根，则下列结论正确的是（ ）
2025
A．a+b= B．a+b＝﹣2025 C．ab＝1 D．ab＝﹣1
2
【答案】C
−2025 1
【解答】解：由条件可得a+b=− =2025，ab= =1，
1 1
故选：C．
2．一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有两个实数根a，b，那么一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b的图象一定不经过
的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：根据题意得a+b＝2，ab＝﹣5，
所以一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b化为y＝﹣6x+2，
所以一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b的图象经过第一、二、四象限，
即一次函数y＝（ab﹣1）x+a+b的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
3．设x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x 2+x 2＝（ ）
1 2 1 2
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．10【答案】D
【解答】解：根据根与系数的关系可得x +x ＝2，x x ＝﹣3，
1 2 1 2
所以x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝4﹣2×（﹣3）＝10．
1 2 1 2 1 2
故选：D．
4．若 ， 是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则 2﹣ ﹣2 +3的值为（ ）
A．2028 B．2026 C．2024 D．2022
α β α α β
【答案】A
【解答】解：由条件可知 2+ ﹣2023＝0， + ＝﹣1，
即 2+ ＝2023，
α α α β
∴ α 2﹣ α ﹣2 +3
＝ α 2+ α ﹣2 β ﹣2 +3
＝ α 2+α ﹣2α （ +β ）+3
＝2023﹣2×（﹣1）+3
α α α β
＝2023+2+3
＝2028．
故选：A．
5．已知 ， 是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020 + 2）（1+2020 + 2）的值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
α β α α β β
【答案】A
【解答】∵ ， 是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴ 2+2017 α+1＝ β0， 2+2017 +1＝0， + ＝﹣2017， ＝1，
∴ α 原式＝（ α1+2017 β+ 2+3 ） β （1+201α7 β+ 2+3 ） αβ
＝9
α α α β β β
＝9，
αβ
故选：A．
6．小影和小冬在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和
1，小冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为﹣2和﹣5，则原来的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0
C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0
【答案】B
【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），
由题知，
b c
− =6+1=7， =−2×(−5)=10，
a a
所以b＝﹣7a，c＝10a，所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0，
则x2﹣7x+10＝0．
故选：B．
7．设直角三角的两条直角边a，b是方程2x2﹣6x+1＝0的两个根，则该直角三角形的斜边为（ ）
A．❑√7 B．2❑√2 C．3 D．❑√10
【答案】B
1
【解答】解：由题意可知：a+b＝3，ab= ，
2
1
∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=32−2× =8，
2
∴该直角三角形的斜边为❑√a2+b2=❑√8=2❑√2，
故选：B．
8．实数a、b（a≠b）满足a2﹣5a﹣1＝0，b2﹣5b﹣1＝0，则（ ）
A．a+b＝5，a2+6b＞0 B．a+b＝5，a2+6b＜0
C．a+b＝﹣5，a2+6b＞0 D．a+b＝﹣5，a2+6b＜0
【答案】A
【解答】解：∵实数a、b（a≠b）满足a2﹣5a﹣1＝0，b2﹣5b﹣1＝0，
∴实数a、b（a≠b）可以看作是关于x的方程x2﹣5x﹣1＝0的两个不同的实数根，
∴a+b＝5，故选项C、D都不符合题意；
∴a＝5﹣b，
∴a2+6b，
＝（5﹣b）2+6b
＝b2﹣10b+25+6b
＝b2﹣4b+25
＝（b﹣2）2+21＞0，故选项A符合题意，选项B不符合题意；
故选：A．
9．若关于 x 的方程 x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0 有两个实数根，且两根之和不小于﹣6，则代数式
❑√(m+2) 2−8m−|m+1|化简的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2m﹣1 D．﹣2m+1
【答案】D
【解答】解：方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[﹣2（m﹣2）]2﹣4×1×（m2﹣2m）＝﹣8m+16≥0，
∴m≤2，
设关于x的方程x2﹣2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0的两个实数根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2（m﹣2），
1 2∵两根之和不小于﹣6，
∴2（m﹣2）≥﹣6，
解得m≥﹣1，
∴﹣1≤m≤2，
∴❑√(m+2) 2−8m−|m+1|
=❑√m2+4m+4−8m−|m+1|
=❑√(m−2) 2−|m+1|
＝|m﹣2|﹣|m+1|
＝2﹣m﹣m﹣1
＝﹣2m+1，
故选：D．
10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则
称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）
①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m+n＝0；
③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【解答】解：①解方程x2﹣3x+2＝0得x ＝1，x ＝2，
1 2
∵x ＝2x ，
2 1
∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程，①正确；
n
②解方程（x﹣2）（mx+n）＝0得x ＝2，x =− ，
1 2 m
∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，
n n
∴2＝2×（− ）或2×2=− ，
m m
∴m＝﹣n或4m＝﹣n，
∴m+n＝0或4m+n＝0，故②不正确；
−3±❑√9−4 pq
③解方程px2+3x+q＝0得x= ，
2p
∵pq＝2，
1 2
∴x =− 或x =− ，
1 p 2 p
∴x ＝2x ，
2 1
∴关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程，故③正确；④设方程ax2+bx+c＝0的根为x ，x ，
1 2
b c
则x +x =− ，x x = ，
1 2 a 1 2 a
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，
∴令x ＝2x ，
2 1
b c
∴x +2x =− ，x •2x = ，
1 1 a 1 1 a
b c
∴3x =− ，2x2= ，
1 a 1 a
b
∴x =− ，
1 3a
b c
∴2×（− ）2= ，
3a a
∴2b2＝9ac．故④正确．
故选：D．
11．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣4＝0的一个根等于4，则另一个根为 ﹣ 1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：设方程的另一个为x ，
1
∵关于x的一元二次方程x2+ax﹣4＝0的一个根等于4，
∴4x ＝﹣4，
1
即x ＝﹣1．
1
故答案为：﹣1．
b2 9
12．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个非零实数根分别是m和2m，则 ．
c 2
9
【答案】 ．
2
【解答】解：由条件可知x的一元二次方程为（x﹣m）（x﹣2m）＝0，
展开得x2﹣3mx+2m2＝0，
∴b＝﹣3m，c＝2m2．
b2 9
∴ = ，
c 2
9
故答案为： ．
2
1 1
13．实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，则 + 的值是 3 ．
m n
【答案】3．
【解答】解：∵实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，∴m与n为方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
∴m+n＝3，mn＝1，
n+m 3
则原式= = = 3．
mn 1
故答案为：3．
1 1 2
14． ， 是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的两实数根，且 + =− ，则m的值为 ﹣ 3 ．
α β 3
α β
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a， 是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的两实数根，
∴ + ＝2， • ＝m，
β
1 1 2
∵
α +β =−α β
，
α β 3
α+β 2
∴ =− ，
α⋅β 3
2 2
∴ =− ，
m 3
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，
n m 86
n是方程（x+2）*3＝0的两根，则 + 的值为 ．
m n 7
86
【答案】 ．
7
【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
n m (m+n) 2−2mn 100−14 86
∴ + = = = ，
m n mn 7 7
86
故答案为： ．
7
16．设x ，x 是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
1 2
（1）（x +1）（x +1）；
1 2
1 1
（2） + ．
x x
1 2
【答案】见试题解答内容
4 3
【解答】解：根据题意得x +x =− =−2，x x =− ，
1 2 2 1 2 23 5
（1）原式＝x x +x +x +1=− −2+1=− ；
1 2 1 2 2 2
x +x −2 4
= 1 2= =
（2）原式 x x 3 3．
1 2 −
2
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝1是一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0的一个根．求方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解答；
（2）方程的另一个根为x＝7．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+4）]2﹣4×1•（2m﹣1）
＝m2+20，
∴m2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x＝1是一元二次方程一个根，
∴1﹣（m+4）+2m﹣1＝0，
解得m＝4，
此时，原一元二次方程为x2﹣8x+7＝0，
解得x ＝1，x ＝7，
1 2
所以方程的另一个根为x＝7．
1
18．已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m− =0的两个实数根．
2
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形；
（2） ABCD的周长是5．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
▱
∴AB＝AD．
1
又∵AB、AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m− = 0的两个实数根，
2
1
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×2×（m− ）＝2（m﹣1）2＝0，
2
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形；1
（2）把x＝2代入原方程，得：8﹣4m+m− =0，
2
5
解得：m= ，
2
5
将m= 代入原方程，得：2x2﹣5x+2＝0，
2
1
∴方程的另一根AD＝1÷2= ，
2
1
∴ ABCD的周长是2×（2+ ）＝5．
2
19．已 ▱ 知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和．
（2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由．
（3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．
【答案】（1）50；
（2）a＜b，理由见解析；
1
（3）b≤− ．
8
【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣2时，方程为x2﹣6x﹣7＝0，
解得：x ＝7，x ＝﹣1，
1 2
∴x2+x2=72+(−1) 2=50，
1 2
即两根的平方和为50．
（2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得：
4a2﹣4a2﹣a+2b＝0，
1
整理得：b= a，
2
1 1
∴a−b=a− a= a，
2 2
1
∴a−b= a＜0，
2
即a＜b；
（3）由题可知Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0，
1 1 2 1
整理得：b≤ (a+ ) − ，
2 2 8
∵对于任何实数a，此方程都有实数根，
1 1 2 1
∴对于任何实数a，b≤ (a+ ) − 恒成立，
2 2 81
∴b≤− ．
8
20．定义：已知关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根 x ，x ，若满足|x ﹣x |＝|
1 2 1 2
x •x |，则称此类方程为“差积方程”．
1 2
3 1 1 1
例如：x2− x+ =0，即(x− )(x−1)=0，解得x = ，x ＝1，
2 2 2 1 2 2
1 1 3 1
∵|1− |=|1× |，∴x2− x+ =0是差积方程．
2 2 2 2
（1）方程x2﹣5x+6＝0 不是 （填是或不是）“差积方程”；
（2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值．
（3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，求b+c的值．
【答案】（1）不是；
3 2
（2） 或− ；
4 3
（3）2．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x ＝2，x ＝3，
1 2
∵|3﹣2|≠|3×2|，
∴方程x2﹣5x+6＝0不是“差积方程”，
故答案为：不是；
（2）x2﹣（m+3）x+3m＝0，
（x﹣3）（x﹣m）＝0，
解得：x ＝3，x ＝m，
1 2
∵关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，
∴|3﹣m|＝|3m|，
分三种情况讨论：
①当m≥3时，m﹣3＝3m，
﹣2m＝3，
m＝﹣1.5（不合题意舍去）；
②当0≤m＜3时，
3﹣m＝3m，
4m＝3，
3
m= ；
4
③当m＜0时，3﹣m＝﹣3m，
2m＝﹣3，
2
m=− ；
3
3 2
综上可知：m的值为 或− ；
4 3
（3）设关于x的方程x2+bx+c＝0的根为﹣1和t，
∴﹣1+t＝﹣b，﹣t＝c，
∵关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，
∴|﹣1﹣t|＝|（﹣1）•t|，
∴|1+t|＝|t|，
当t≥1时，1+t＝t（无解）；
当0≤t＜1时，1+t＝t（无解）；
当t＜0时，t+1＝﹣t，
1
解得：t=− ，
2
1 1
∴−1− =−b，c=−(− )，
2 2
3 1
解得：b= ，c= ，
2 2
3 1
∴b+c= + =2..
2 2
