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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 04 练 基本不等式（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．
2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知 ，则 取得最小值时 的值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 是各项均为正数的等差数列，且 ，则 的最
大值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值
是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
8．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）已知第一象限内的点 在直线
上，则（ ）A． B．
C． D．
9．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在
《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被
数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若 ，则下面结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 有最小值
C．若 ，则
D．若 ，则 有最大值1
10．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）若 ，则下列选项中成立的是（ ）
A． B．若 ，则
C． 的最小值为1 D．若 ，则 的最小值为
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中，点E，F分别在棱 ， 上，且
．若 ， ， ，则 的最小值为__________．
12．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上的最大值为_______________．13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是______．
14．（2023·上海·统考模拟预测）已知正实数a、b满足 ，则 的最大值为_______________．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则
的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数 满足 成等差数列，则 的最
小值为（ ）
A． B． C．3 D．
3．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆 关于直线
对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2023·全国·模拟预测）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
5．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，
“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有
伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木
板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 满足 ，则这块四边形木板周长的
最大值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 的最小值为
B．若实数a，b满足 ，且 ，则 的最小值是3
C．若实数a，b满足 ，且 ，则 的最大值是4
D．若实数a，b满足 ，且 ，则 的最小值是1
7．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数 满足 ，
则 的最小值为___________.
9．（2023·江西鹰潭·统考一模） 的内角 的对边分别为 ，若 ，
且A为锐角，则当 取得最小值时， 的值为___________．
10．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）平面四边形 中， ，， ， ， ，点 在直线 上，点 在直线 上，且 ，
， ，则 的最小值为______.
四、解答题
11．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac ；
（Ⅱ） .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）若 ，且 ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为16 D． 没有最小值
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，正实数a,b满足 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
二、多选题
3．（2023·浙江·校联考三模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设正数 满足 ，则有（ ）A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线上，
且满足 ，设弦 的中点M到y轴的距离为d，则 的最小值为__________．
6．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知椭圆 的左､右焦点分别为 是 上
的一个动点，直线 分别交 于 两点.设 ，则当 取最小值时，
的离心率为__________.
四、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）设非负实数 满足 ，求证：
