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专题 22.7 二次函数与一元二次方程
1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题
目。
教学目标
2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题
目。
1. 重点
（1）二次函数与一元二次方程；
（2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式；
教学重难点 2. 难点
（1）根据图象或根的情况求未知系数的值；
（2）求一元二次方程的近似根；
（3）求一元二次不等式的解集。知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与 轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
与 轴有两个交点 有2个 不相等 的实数根
根的判别式 ＞ 0。
与 轴有 1 个交点 有2个相等的实数根
根的判别式 = 0。
与 轴没有交点 没有 实数根 根的判别
＜ 0。
二次函数图象与x轴的交点 横坐标 即为一元二次方程的解。
2. 与 （m为常数且不为0）的交点：
①若 与 有两个交点，则方程 的根的判别式 大于 0，方程
有两个 不相等 的实数根。
②若 与 有一个交点，则方程 的根的判别式 等于 0，方程
有两个 相等 的实数根。
③若 与 没有交点，则方程 的根的判别式 小于 0，方程没
有实数根。
3. 与 （m为常数且不为0）的交点：
①若 与 有两个交点，则方程 的根的判别式 大于
0，方程有两个 不相等 的实数根。
②若 与 有一个交点，则方程 的根的判别式 等于
0，方程有两个 相等 的实数根。
③若 与 没有交点，则方程 的根的判别式 小于 0，
方程没有实数根。
【即学即练1】
1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝
0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根C．没有实数根
D．无法判断
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解．
故选：B．
【即学即练2】
2．若二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 k ≤ 3 且 k ≠ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1＝0有解，
{ k−2≠0 )
∴ ，
△=22−4(k−2)=12−4k≥0
解得：k≤3且k≠2．
故答案为：k≤3且k≠2．
【即学即练3】
3．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如
图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是（ ）
A．x ＝0，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝0
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝1 D．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：设抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
−1+x
∴ =1，
2
解得：x＝3，
即抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x ＝﹣1，x ＝3，
1 2故选：D．
【即学即练4】
4．如图，直线y＝1与抛物线y＝x2﹣2x相交于M、N两点，则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解？
（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣2＝0 D．x2﹣2x+2＝0
【答案】B
【解答】解：把y＝1代入抛物线y＝x2﹣2x得，x2﹣2x＝1，
即x2﹣2x﹣1＝0．
故选：B．
知识点02 二次函数与一元二次不等式
1. 二次函数与一元二次不等式：
抛物线的图象
a
大
于 不等式 xx x≠− b 全体实数
1 2 2a
0 的解集
不等式 x x
2
x≠−
2
b
a
全体实数的解集
【即学即练1】
5．求不等式﹣x2﹣6x+16＞0的解集．
【答案】﹣8＜x＜2．
【解答】解：对于二次函数y＝﹣x2﹣6x+16，
当y＝0时，﹣x2﹣6x+16＝0，
解得x ＝﹣8，x ＝2，
1 2
∴抛物线y＝﹣x2﹣6x+16与x轴的交点坐标为（﹣8，0），（2，0），
∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+16开口向下，
∴当﹣8＜x＜2时，y＞0，
即不等式﹣x2﹣6x+16＞0的解集为﹣8＜x＜2．
【即学即练2】
6．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）．则y＞0的解集
﹣ 5 ＜ x ＜ 3 ．
【答案】﹣5＜x＜3．
【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），
∴根据对称性可得另一交点为（3，0）．
由抛物线开口向下，
∴当y＞0时，﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．
题型01 根据函数图象判断一元二次方程的根的情况
【典例1】关于二次函数y＝x2﹣3x﹣5的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个交点 B．有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：令y＝0，得方程x2﹣3x﹣5＝0．计算判别式Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝9+20＝29．
因Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根，
故二次函数图象与x轴有两个交点．故选：A．
【变式1】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的根
的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的开口向下，
而抛物线的顶点坐标为（1，5），
即抛物线的顶点在x轴上方，
∴抛物线与x轴有2个交点，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式 2】已知函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+2＝0 的根的情况是
（ ）
A．无实数根
B．有两个同号不等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个相等实数根
【答案】C
【解答】解：由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的判别式为：Δ＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a，
∵a＜0，∴﹣8a＞0，
∵b2﹣4ac＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
a c+2
又∵两根之和为− ＞0，两根之积为 ＜0，
b a
∴两根异号，
故选：C．
【变式3】若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的
根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根
【答案】C
【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），
画出函数的图象如图：
由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，
故选：C．
题型02 根据二次函数图象及根的情况求未知系数
【典例1】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数
∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【变式1】若关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．﹣3或﹣2
【答案】D
【解答】解：关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交点，分两种情况讨论：
当函数为二次函数时，得：y＝（a+2）x2+4x﹣4，
∴Δ＝16﹣4（a+2）×（﹣4）＝0，
∴a＝﹣3；
当函数为一次函数时，得：a+2＝0，
解得：a＝﹣2；综上所述，a的值为﹣3或﹣2；
故选：D．
【变式2】已知函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值为（
）
1 1
A．﹣1或2 B．0或2 C．− 、0或2 D．﹣1、− 或2
4 4
【答案】C
1
【解答】解：当a﹣2＝0，即a＝2时，函数y＝3x+ 为一次函数，其图象与坐标轴有两个公共点；
2
当a﹣2≠0时，分两种情况解答：
①函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象经过原点，把（0，0）代入得，b＝0，
∴a＝0，
此时函数y＝﹣2x2+x与坐标轴有两个公共点；
②函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象分别与x轴、y轴各有一个交点，
把y＝0代入y＝﹣2x2+x得，（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0，
则Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×b＝0，
∵a＝4b，
a
∴b= ，
4
∴（a+1）2﹣a（a﹣2）＝0，
1
解得a=− ；
4
1
综上，a的值为2或0或− ．
4
故选：C．
【变式3】抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在﹣2与﹣1之间，点B的横
坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（ ）
A．b＝1，c＝﹣1 B．b＝﹣1，c＝﹣1 C．b＝3，c＝﹣2 D．b＝1，c＝﹣3
【答案】A
b
【解答】解：抛物线L：y＝x2+bx+c的对称轴为直线x=− ，
2∵点A的横坐标在﹣2与﹣1之间，点B的横坐标在0与1之间，
b
∴−1＜− ＜0，
2
∴0＜b＜2．
由图象可知，当x＝1时，y＞0，
∴1+b+c＞0，
∴b，c的取值可能是b＝1，c＝﹣1．
故选：A．
1
【变式4】已知关于x的二次函数y=x2−(k+1)x+ k2 的图象与x轴有两个交点，则❑√(1+k) 2化简后的
4
结果为（ ）
A．1+k B．1﹣k C．﹣k﹣1 D．k﹣1
【答案】A
【解答】解：由题意可得：
1
∴Δ=[−(k+1)] 2−4×1× k2=(k+1) 2−k2=2k+1＞0，
4
∴2k＞﹣1，
1
解得k＞− ，
2
1 1
∴1+k＞1− = ＞0，
2 2
∴❑√(1+k) 2=|1+k|=1+k．
故选：A．
题型03 根据图象求方程的近似根
【典例1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c中部分x和y的值如下表所示：
x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14
y ﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8
则方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是（ ）
A．0.11＜x＜0.12 B．0.12＜x＜0.13
C．3.87＜x＜3.88 D．3.88＜x＜3.89
【答案】C
−4a
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣4ax+c的对称轴为直线x =− = 2，
2a
∴（0.12，﹣1.5）关于对称轴的对称点为（3.88，﹣1.5），（0.13，0.9）关于对称轴的对称点为
（3.87，0.9），
由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0，∴当x取3.87与0.88之间的某个数时，y＝0．
∴方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是3.87＜x＜3.88．
故选：C．
【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2.6 ﹣2.5 ﹣2.4 ﹣2.3 ﹣2.2 …
y … 0.56 0.25 ﹣0.04 ﹣0.31 ﹣0.56 …
则根据以上信息可判断，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根x 的取值范围是（ ）
1
A．﹣2.6＜x ＜﹣2.5 B．﹣2.5＜x ＜﹣2.4
1 1
C．﹣2.4＜x ＜﹣2.3 D．﹣2.3＜x ＜﹣2.2
1 1
【答案】B
【解答】解：∵x＝﹣2.5时，y＝0.25，x＝﹣2.4时，y＝﹣0.04，
∴x 的取值范围是﹣2.5＜x ＜﹣2.4，
1 1
故选：B．
【变式2】如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.56），B（2.68，
0.54），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45
【答案】D
【解答】解：从函数图象看，y＝0的点在2.18和2.68之间，
故选：D．
【变式3】小明用GGB探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根，作出如图所示的图象，并
求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．2.4 B．2.6 C．1.4 D．1.6【答案】C
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∴另一个交点坐标为：（1.4，0），
则方程的另一个近似根为1.4，
故选：C．
题型04 根据函数图像求一元二次不等式的解集
【典例1】抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则不等式9x2﹣p2＜0的解集是 ﹣ 4 ＜ x ＜ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，
所以p2﹣4×4×9＝0，解得p＝12，
所以9x2﹣p2＜0可以化为9x2﹣144＜0，即x2＜16，
解得﹣4＜x＜4，
所以不等式9x2﹣p2＜0的解集是﹣4＜x＜4．
【变式1】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式
ax2+c＜﹣kx+b的解集是（ ）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4，
如图所示，∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
【变式 2】如图，抛物线 y＝ax2+c 与直线 y＝mx+n 交于 A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式
ax2+mx+c＞n的解集是 x ＜﹣ 3 或 x ＞ 1 ．
【答案】x＜﹣3或x＞1．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
如图，设抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P、Q两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，∴ax2+c＞﹣mx+n即ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
【变式3】如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y ），B（1，y ）两点，则关于x的
1 2
不等式ax2+c≤kx+m的解集是 x ≤﹣ 3 或 x ≥ 1 ．
【答案】x≤﹣3或x≥1．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y ），B（1，y ），
1 2
∴不等式ax2+c≤kx+m的解集是x≤﹣3或x≥1，
故答案为：x≤﹣3或x≥1．
1．二次函数y＝2x2﹣3x+1与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：令y＝0，则2x2﹣3x+1＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝9﹣8＝1＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点，
故选：C．
2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0，a，c为常数），如表给出了自变量x与函数值y的部分对应值．
x 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
y＝ax2﹣ 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24
2ax+c
根据表格，可以估计方程ax2﹣2ax+c＝5的近似解是（ ）
A．﹣0.55和2.55 B．1.45和2.55
C．1.25和2.75 D．﹣0.75和2.75
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，
−2a
∴对称轴为x=− =1．
2a∴观察表格数据可以发现y＝5时，x在2.7和2.8之间，
∴根据二次函数的对称性，可知y＝5时，x在﹣0.8和﹣0.7之间，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分
别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2时，y＜0
【答案】D
【解答】解：由题意可得，
∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号，
a−3
∴x x = ＜0，
1 2 a
解得0＜a＜3，
∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意；
−2a
∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线x=− =1，
2a
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当x＝1时，y＝﹣3，
∴最小值为﹣3，故C不符合题意；
当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，
∵0＜a＜3，
∴此时y＜0，故D符合题意；
故选：D．
4．已知抛物线y＝x2+2x﹣4与x轴交于点A（a，0）和B（b，0），则（a+1）（b+1）的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7
【答案】A
【解答】解：已知抛物线y＝x2+2x﹣4与x轴交于点A（a，0）和B（b，0），将点A，点B的坐标分别
代入得：
{a+b=−2)
，
ab=−4
∴（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣4﹣2+1＝﹣5．
故选：A．
5．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m
的取值范围是（ ）A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
【答案】A
【解答】解：如图所示：当m＞3时，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m有两个交点，且一个交点的横坐
标为正，另一交点的横坐标为负．所以当关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根时，m的
取值范围是m＞3．
故选：A．
6．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
… ﹣3 ﹣1 0 3 5 …
y … 3 ﹣2 ﹣3 0 7 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
1
C．图象的对称轴是直线x=−
2
1
D．当x＜ 时，y随x的增大而增大
2
【答案】B
【解答】解：∵二次函数经过点（﹣1，﹣2），（0，﹣3），（3，0），
{a−b+c=−2
)
∴ c=−3 ，
9a+3b+c=0
{
a=0.5
)
解得： b=−0.5 ，
c=−3∴这个二次函数的解析式为：y＝0.5x2﹣0.5x﹣3，
∵0.5＞0，
∴二次函数的图象的开口向上，故A错误，不符合题意；
当y＝0时，0.5x2﹣0.5x﹣3＝0，解得：x ＝3，x ＝﹣2，所以图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，
1 2
0），故B正确，符合题意；
−0.5 1
图象的对称轴是直线x=− = ，故C错误，不符合题意；
2×0.5 2
1
∵抛物线的开口向上，图象的对称轴是直线x= ，
2
1
∴当x＜ 时，y随x的增大而减小，故D错误，不符合题意．
2
故选：B．
7．如图，若将抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位长度后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有
一个交点，则m的取值范围是（ ）
A．2＜x＜7 B．2≤x＜7 C．2＜x≤7 D．2≤x≤7
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位后得到y＝﹣x2+4x﹣2+m，
∵y＝﹣x2+4x﹣2+m在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，
∴当（﹣1，0）在抛物线上时，
0＝﹣1﹣4﹣2+m，
解得m＝7；
当（4，0）在抛物线上时，
0＝﹣16+16﹣2+m，
解得m＝2；
∴2≤m＜7．
故选：B．
8．已知二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，则下列结论不正确的是（ ）1 8
A．当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是( ， )
3 3
B．当m＞0时，函数图象与y轴交于负半轴
1
C．当m＜0时，函数在x＞ 时，y随x的增大而减小
4
1
D．当m≠− 时，函数图象与x轴有两个交点
3
【答案】C
2 2 1 1
【解答】解：当m＝﹣3时，二次函数为y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x2− x）+2＝﹣6（x2− x+ − ）
3 3 9 9
1 8
+2=−6(x− ) 2+ ，
3 3
1 8
∴函数图象的顶点坐标是（ ， ）．
3 3
故A选项正确，不符合题意；
∵当m＞0时，﹣1﹣m＜0，
∴函数图象与y轴交于负半轴，
故B选项正确，不符合题意；
1−m 1 1
二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m的对称轴为直线x=− = − ，
4m 4 4m
∵m＜0，
1 1 1
∴ − ＞ ，
4 4m 4
1 1 1 1 1
∴函数在 ＜x＜ − 时，y随x的增大而增大，在x＞ − 时，y随x的增大而减小，
4 4 4m 4 4m
故C选项不正确，符合题意；
1
∵当m≠− 时，Δ＝（1﹣m）2﹣4×2m×（﹣1﹣m）＝9m2+6m+1＝（3m+1）2＞0，
3
∴函数图象与x轴有两个交点．
故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（﹣1，﹣4），其对称轴为直线
x＝﹣3．下列结论正确的是（ ）A．6a+b＝0
B．若点（﹣2025，y ），（2024，y ）均在二次函数图象上，则y ＞y
1 2 1 2
C．不等式ax2+bx+c＞﹣4的解集为﹣5＜x＜﹣1
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣6有两个相等的实数根
【答案】D
b
【解答】A、已知对称轴为直线x＝﹣3，则− =−3，可得6a﹣b＝0，所以选项A错误；
2a
B、由对称轴为x＝﹣3，且a＞0（二次函数图象开口向上），点（﹣2025，y ）到对称轴x＝﹣3的距离
1
为|﹣2025﹣（﹣3）|＝|﹣2025+3|＝2022；点（2024，y ）到对称轴x＝﹣3的距离为|2024﹣（﹣3）|＝|
2
2024+3|＝2027．因为2022＜2027，所以y ＜y ，所以选项B错误；
1 2
C、已知函数图象经过点（﹣1，﹣4），且对称轴为x＝﹣3，根据二次函数的对称性，可知与点（﹣
1，﹣4）关于x＝﹣3对称的点的横坐标为x＝﹣3﹣[﹣1﹣（﹣3）]＝﹣3﹣（﹣1+3）＝﹣5，即函数图
象也过点（﹣5，﹣4），由图象可知，y＝ax2+bx+c＞﹣4时，x＜﹣5或x＞﹣1，所以选项C错误；
D、由图象可知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣6有一个交点，这意味着关于x的一元二次方
程ax2+bx+c＝﹣6有两个相等的实数根，所以选项D正确．
故选：D．
1．已知P（1，3），Q（2，4），M（2，2），N（1，1），若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点，则
此抛物线可能经过（ ）
A．点P和点Q B．点P和点M C．点Q和点M D．点M和点N
【答案】B
【解答】解：A．∵点P和点Q，
{ a+b+2=3 )
∴ ，
4a+2b+2=4
{a=0)
解得 ，
b=1
∵a≠0，
∴矛盾，故不符合题意；{a=−1)
B．同理可求 ，
b=2
∵Δ＝22﹣4×（﹣1）×2＝12＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点，故符合题意；
C．∵x ＝x ＝2，
Q M
∴直线PQ⊥x轴，
∴抛物线不可能同时经过点Q和点M，故不符合题意；
{ a=1 )
D．同理可求 ，
b=−2
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+2与x轴没交点，故不符合题意；
故选：B．
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，则m＝ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，且该抛物线的顶点坐标为（1，m
﹣1），
∴顶点（1，m﹣1）位于x轴上．
∴m﹣1＝0．
解得m＝1．
故答案为：1．
12．如图，若y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为 x ＝
﹣ 1 ．
【答案】x＝﹣1．
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1且与x轴的一个交点坐标为
（3，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2023的值为 202 5 ．
【答案】2025．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
即m2﹣m＝1，
∴2m2﹣2m+2020＝2（m2﹣m）+2023＝2×1+2023＝2025．
故答案为：2025．
14．一次函数y ＝mx+n（m≠0）与二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣
1 2
m）x+c＞n的解集为（ ）
A．x＜3 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4
【答案】C
【解答】解：ax2+（b﹣m）x+c＞n，
即ax2+bx+c＞mx+n．
由图象可得，ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜3，
∴不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为﹣4＜x＜3．
故选：C．
15．如图是抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的部分图象，对称轴为直线x＝1，与x轴的交点（n，0），且3＜
3 2 3
n＜4，则关于x的一元二次方程a(x+ ) +b(x+ )=−3的整数解的和为 ﹣ 1 ．
2 2
【答案】﹣1．
【解答】解：由图可知：另一个交点的坐标为（m，0），且﹣2＜m＜﹣1，3 3 2 3
将抛物线向左平移 个单位得y=a(x+ ) +b(x+ )+3，
2 2 2
3 2 3 3 5 7 5
则抛物线y=a(x+ ) +b(x+ )+3与x轴的交点在 与 和− 与− 之间，
2 2 2 2 2 2
3 2 3
∴关于x的一元二次方程a(x+ ) +b(x+ )=−3的整数解为x ＝﹣3，x ＝2，
1 2
2 2
∴整数解的和为﹣3+2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y＝ax2+bx与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣b，
0）．
（1）求a的值和抛物线的对称轴（用含b的式子表示）；
（2）若点A（2，y ），B（b，y ），C（b+1，y ）在该抛物线上，且y ＜y ＜y ，求b的取值范围．
1 2 3 3 1 2
b
【答案】（1）a＝1，抛物线的对称轴为直线x=− ．
2
3
（2）− ＜b＜−1．
2
【解答】解：（1）将（﹣b，0）代入y＝ax2+bx，
得ab2﹣b2＝0．
∵a≠0，
∴b≠0．
∴a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2+bx，
b
∴抛物线的对称轴为直线x=− ．
2
（2）∵点A（2，y ），B（b，y ），C（b+1，y ）在该抛物线上，且y ＜y ＜y ，
1 2 3 3 1 2
∴点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
b b b
即|b+1+ |＜|2+ |＜|b+ |，
2 2 2
3
解得− ＜b＜−1．
2
3
∴b的取值范围为− ＜b＜−1．
2
17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）M（﹣1，2）．
【解答】解：（1）由题意可得：
{−9−3b+c=0)
，
c=3
{b=−2)
∴ ，
c=3
∴＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
连接AC交对称轴于点M，
由题意可得：AM＝BM，
∴CM+BM＝CM+AM＝AC，
由两点之间线段最短，可知此时CM+BM的值最小，最小值即为线段AC的长，
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
{0=−3k+n)
把A（﹣3，0），C（0，3）代入得， ，
3=n
{k=1)
解得 ，
n=3
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，
∴M（﹣1，2）．
18．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B（3，0），
C（0，3）．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，△PBC的面积是△ABC面积的一半，求点P的坐标．
【答案】（1）（1，4）；
（2）P（1，4）或P（2，3）．
【解答】解；（1）由题意可得：
{−9+3b+c=0)
，
c=3
{b=2)
解得 ，
c=3
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该二次函数的顶点坐标为（1，4）；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），
1
∴S = ×4×3=6，
△ABC 2
∴S△PBC ＝3．
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
将B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+d得：
{3k+d=0)
，
d=3
{k=−1)
解得 ，
d=3
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
作PD⊥x轴交BC于D，设P（a，﹣a2+2a+3），
则D（a，﹣a+3），
∴PD＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
1 3 9
∵S = ×PD×BO=− a2+ a，
△PBC 2 2 2
3 9
∴− a2+ a=3，
2 2
整理得a2﹣3a+2＝0，
解得a ＝1，a ＝2，
1 2
当a＝1时，P（1，4），
当a＝2时，P（2，3）．
19．在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m是常数）．
（1）当m＝5时，求该函数图象与x轴的交点坐标．
（2）若点A（n，y ），B（m+1，y ），C（x ，3）都在该函数图象上，点A不与点B，C重合．
1 2 0
①比较y ，y 的大小．
1 2
②若x ＝﹣1，y ＞3，直接写出n的取值范围．
0 1
【答案】（1）该函数图象与x轴的交点坐标为（5，0），（7，0）．
（2）①y ＞y ．
1 2
②当m＝0时，n＜﹣1或n＞3；当m＝﹣4时，n＜﹣5或n＞﹣1．
【解答】解：（1）当m＝5时，y＝（x﹣5）（x﹣5﹣2）＝（x﹣5）（x﹣7）．
令y＝0，得（x﹣5）（x﹣7）＝0，
解得x ＝5，x ＝7，
1 2
∴该函数图象与x轴的交点坐标为（5，0），（7，0）．
（2）①∵y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝x2﹣（2m+2）x+m（m+2），
−(2m+2)
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=− =m+1，
2×1
∵B（m+1，y ），
2∴点B为抛物线的顶点，函数值最小，
∴y ＞y ．
1 2
②当x ＝﹣1时，C（﹣1，3），
0
将点C（﹣1，3）代入y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），
得（﹣1﹣m）（﹣1﹣m﹣2）＝3，
解得m ＝0，m ＝﹣4．
1 2
当m＝0时，y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
将A（n，y ）代入y＝x2﹣2x，得y ＝n2﹣2n，
1 1
令n2﹣2n＝3，
解得n ＝﹣1，n ＝3，
1 2
∴y ＞3时，n的取值范围为n＜﹣1或n＞3；
1
当m＝﹣4时，y＝（x+4）（x+2）＝x2+6x+8，
将A（n，y ）代入y＝x2+6x+8，得y ＝n2+6n+8，
1 1
令n2+6n+8＝3，
解得n ＝﹣5，n ＝﹣1，
1 2
∴y ＞3时，n的取值范围为n＜﹣5或n＞﹣1；
1
综上所述，当m＝0时，n＜﹣1或n＞3；当m＝﹣4时，n＜﹣5或n＞﹣1．
20．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且过点（0，
1）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（3）当自变量x满足t≤x≤5时，y的最大值为m，最小值为n，且m+n＝4，求t的值．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+1；
（2）m＝3；
（3）t＝3或2−❑√10．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，
b
∴− = 2，
2
∴b＝﹣4，
∵二次函数经过点（0，1），
∴c＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+1；
（2）平移后的二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+1+m，
令y＝0，则Δ＝16﹣4（1+m）＝0，
解得：m＝3；（3）当x＝5时，y＝25﹣20+1＝6，
二次函数化为顶点式：y＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点为（2，﹣3），
①当t＞2时，
∵6﹣3＝3＜4，
∴m＝6，n＝﹣2，t＞2，
令y＝﹣2，则t2﹣4t+1＝﹣2，
解得：t＝1（舍）或3，
∴t＝3，
②当t≤2时，n＝﹣3，
∴m＝7，
∴t2﹣4t+1＝7，
解得：t＝2+❑√10（舍）或2−❑√10，
综上所述，t＝3或2−❑√10．
