文档内容
专题 21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】
【人教版】
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】.........................................................................................1
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】.........................................................................................2
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】.........................................................................................2
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】.............................................................................................2
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】.........................................................................................................3
【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】.....................................................................................................4
【题型7 根与系数关系中的新定义问题】..............................................................................................................4
【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】.............................................................................6
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
b c
x x x x
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是 x 1 ，x 2，那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】
α β
【例1】（2022•江安县模拟）若 、 是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则 + 的值是 ．
β α
α β
【变式1-1】（2021秋•密山市校级期末）若x ，x 是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x ﹣1）（x
1 2 1 2
﹣1）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b满足√a-2+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b
1 1
＝0的两个实数根分别为x 、x ，则 + 的值是（ ）
1 2 x x
1 22 2 1
A．- B． C．2 D．
3 3 6
【变式1-3】（2022春•琅琊区校级月考）若 ， （ ≠ ）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则
﹣ 的值为（ ） α β α β α
A．β﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】
【例2】（2022•乳山市模拟）若x ，x 是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则3x 2﹣3x +x 2＝（ ）
1 2 1 1 2
1 5 9 3
A． B． C． D．
4 4 4 4
【变式 2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程 x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为 x ，x ，则 x 2
1 2 1
2022
- +1的值为（ ）
x
2
A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021
【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣
n+2022的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【变式2-3】（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的
值为 ．
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】
【例3】（2022•呼和浩特）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 3﹣2022x +x 2的
1 2 1 1 2
值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
5
【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a- 的值是（
b
）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值
为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
16
【变式3-3】（2022春•汉阳区校级月考）已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n2- +
n4的值是（ ）
A．57 B．58 C．59 D．60
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】
【例4】（2021秋•毕节市期末）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等
1 2
1 1
的实数根，且满足 + =1，则m的值为（ ）
x x
1 2
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不
相等的实数根x ，x ．且x ，x 满足x 2+x 2﹣x x ＝16，则a的值为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1
【变式4-2】（2022春•仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x ，x ，满足x ﹣x ＝3，求k的值．
1 2 1 2
【变式4-3】（2022•内江）已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x x x 2+2x ﹣
1 2 2+ 1= 1 2
x x
1 2
1，则k的值为 ．
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】
【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，
√b √a
则b +a 的值为（ ）
a b
A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13
【变式5-1】（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数 ， 满足2 2+5 ﹣2＝0，2 2﹣5 ﹣2＝0，且 ≠1，
α β α α β β αβ
1 α 5
且 + - α的值为（ ）
β2 β 2
25 25 17 33
A． B．- C．- D．
4 4 4 4【变式5-2】（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）
（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
x
【变式5-3】（2022春•杭州期中）若xy+x≠1，且5x2+300x+9＝0，9y2+318y+314＝0，则 的值是
y+1
．
【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】
【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q为常
数）有两个相等的实数根，则下列结论：
①1和一1都是方程x2+qx+p＝0的根
②0可能是方程x2+qx+p＝0的根
③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根
④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【变式6-1】（2022春•余杭区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，且ac≠0，
a≠c．下列说法正确的是（ ）
A．若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0没有实数根
B．若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同
C．若5是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则5也是方程cx2+bx+a＝0的一个根
D．若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，则这个根必是x＝1
【变式6-2】（2022春•仓山区校级期末）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a
＝0，其中ac≠0，a≠c．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
1
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
5
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x＝1
【变式6-3】（2022春•瑶海区校级期末）关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于
y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．（p﹣2）2+（q﹣2）2＜8C．q是正数，p是负数 D．（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8
【题型7 根与系数关系中的新定义问题】
【例7】（2022秋•武侯区校级期中）如果关于 x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x ，x ，且满
1 2
足数轴上x ，x 所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下
1 2
“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
3
④当两根满足x ＝3x ，关于x的方程px2﹣x+ =0是关于2的等距方程．
1 2
4
【变式7-1】（2021秋•金牛区期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、
k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方
程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，
且方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x 、x ，则b﹣2c＝ 4 ，ax +x x +ax 的最大值是 ．
1 2 1 1 2 2
【变式7-2】（2021秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，
且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是 ．
（直接写出结果）
【变式7-3】（2022春•宜秀区校级月考）x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满
1 2
足|x ﹣x |＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
1 2
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2√3x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
【例8】（2021秋•锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；
【变式8-1】（2022春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x ，x 满足x •x ＞1，且n＝1，求m的取值范围．
1 2 1 2
【变式8-2】（2022秋•新都区校级月考）实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝
0
（1）有两个负根？
（2）两根异号，且负根绝对值较大？
（3）一根大于5，一根小于5？
【变式8-3】（2022春•越秀区校级月考）设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为 、 ．
（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根； α β
（2）当| |+| |≤6时，试确定实数m的取值范围．
α β
