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专题 22.7 二次函数与一元二次方程
1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题
目。
教学目标
2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题
目。
1. 重点
（1）二次函数与一元二次方程；
（2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式；
教学重难点 2. 难点
（1）根据图象或根的情况求未知系数的值；
（2）求一元二次方程的近似根；
（3）求一元二次不等式的解集。知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与 轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
与 轴有两个交点 有2个 的实数根
根的判别式 0。
与 轴有 个交点 有2个相等的实数根
根的判别式 0。
与 轴没有交点 实数根 根的判别
0。
二次函数图象与x轴的交点 即为一元二次方程的解。
2. 与 （m为常数且不为0）的交点：
①若 与 有两个交点，则方程 的根的判别式 0，方程有
两个 的实数根。
②若 与 有一个交点，则方程 的根的判别式 0，方程有
两个 的实数根。
③若 与 没有交点，则方程 的根的判别式 0，方程没
有实数根。
3. 与 （m为常数且不为0）的交点：
①若 与 有两个交点，则方程 的根的判别式
0，方程有两个 的实数根。
②若 与 有一个交点，则方程 的根的判别式
0，方程有两个 的实数根。
③若 与 没有交点，则方程 的根的判别式 0，方
程没有实数根。
【即学即练1】
1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝
0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根C．没有实数根
D．无法判断
【即学即练2】
2．若二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【即学即练3】
3．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如
图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是（ ）
A．x ＝0，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝0
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝1 D．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
【即学即练4】
4．如图，直线y＝1与抛物线y＝x2﹣2x相交于M、N两点，则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解？
（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣2＝0 D．x2﹣2x+2＝0
知识点02 二次函数与一元二次不等式
1. 二次函数与一元二次不等式：
a
大
抛物线的图象
于
0b
不等式 xx x≠− 全体实数
1 2 2a
的解集
不等式 x x x≠− 全体实数
1 2 2a
的解集
【即学即练1】
5．求不等式﹣x2﹣6x+16＞0的解集．
【即学即练2】
6．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）．则y＞0的解集
．
题型01 根据函数图象判断一元二次方程的根的情况
【典例1】关于二次函数y＝x2﹣3x﹣5的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个交点 B．有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
【变式1】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的根
的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【变式 2】已知函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+2＝0 的根的情况是
（ ）
A．无实数根
B．有两个同号不等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个相等实数根
【变式3】若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的
根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
题型02 根据二次函数图象及根的情况求未知系数
【典例1】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【变式1】若关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．﹣3或﹣2
【变式2】已知函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值为（
）
1 1
A．﹣1或2 B．0或2 C．− 、0或2 D．﹣1、− 或2
4 4
【变式3】抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在﹣2与﹣1之间，点B的横
坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（ ）A．b＝1，c＝﹣1 B．b＝﹣1，c＝﹣1 C．b＝3，c＝﹣2 D．b＝1，c＝﹣3
1
【变式4】已知关于x的二次函数y=x2−(k+1)x+ k2 的图象与x轴有两个交点，则❑√(1+k) 2化简后的
4
结果为（ ）
A．1+k B．1﹣k C．﹣k﹣1 D．k﹣1
题型03 根据图象求方程的近似根
【典例1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c中部分x和y的值如下表所示：
x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14
y ﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8
则方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是（ ）
A．0.11＜x＜0.12 B．0.12＜x＜0.13
C．3.87＜x＜3.88 D．3.88＜x＜3.89
【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2.6 ﹣2.5 ﹣2.4 ﹣2.3 ﹣2.2 …
y … 0.56 0.25 ﹣0.04 ﹣0.31 ﹣0.56 …
则根据以上信息可判断，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根x 的取值范围是（ ）
1
A．﹣2.6＜x ＜﹣2.5 B．﹣2.5＜x ＜﹣2.4
1 1
C．﹣2.4＜x ＜﹣2.3 D．﹣2.3＜x ＜﹣2.2
1 1
【变式2】如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.56），B（2.68，
0.54），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45
【变式3】小明用GGB探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根，作出如图所示的图象，并
求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）A．2.4 B．2.6 C．1.4 D．1.6
题型04 根据函数图像求一元二次不等式的解集
【典例1】抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则不等式9x2﹣p2＜0的解集是 ．
【变式1】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式
ax2+c＜﹣kx+b的解集是（ ）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【变式 2】如图，抛物线 y＝ax2+c 与直线 y＝mx+n 交于 A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式
ax2+mx+c＞n的解集是
【变式2】 【变式3】
【变式3】如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y ），B（1，y ）两点，则关于x的
1 2
不等式ax2+c≤kx+m的解集是 ．
1．二次函数y＝2x2﹣3x+1与x轴的交点个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0，a，c为常数），如表给出了自变量x与函数值y的部分对应值．
x 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
y＝ax2﹣ 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24
2ax+c
根据表格，可以估计方程ax2﹣2ax+c＝5的近似解是（ ）
A．﹣0.55和2.55 B．1.45和2.55
C．1.25和2.75 D．﹣0.75和2.75
3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分
别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2时，y＜0
4．已知抛物线y＝x2+2x﹣4与x轴交于点A（a，0）和B（b，0），则（a+1）（b+1）的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7
5．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m
的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
6．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
… ﹣3 ﹣1 0 3 5 …
y … 3 ﹣2 ﹣3 0 7 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
1
C．图象的对称轴是直线x=−
2
1
D．当x＜ 时，y随x的增大而增大
27．如图，若将抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位长度后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有
一个交点，则m的取值范围是（ ）
A．2＜x＜7 B．2≤x＜7 C．2＜x≤7 D．2≤x≤7
8．已知二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，则下列结论不正确的是（ ）
1 8
A．当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是( ， )
3 3
B．当m＞0时，函数图象与y轴交于负半轴
1
C．当m＜0时，函数在x＞ 时，y随x的增大而减小
4
1
D．当m≠− 时，函数图象与x轴有两个交点
3
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（﹣1，﹣4），其对称轴为直线
x＝﹣3．下列结论正确的是（ ）
A．6a+b＝0
B．若点（﹣2025，y ），（2024，y ）均在二次函数图象上，则y ＞y
1 2 1 2
C．不等式ax2+bx+c＞﹣4的解集为﹣5＜x＜﹣1
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣6有两个相等的实数根
10．已知P（1，3），Q（2，4），M（2，2），N（1，1），若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点，
则此抛物线可能经过（ ）
A．点P和点Q B．点P和点M C．点Q和点M D．点M和点N
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，则m＝ ．
12．如图，若y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为
．13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2023的值为 ．
14．一次函数y ＝mx+n（m≠0）与二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣
1 2
m）x+c＞n的解集为（ ）
A．x＜3 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4
15．如图是抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的部分图象，对称轴为直线x＝1，与x轴的交点（n，0），且3＜
3 2 3
n＜4，则关于x的一元二次方程a(x+ ) +b(x+ )=−3的整数解的和为 ．
2 2
16．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y＝ax2+bx与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣b，
0）．
（1）求a的值和抛物线的对称轴（用含b的式子表示）；
（2）若点A（2，y ），B（b，y ），C（b+1，y ）在该抛物线上，且y ＜y ＜y ，求b的取值范围．
1 2 3 3 1 2
17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
18．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B（3，0），
C（0，3）．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，△PBC的面积是△ABC面积的一半，求点P
的坐标．
19．在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m是常数）．
（1）当m＝5时，求该函数图象与x轴的交点坐标．（2）若点A（n，y ），B（m+1，y ），C（x ，3）都在该函数图象上，点A不与点B，C重合．
1 2 0
①比较y ，y 的大小．
1 2
②若x ＝﹣1，y ＞3，直接写出n的取值范围．
0 1
20．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且过点（0，
1）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（3）当自变量x满足t≤x≤5时，y的最大值为m，最小值为n，且m+n＝4，求t的值．
