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专题 21.3 公式法
1. 掌握一元二次方程的根的判别式，能够熟练的计算根的判别式的值并判断一元二次
方程的根的情况。
教学目标 2. 掌握用公式法解一元二次方程的具体步骤，并能够根据求根公式判断一元二次方
程。
3. 能够结合根的判别式以及一元二次方程的解解决相应的参数问题。
1. 重点
（1）根的判别式的计算，判断根的情况及求未知参数的值；
（2）利用公式法解一元二次方程；
教学重难点
2. 难点
（1）判断含有参数的一元二次方程的根的情况；
（2）利用根的判别式及方程的解求参数。知识点01 一元二次方程根的判别式
1. 根的判别式：
( b ) 2 b2−4ac
x+ =
用配方法解一元二次方程 ，可将方程化成 2a 4a2 。由配方
法解方程可知，根据 与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定 与0的大小关系
只需要确定 b2−4ac 与0的大小关系。我们把 b2−4ac 叫做一元二次方程的根的判别式。用
符号 来表示。
①若 方程有两个不相等的实数根 。
②若 方程有两个相等的实数根 。
③若 方程没有实数根 。
【即学即练1】
1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判断
【答案】C
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴2x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
【即学即练2】
2．关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
【答案】C
【解答】解：Δ＝m2﹣4（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有实数根．
故选：C．
【即学即练3】
3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣1 D．0
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
{ m+1≠0 )
∴ ，
(−4) 2+4(m+1)＞0
解得：m＞﹣5且m≠﹣1，
故选：D．
【即学即练4】
4．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a＜3 C．a≥﹣3且a≠2 D．a≤3且a≠2
【答案】D
【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣2）≥0且a﹣2≠0，
解得：a≤3且a≠2．
故选：D．
知识点02 公式法解一元二次方程
1. 求根公式：
±❑√b2−4ac −b±❑√b2−4ac
2a 2a
由 可知， 。 。我们把它叫
做一元二次方程的求根公式。
① 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
即 ； 。
2a 2a
b
−
② 时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 2a 。
③ 时，一元二次方程没有实数根。
2. 公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 a ， b ， c 的值。
②计算 ∆=b2−4ac 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把 的值带入相应的求根公式求解。
【即学即练1】5．方程x2+3x﹣1＝0，则b2﹣4ac＝（ ）
A．5 B．﹣5 C．13 D．﹣13
【答案】C
【解答】解：x2+3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13，
故选：C．
【即学即练2】
−b±❑√b2−4ac
6．在用求根公式x= 求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了 a，b，c 得到
2a
3±❑√(−3) 2−4×2×(−1)
x= ，则她求解的一元二次方程是（ ）
2×2
A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0
【答案】A
【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．
故选：A．
【即学即练3】
7．用公式法解下列方程：
（1）x（x+8）＝16； （2）❑√2x2﹣4x＝4❑√2； （3）2x2﹣2❑√2x+1＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x（x+8）＝16，
x2+8x﹣16＝0，
a＝1，b＝8，c＝﹣16，
b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣16）＝128＞0，
−8±❑√128
x= ，
2
x ＝﹣4+4❑√2，x ＝﹣4﹣4❑√2；
1 2
（2）❑√2x2﹣4x＝4❑√2，
❑√2x2﹣4x﹣4❑√2=0；
a=❑√2，b＝﹣4，c＝﹣4❑√2，
b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×❑√2×（﹣4❑√2）＝48＞0，
4±❑√48
x= =❑√2±❑√6，
2❑√2
x =❑√2+❑√6，x =❑√2−❑√6；
1 2（3）2x2﹣2❑√2x+1＝0，
a＝2，b＝﹣2❑√2，c＝1，
b2﹣4ac＝（﹣2❑√2）2﹣4×2×1＝0，
❑√2
x ＝x = ．
1 2 2
题型01 判断不含参数的一元二次方程组的根的情况
【典例1】一元二次方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
【答案】D
【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣1）2﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴该方程没有实数根，
故选：D．
【变式1】关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式2】一元二次方程x2﹣5x+7＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣5x+7＝0，
a＝1，b＝﹣5，c＝7，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，
故选：C．
题型02 判断含参数的一元二次方程的根的情况
【典例1】关于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣3）＝m2+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式1】关于x的一元二次方程x2+2x＝m2的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：原方程化为一般式为x2+2x﹣m2＝0
由题意得Δ＝4m2+4＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式2】关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝m，下列说法正确的是（ ）
A．当m＝0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m＞0时，此方程有两个不相等的实数根
C．当m＜0时，此方程没有实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
【答案】B
【解答】解：∵x2+x﹣2＝m，
∴x2+x﹣2﹣m＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣m﹣2）
＝4m+9，
A．当m＝0时，Δ＝9＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，故A说法错误，不合题意；
B．当m＞0时，Δ＝4m+9＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故B说法正确，符合题意；
C．当m＜0时，Δ＝m+9的符号不能确定，
∴此方程的根情况不能确定，故C说法错误，不合题意；
D．此方程的根的情况与m的值有关，故D说法错误，不合题意；
故选：B．
【变式3】已知b2＝ac，则关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】B
【解答】解：Δ＝（2b）2﹣4ac＝4b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，
故选：B．
题型03 根据一元二次方程的根的情况求值或范围
【典例1】若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】D
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ＝22﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣1且a≠0，
∴a的值可以是1，
故选：D．
【变式1】若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
1
A．﹣1 B． C．0 D．1
4
【答案】D
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m＝1﹣4m＜0，
1
解得：m＞ ．
4
故选：D．
【变式2】若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（ ）A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【答案】B
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0，
解得m≤1，
故选：B．
【变式3】关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（k﹣3）2﹣4×1×k＝0，
解得k＝1或9．
故选：C．
【变式 4】关于 x 的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值可以是
（ ）
2 3
A．﹣1 B．0 C．− D．−
3 2
【答案】D
【解答】解：由题意可知：
Δ＝b2﹣4ac＝4﹣12（k+1）＞0且k+1≠0，
2
解得：k＜− 且k≠﹣1，
3
3
∴k的值可以是− ；
2
故选：D．
【变式 5】若关于 x 的方程 x2﹣4x+k+2＝0 有两个不相等的实数根，则直线 y＝（k﹣2）x+1 不经过
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：根据题意得：Δ＝（﹣4）2﹣4（k+2）＝﹣4k+8＞0，
解得k＜2．
则k﹣2＜0，
则直线y＝（k﹣2）x+1不经过第三象限．
故选：C．
题型04 利用公式法解一元二次方程
【典例1】用公式法解下列方程：1
（1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）2y2−y− =0；
2
（3）2x2﹣7x+5＝0； （4） 2x2﹣7x﹣18＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）＝16，
2±❑√16 2±4 1±2
∴x= = = ，
2×3 6 3
1
∴x ＝1，x =− ．
1 2 3
1
（2）∵a＝2，b＝﹣1，c=− ，
2
1
∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（− ）＝5，
2
1±❑√5 1±❑√5
∴x= = ，
2×2 4
1+❑√5 1−❑√5
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
（3）∵a＝2，b＝﹣7，c＝5，
∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9，
7±❑√9 7±3
∴x= = ，
2×2 4
5
∴x = ，x ＝1．
1 2 2
（4）∵a＝2，b＝﹣7，c＝﹣18，
∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣18）＝193，
7±❑√193 7±❑√193
∴x= = ，
2×2 4
7+❑√193 7−❑√193
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
【变式1】使用“公式法”解一元二次方程
1
（1）x2−❑√2x− =0； （2）2x2﹣2❑√2x+1＝0； （3）3x2+20＝2x2+8x．
4
【答案】见试题解答内容
1
【解答】解：（1）x2−❑√2x− = 0，
4
1
∵a＝1，b=−❑√2，c=− ，
41
∴Δ＝b2﹣4ac＝（−❑√2）2﹣4×1×（− ）＝3＞0，
4
❑√2±❑√3 ❑√2±❑√3
∴x= = ，
2×1 2
❑√2+❑√3 ❑√2−❑√3
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）2x2﹣2❑√2x+1＝0；
∵a＝2，b＝﹣2❑√2，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2❑√2）2﹣4×2×1＝0，
2❑√2±❑√0 2❑√2 ❑√2
∴x= = = ，
2×2 4 2
❑√2
∴x ＝x = ；
1 2 2
（3）3x2+20＝2x2+8x，
化简，得
x2﹣8x+20＝0，
∵a＝1，b＝﹣8，c＝20，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
此方程无实数根．
【变式2】用公式法解下列方程．
（1）（x+1）（x+3）＝6x+4； （2）x2+2（❑√3+1）x+2❑√3=0； （3）x2﹣（2m+1）x+m＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8
2±❑√8 2±2❑√2
∴x= = =1±❑√2，
2×1 2
∴x ＝1+❑√2，x ＝1−❑√2；
1 2
（2）∵a＝1，b＝2（❑√3+1），c＝2❑√3，
∴b2﹣4ac＝[2（❑√3+1）]2﹣4×1×2❑√3=16，
−2(❑√3+ 1)±❑√16 −2(❑√3+1)± 4
∴x= = =−（❑√3+1）±2，
2×1 2
∴x =−❑√3−3，x =−❑√3+1；
1 2
（3）∵a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m，
∴b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m＝4m2+1，2m+1±❑√4m2+1
∴x= ，
2×1
2m+1+❑√4m2+1 2m+1−❑√4m2+1
∴x = ，x = ．
1 2
2 2
题型05 根据求根公式判断一元二次方程
−3±❑√32−4×2×(−4)
【典例 1】若用公式法解关于 x 的一元二次方程的根为x= ，则这个方程是
2×2
（ ）
A．2x2+3x+4＝0 B．2x2﹣3x+4＝0
C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2﹣3x﹣4＝0
【答案】C
−b±❑√b2−4ac −3±❑√32−4×2×(−4)
【解答】解：根据公式可得x的一元二次方程的根为：x= = ，
2a 2×2
∴这个方程是2x2+3x﹣4＝0，
故选：C．
b±❑√b2+20
【变式1】以x= 为根的一元二次方程可能是（ ）
2
A．x2﹣bx+10＝0 B．x2﹣bx﹣10＝0
C．x2+bx﹣5＝0 D．x2﹣bx﹣5＝0
【答案】D
b±❑√b2−40
【解答】解：A、x= ，故该选项不正确，不符合题意；
2
b±❑√b2+40
B、x= ，故该选项不正确，不符合题意；
2
−b±❑√b2+20
C、x= ，故该选项不正确，不符合题意；
2
b±❑√b2+20
D、x= ，故该选项正确，符合题意；
2
故选：D．
2±❑√b2−4×(−1)a
【变式2】若x= 可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（ ）
2×3
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
【答案】D
2±❑√b2−4×(−1)a
【解答】解：∵x= 可以表示一元二次方程的根，
2×3∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0，
故选：D．
−5±❑√52−4×3×1
【变式3】用公式法解一元二次方程，得：x= ，则该一元二次方程是 3 x 2 + 5 x + 1 ＝ 0
2×3
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，
则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，
故答案为：3x2+5x+1＝0
题型06 根的判别式与方程的解
【典例1】已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2025的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2009．
【解答】解：（1）由题意，∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由题意，∵方程有一个根为3，
∴9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8，
∴2k2+12k+2025＝2（k2+6k）+2025＝﹣16+2025＝2009．
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程的根均为整数，求此时k的值．
【答案】（1）k＜6；
（2）k的值为2或5．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝42﹣4（k﹣2）＞0，
解得k＜6，
所以k的取值范围为k＜6；
（2）∵Δ＝42﹣4（k﹣2）＝4（6﹣k）＞0，
而k为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴k＝2或5，
当k＝2时，Δ＝16，
−4±❑√16
∴x= =−2±2，
2×1解得x ＝﹣4，x ＝0，
1 2
当k＝5时，Δ＝4，
−4±❑√4
∴x= =−2±1，
2×1
解得x ＝﹣1，x ＝﹣3，
1 2
∴k的值为2或5．
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若a是方程的一个实数根，且满足（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40，求m的值．
【答案】（1）m≤7；
（2）m＝﹣6．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根，
∴△≥0，即（﹣4）2﹣4（m﹣3）≥0，
解得m≤7；
（2）∵a是方程的一个实数根，
∴a2﹣4a+m﹣3＝0，
∴a2﹣4a＝3﹣m，
∵（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40，
∴（3﹣m+1）（m+2）＝﹣40，
整理得：m2﹣2m﹣48＝0，
解得m ＝8，m ＝﹣6，
1 2
又由（1）可知m≤7，
∴m＝﹣6．
【变式3】已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）①若a＝1为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．
∴（k﹣2）2＝0，解得：k＝2．
此时原方程化为x2﹣4x+4＝0
∴x ＝x ＝2，即b＝c＝2．
1 2
此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形，
故周长为1+2+2＝5；②若a＝b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝1
代入方程：12﹣（k+2）+2k＝0
解得k＝1，
则原方程化为x2﹣3x+2＝0，
解得x ＝1，x ＝2，
1 2
即b＝1，c＝2，
此时△ABC三边为1，1，2不能构成三角形，则舍去；
∴△ABC的周长为5．
【变式4】已知关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）若该△ABC是等边三角形，求该方程的根；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）x ＝0，x ＝1；
1 2
（2）直角三角形，理由见解析．
【解答】解：（1）当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
原方程可化为：2ax2﹣2ax＝0，即2a（x2﹣x）＝0，
∴x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x ＝0，x ＝1；
1 2
（2）是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0，
∴4a2﹣4b2+4c2＝0，
∴a2﹣b2+c2＝0，即a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
1．用公式法解方程x2+2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．1，2，3 B．1，﹣2，3 C．1，2，﹣3 D．1，﹣2，﹣3
【答案】C
【解答】解：原方程整理得：x2+2x﹣3＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
故选：C．
2．学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实
数根，这个一元二次方程是（ ）A．x2=❑√2x B．x2﹣x﹣1＝0 C．4x2﹣x+1＝0 D．x2＝5x﹣2
【答案】C
【解答】解：A、x2=❑√2x变型为：x2−❑√2x=0，b2﹣4ac＝2＞0，方程有两个不相等的实数根，不符
合题意；
B、x2﹣x﹣1＝0，b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、4x2﹣x+1＝0，b2﹣4ac＝1﹣16＝﹣15＜0，方程没有实数根，符合题意；
D、x2＝5x﹣2变型为：x2﹣5x+2＝0，b2﹣4ac＝25﹣8＝17＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题
意；
故选：C．
3．若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（ ）
3±❑√32−4×2×(−4)
A．x=
2×2
−3±❑√(−4) 2−4×2×3
B．x=
2×2
−3±❑√32−4×2×(−4)
C．x=
2×2
−3±❑√32−4×2×(−4)
D．x=
2
【答案】C
【解答】解：∵a＝2，b＝3，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝41＞0，
−b±❑√b2−4ac −3±❑√32−4×2×(−4)
∴x= = ．
2a 2×2
故选：C．
4．关于x的方程2x2﹣mx+m﹣3＝0的根的情况是（ ）．
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
【答案】B
【解答】解：由条件可得b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（m﹣3）＝m2﹣8m+24＝（m﹣4）2+8＞0，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．已知关于 x的一元二次方程 x2﹣2x+a﹣1＝0无实数根，则一次函数 y＝﹣x+a的图象一定不经过
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C
【解答】解：由根的判别式可得Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＜0，
解得a＞2，
所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
6．定义运算：a※b＝a2﹣2ab﹣b．例如：4※2＝42﹣2×4×2﹣2＝﹣2．则方程x※2＝﹣4的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
D．无实数根
【答案】A
【解答】解：由新定义得x2﹣2×2x﹣2＝﹣4，
即x2﹣4x+2＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
3 3
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥ 且k≠2
2 2
【答案】B
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）k≥0，
解得k≥0且k≠2．
故选：B．
8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2−4ac=(2ax +b) 2．
0 0
其中正确的（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①③
【答案】C
【解答】解：①若a﹣b+c＝0，则x＝﹣1是原方程的解，即方程至少有一个根，由一元二次方程的实
数根与根的判别式的关系可知：b2﹣4ac≥0，故①正确，符合题意；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
故②正确，符合题意；
③若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
−b±❑√b2−4ac
则根据求根公式得：x = ，
0
2a
∴2ax +b＝±❑√b2−4ac
0
∴b2−4ac=(2ax +b) 2 ，
0
故③正确，符合题意；
故选：C．
9．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．
已知点A（1，1），B（﹣2，4），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有（ ）个．
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】A
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
{ k+b=1 )
∴ ，
−2k+b=4
{k=−1)
解得 ，
b=2
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
设直线AB上的任意一点为（a，﹣a+2），
∴这个点的对应方程为x2+ax+（﹣a+2）＝0
∵Δ＝a2﹣4×1×（﹣a+2）＝a2+4a﹣8，
∵﹣2≤a≤1，
当a＝﹣2有最小值﹣12，当a＝1有最大值﹣3，
∴﹣12≤Δ≤﹣3，即Δ＜0，
∴线段AB上任意点的对应方程都没有实数根，
故选：A．
10．如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半
径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（ ）
A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长【答案】A
【解答】解：由题知，
解方程x2+2ax＝b2得，
−2a±❑√4a2+4b2
x= ，
2
所以方程的正根为x＝﹣a+❑√a2+b2．
在Rt△ABD中，
BD=❑√AB2+AD2=❑√a2+b2．
又因为BF＝AB＝a，
所以x＝﹣BF+BD＝DF．
故选：A．
11．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为 3 x 2 ﹣ 5 x ﹣ 1 0 ＝ 0 ．
【答案】3x2﹣5x﹣10＝0．
【解答】解：3x2＝5（x+2），
3x2＝5x+10，
3x2﹣5x﹣10＝0，
故答案为：3x2﹣5x﹣10＝0．
2±❑√4−4×3×(−1)
12．若x= 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b﹣c的值为 2 ．
2×3
【答案】2．
【解答】解：由条件可知a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴a+b﹣c＝3﹣2+1＝2，
故答案为：2．
13．从﹣5，0，3三个数中，选取1个数作为p的值代入方程x2﹣px+1＝0．若该方程有两个正实数根，则
选取的p的值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵方程x2﹣px+1＝0有两个正实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4≥0，
∴p≥2或p≤﹣2；
当p＝0时，原方程无实数根，不合题意，
当p＝﹣5时，原方程为x2+5x+1＝0，
∵Δ＝25﹣4＝21，
−5+❑√21 −5−❑√21
∴x = ，x = 都小于0，不符合题意，
1 2 2 2
当p＝3时，原方程为x2﹣3x+1＝0，∵Δ＝9﹣4＝5．
3+❑√5 3−❑√5
∴x = ，x = 都大于0，符合题意，
1 2 2 2
故答案为：3．
14．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则代数式❑√m2−2m+1+m化简的结果是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：由条件可知Δ＝4﹣4m≥0，
∴m≤1，
∴❑√m2−2m+1+m=❑√(m−1) 2+m=1−m+m=1；
故答案为：1．
15．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小
的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：
若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝ ﹣ 2 或﹣ 3 ．
【答案】﹣2或﹣3．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2＞﹣3，
∴min{x2，﹣3}＝﹣3，
∵M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，
5x+x2−3
∴ =−3，
3
∴x＝﹣2或x＝﹣3．
故答案为：﹣2或﹣3．
16．用公式法解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0
（2）5x2＝4x﹣1
（3）2x2﹣2x﹣1＝0
5
（4）4x（x− ）＝8．
2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）这里a＝1，b＝﹣4，c＝1，
∵△＝16﹣4＝12，
4±2❑√3
∴x= =2±❑√3；
2
（2）方程整理得：5x2﹣4x+1＝0，
这里a＝5，b＝﹣4，c＝1，
∵△＝16﹣20＝﹣4＜0，∴方程无解；
（3）这里a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∵△＝4+8＝12，
1±❑√3
∴x= ，
2
1+❑√3 1−❑√3
解得：x = ，x = ；
1 2 2 2
（4）方程整理得：2x2﹣5x﹣4＝0，
这里a＝2，b＝﹣5，c＝﹣4，
∵△＝25+32＝57，
5±❑√57
∴x= ，
4
5+❑√57 5−❑√57
则x = ，x = ．
1 4 2 4
1
17．已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k− )=0．
2
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是
多少？
【答案】（1）见解答；
（2）10．
1
【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k− ）
2
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：①当b＝c时，Δ＝（2k﹣3）2＝0，
3
解得k= ，
2
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，
∵2+2＝4，
∴此种情况不成立；
1
②当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k− ）＝0，
25
解得：k= ，
2
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x ＝4，x ＝2，
1 2
即三边为4，4，2，能够成三角形，
则周长＝4+4+2＝10，
所以这个等腰三角形的周长是10．
18．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
【答案】（1）见详解；（2）x ＝0，x =−❑√2．
1 2
【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程整理得：b＝c，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，
∴a＝b，c=❑√2a=❑√2b，
∴x2+❑√2x＝0，
x（x+❑√2）＝0，
x ＝0，x =−❑√2．
1 2
19．已知实数a、b、c，且c＞0．
（1）若a、b、c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项．用公式法解得方程
−2±❑√b2+8
的根为x= ，求a+b+c的值；
2
（2）若a+2b+c＝0，abc＝1，求证c的最小值为2．
【答案】（1）﹣1；
（2）见解答．
【解答】（1）解：∵﹣4ac＝8，
∴ac＝﹣2，
而c＞0，
∴a＜0，
−2±❑√b2+8
∵用公式法解得方程的根为x= ，
2
∴a＝﹣1，b＝﹣2，﹣4ac＝8，
解得c＝2，
∴a+b+c＝﹣1﹣2+2＝﹣1；
（2）证明：∵a+2b+c＝0，abc＝1，
∴a＝﹣2b﹣c，
∴（﹣2b﹣c）bc＝1，整理得2cb2+bc2+1＝0，
∵关于b的一元二次方程有实数解，
∴Δ＝c4﹣4×2c≥0，
而c＞0，
∴c3≥8，
∴c≥2，
∴c的最小值为2．
20．由两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为
m、n，斜边长为q，分别以m，❑√2q，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程 mx2
+❑√2qx+n＝0，称为勾股方程．
（1）直接写出一个勾股方程．
m
（2）若勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0有两个相等的实数根，求 的值．
q
（3）若x＝﹣1是勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的
面积．
❑√2
【答案】（1）3x2+5❑√2x+4＝0是勾股方程（答案不唯一）；（2） ；（3）2．
2
【解答】解：（1）设m＝3，n＝4，
则q＝5，
∴3x2+5❑√2x+4＝0是勾股方程；
（2）∵勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝2q2﹣4mn＝0，
∴q2＝2mn，
∵q2＝m2+n2，
∴m2+n2＝2mn，
∴m﹣n＝0，
∴m＝n，
∴q=❑√2m，
m ❑√2
∴ = ；
q 2（3）∵x＝﹣1是勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0的一个根，
∴m−❑√2q+n＝0，
∴❑√2q＝m+n，
∵四边形ABCD的周长是6，
∴2m+2n+❑√2q＝6，
∴q=❑√2，
∵q2＝m2+n2，
∴m2+n2＝2，m+n＝2，
∴mn＝1，
1
∴四边形ABCD的面积＝mn+ q2＝1+1＝2．
2
