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专题 21.6 实际问题与一元二次方程
1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤，能够熟练的从各种实际问题中抽象
教学目标
出方程并解决问题。
1. 重点
（1）利用一元二次方程解决实际问题的基本步骤；
（2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式；
教学重难点 2. 难点
（1）从数学文化中抽象出一元二次方程。
（2）一元二次方程解决实际问题中的销售利润问题（每每问题）；
（3）一元二次方程解决实际问题中的几何图形问题。知识点01 列一元二次方程解决实际问题的步骤
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程．
④解：准确求出方程的解．
⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
⑥答：写出答案。
知识点02 一元二次方程与传播问题
1. 一元二次方程与传播问题：
计算公式： 原病例数（ 1 ＋传播数） 2 = 总病例数 。
【即学即练1】
1．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个
好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过
两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．（n+1）2＝1641 B．（n﹣1）2＝1641
C．n（n+1）＝1641 D．1+n+n2＝1641
【答案】D
【解答】解：第一轮传播人数为：1+n，第二轮又增加n2，
由题意，得：1+n+n2＝1641；
故选：D．
【即学即练2】
2．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、
食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、
腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有 81人被传染，请问每轮传染中平均一个
人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则一轮传染后共有x+1人被传染，两轮传染后共有x+1+x（x+1）人被传染，
∴x+1+x（x+1）＝81，
整理得，x2+2x﹣80＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣10（舍去），
1 2
∴每轮传染中平均一个人传染了8个人，
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．知识点03 一元二次方程与数字问题
1. 一元二次方程与数字问题：
数字问题：若一个两位数，个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 1 0 b + a 。若是一个
三位数，则百位乘 10 0 ，十位乘 1 0 ，把他们 相加 再加上 个位 数字就是该数。
【即学即练1】
3．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题：
周瑜寿属
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十比个位正小三，个位六倍与寿符．
哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上
的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字
为x，下列方程正确的是（ ）
A．（x﹣3）+x＝6x B．10（x﹣3）+x＝6x
C．x（x+3）＝6x D．（x﹣3）+10x＝6x
【答案】B
【解答】解：设这个两位数个位上的数字为x，
则这个两位数十位上的数字为（x﹣3），
由题意可列方程：10（x﹣3）+x＝6x．
故选：B．
【即学即练2】
4．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
【答案】这个两位数为92或29．
【解答】解：设个位数字为 x，则十位数字为 （11﹣x），
x2+（11﹣x）2＝85，
解得：x ＝2，x ＝9．
1 2
当 x＝2时，两位数为92，
当x＝9 时，两位数为29．
答：两位数为92或29．
知识点04 一元二次方程与单（双）循环问题
1. 一元二次方程与单（双）循环问题：
n(n−1)
计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）： =总数 。
2
双循环（两两之间比赛（握手）两次）： n （ n - 1 ） = 总数 。【即学即练1】
5．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育
活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一
场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
1 1
C． x(x+1)=28 D． x(x−1)=28
2 2
【答案】D
1
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝28．
2
故选：D．
【即学即练2】
6．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），
彰显了大连在中国足球历史上的重要地位.2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间
都进行两场比赛），共要比赛240场．求本次联赛共有多少支球队．
【答案】本次联赛共有16支球队．
【解答】解：设本次联赛共有x支球队，
根据题意得：x（x﹣1）＝240，
整理得：x2﹣x﹣240＝0，
解得：x ＝16，x ＝﹣15（不符合题意，舍去），
1 2
答：本次联赛共有16支球队．
知识点05 一元二次方程与平均增长率
1. 一元二次方程与平均增长率：
若起始量为a，终止量为b，n为增长或降低次数，若平均增长率（或下降率）为x
计算公式：平均增长类型： a(1+x) n=b 。
平均下降类型： a(1−x) n=b 。
【即学即练1】
7．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长
率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．560（1+x）2＝1860
B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860
C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860
D．560+560（1+2x）2＝1860
【答案】C【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，
又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，
∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860．
故选：C．
【即学即练2】
8．某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面
改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款6.25亿
元人民币，则每年拨款的增长率为多少？
【答案】25%．
【解答】解：设每年拨款的增长率为x，
依题意得，4（1+x）2＝6.25，
整理得，4x2+8x﹣2.25＝0，
解得：x ＝0.25，x ＝﹣2.25（不合题意舍去），
1 2
答：每年拨款的增长率为25%．
知识点06 一元二次方程与销售利润问题
1. 一元二次方程与销售利润问题：
计算公式：总利润＝ 单利润 × 数量
现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
现数量＝ 原数量－ ×变化数量（原数量＋ × 变化数量 ）
涨价基础 降价基础
【即学即练1】
9．山西剪纸是一项古老的民间艺术，有极高的审美价值．某经销商销售“广灵剪纸”“浮山剪纸”“晋
城剪纸”“中阳剪纸”等礼盒，进价均为每盒50元，售价为每盒70元，平均每天可售出100盒，经市
场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，则每
盒剪纸礼盒应降价多少元？设每盒剪纸礼盒应降价x元，根据题意可列方程为（ ）
x
A．(70+x−50)(100+ ×20)=2240
2
x
B．(70−x−50)(100+ ×20)=2240
2
x
C．(70−x−50)(100− ×20)=2240
2
x
D．(70+x−50)(100− ×20)=2240
2
【答案】Bx
【解答】解：根据题意可列方程为（70﹣x﹣50）（100+ ×20）＝2240，
2
故选：B．
【即学即练2】
10．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年
增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人．
（1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率．
（2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着
市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销
的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组
获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：20（1+x）2＝33.8，
解得：x ＝0.3＝30%，x ＝﹣2.3（不符合题意，舍去），
1 2
答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为30%；
（2）设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为（150+10m）组，
由题意得：（50﹣m﹣30）（150+10m）＝3060，
整理得：m2﹣5m+6＝0，
解得：m ＝2（不符合题意，舍去），m ＝3，
1 2
答：该哑铃组每组应降价3元．
知识点07 一元二次方程与几何图形
1. 一元二次方程与几何图形：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。
【即学即练1】
11．如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分未种花
草，使绿化面积为126平方米，设路宽为x米，则可列方程（ ）
A．（15﹣x）（10﹣x）＝126 B．15（10﹣x）＝126
C．10（15﹣x）＝126 D．15×10﹣10x﹣15x＝126
【答案】A【解答】解：由题意可得，
（15﹣x）（10﹣x）＝126，
故选：A．
【即学即练2】
12．数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm，宽为40cm的长方形纸板，如图，在其四
角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来
得长方体礼品盒．
（1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；
（2）当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm2，求剪去的小正方形的边长．
【答案】（1）4032cm3；
（2）5cm．
1
【解答】解：（1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长是 (60−2x)=30−x，宽为x，
2
由题意得30﹣x＝4x，
解得x＝6，
∴长为24，宽为6，高为40﹣2×6＝28，
∴体积为：24×6×28＝4032（cm3）；
（2）设小正方形的边长为m，根据题意可得一元二次方程为：
（30﹣m）（40﹣2m）＝750，
整理得m2﹣50m+225＝0，
解得m＝5或m＝45（舍），
∴剪去的小正方形的边长为5cm．
题型01 由实际问题抽象一元二次方程
【典例1】一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72x(x−1)
C．（x﹣1）2＝72 D． =72
2
【答案】B
【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝72．
故选：B．
【变式1】某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的 1个主干上长出x个支干，每个
支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是 36个，则下列方程中正确
的是（ ）
A．x2＝36 B．（1+x）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36
【答案】C
【解答】解：依题意得：1+x+x2＝36．
故选：C．
【变式2】根据乘联会（简称CPCA）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．2025年1
月新能源汽车国内月销量达到74.4万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到241.8万辆．若设
2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x，依题意，可列出方程为（ ）
A．74.4+74.4（1+x）+74.4（1+x）2＝241.8
B．74.4（1+3x）＝241.8
C．74.4（1+x）2＝241.8
D．74.4×3（1+x）＝241.8
【答案】A
【解答】解：∵2025年1月新能源汽车国内月销量达到74.4万辆，且设2025年1月至3月新能源汽车
销量的月平均增长率为x，
∴2025年2月新能源车国内月销量达到74.4（1+x）万辆，2025年3月新能源车国内月销量达到74.4
（1+x）2万辆．
根据题意得：74.4+74.4（1+x）+74.4（1+x）2＝241.8．
故选：A．
【变式3】读诗词，列方程：大江东去，浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十
位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字
比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，
则列出的方程正确的是（ ）
A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2
C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
【答案】B
【解答】解：∵周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，且十位数字比个位数字小3，
∴周瑜逝世时的年龄的十位数字为（x﹣3）．根据题意得：10（x﹣3）+x＝x2．
故选：B．
【变式4】某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能
售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利
润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（ ）
A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220
B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220
C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220
D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220
【答案】A
【解答】解：根据题意得，（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220，
故选：A．
【变式5】傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿
样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生
活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长60cm，宽40cm的傣族剪纸的四周镶一条金色纸
边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的
金色纸边宽度相同），则下列方程正确的是（ ）
A．（60+x）（40+2x）＝2816
B．（60+2x）（40+2x）＝2816
C．（60+2x）（40+x）＝2816
D．（60+x）（40+x）＝2816
【答案】B
【解答】解：∵在一幅长60cm，宽40cm的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，金色
纸边的宽度为x cm，
∴矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm．
根据题意得：（60+2x）（40+2x）＝2816．
故选：B．题型02 一元二次方程的实际应用
【典例1】九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的 n名班委，班委接到通知后，又分别通
知了班级的其他n名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求n的值．
【答案】6．
【解答】解：由题意可得，
1+n+n•n＝43，
解得n ＝6，n ＝﹣7（不符合题意，舍去），
1 2
即n的值是6．
【变式1】随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施投入，尽快形成合肥都市圈“1小
时通勤圈”和“1小时生活圈”．在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资
金2000万元，2021年投入的资金为2420万元，设这两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求出这两年间的年平均增长率．
（2）若对该道路投入资金的年平均增长率不变，预计完成这条道路改造工程的总投入．
【答案】（1）这两年间的年平均增长率为10%；
（2）完成这条道路改造工程的总投入为9282万元．
【解答】解：（1）设这两年间的年平均增长率为x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2420，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（舍去）．
1 2
答：这两年间的年平均增长率为10%；
（2）根据题意，2020年投入资金为2000×（1+10%）＝2200（万元），
预计到2022年投入资金为2420×（1+10%）＝2662（万元），
所以完成这条道路改造工程的总投入为2000+2200+2420+2662＝9282（万元）．
【变式2】某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～
60元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售
价为x（元），月销售量为y（个）．
（1）求出在售价为40～60元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
（3）商场能否实现平均每月15000元的销售利润？
【答案】见试题解答内容
【解答】解（1）设台灯售价为x元，月销售量为y个，
∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，
∴这种台灯的售价每上涨（x﹣40）元，其销售量就将减少10（x﹣40）＝0（个），
列方程得，y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000；
（2）依题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，
整理得：x2﹣130x+4000＝0．解得x ＝50，x ＝80（不合题意，舍去）．
1 2
答：这种台灯的售价应定为50元；
（3）依题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1000）＝15000，
整理得：x2﹣130x+4500＝0．
∵Δ＝1302﹣4×4500＜0，
∴方程无解．
∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润，
答：商场不能实现平均每月15000元的销售利润．
【变式3】八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛 1场），以下是小锦和小
江对比赛总场数的统计：
（1）若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？
（2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
（3）赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为 4
．
【答案】4．
6×(6−1)
【解答】解：（1）由题意，得6个人需比赛的局数为 =15（场），
2
答：若参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛；
（2）小江说的有道理，
理由如下：设有x人报名参赛，
x(x−1)
由题意得 =40，
2
1±❑√321
整理得 x2﹣x﹣80＝0，解得x= ，不为整数．
2
∴方程的解不符合实际，小江说的有道理；
(x−1)(x−2)
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得， +n=40，
2
整理得x2﹣3x+2n﹣78＝0，3±❑√321−8n
解得x= ，
2
当n＝4时，x＝10（符合题意）或x＝﹣7（不符合题意），
∴共有10名参赛者报名本次比赛．
故n的值为4．
故答案为：4．
【典例4】某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长 60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条
丝绸花边．
（1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天
除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售
出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元；
（3）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设条带的宽度为x cm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x ＝5，x ＝65（舍去）．
1 2
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝10000．
解得：y ＝0，y ＝50．
1 2
答：当单价降低50元时能达到利润10000元．
（3）设利润为W，每件工艺品降价y元出售，
则：W＝（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝﹣20y2+1000y+10000＝﹣20（y﹣25）2+22500
∵﹣20＜0，
∴当y＝25，即：降价25元，定价为75元时，利润最大为22500．
1．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均
下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
【答案】B
【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
2．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符
合题意的是（ ）
1
A． x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90
2
1
C． x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
2
【答案】D
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D．
3．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲
型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
【答案】C
【解答】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，
3（x+1）2＝192，
整理得，3x2+6x﹣189＝0，
解得x ＝7，x ＝﹣9（不合题意，舍去），
1 2
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
4．如图，长为20m、宽为15m的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种
植面积为252m2，若设小道的宽为x m，则根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+20×15﹣2x＝252
B．20×15﹣20x﹣2×15x＝252C．（20﹣x）（15﹣2x）＝252
D．（20﹣2x）（15﹣x）＝252
【答案】D
【解答】解：可列方程为（20﹣2x）（15﹣x）＝252，
故选：D．
5．嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝
英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时
年龄的个位数字是x，则下列说法正确的是（ ）
A．列方程为x2＝10（x+3）+x
B．列方程为x2﹣10x+30＝0
C．列方程为x2＝10（x﹣3）+x
D．周瑜去世时25岁
【答案】C
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的个位数字是x，则十位数字为x﹣3，
由题意可得：x2＝10（x﹣3）+x，化简可得：x2﹣11x+30＝0，
解得x ＝5，x ＝6，
1 2
则周瑜去世时年龄为25或36岁，
即C选项正确，A、B、D选项错误，不符合题意，
故选：C．
6．“立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以
来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月
增长率相同，设为x，依题意可列方程（ ）
A．180（1+x）2＝1260
B．180（1+x）+180（1+x）2＝1260
C．180+180x+180x2＝1260
D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝1260
【答案】D
【解答】解：由题意可得，
180+180（1+x）+180（1+x）2＝1260，
故选：D．
7．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问
户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿
比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线
长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝2x2 B．（x﹣2）2+42＝x2
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 D．（x﹣4）2+x2＝（x﹣2）2【答案】C
【解答】解：根据勾股定理可得：
（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，
故选：C．
8．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增
加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出4件，
若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价 x元，由题意可列方程（
）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400
B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
【答案】B
【解答】解：设每件商品降价x元，
由题意可得：（60﹣20﹣x）（20+4x）＝1400，
即（40﹣x）（20+4x）＝1400，
故选：B．
9．如图，小军的爸爸用一段15m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6m）的矩形鸭舍，其面积为24m2，
在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（ ）
A．4m或12m B．4m C．2m或6m D．2m
【答案】B
1
【解答】解：设BC长为x m，则AB的长为 （15+1﹣x）m，
2
1
根据题意得： （15+1﹣x）x＝24，
2
解得：x ＝4，x ＝12（不符合题意，舍去），
1 2
即BC长为4m，
故选：B．
a
10．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图1，以 和b
2
a
为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD= ，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二
2
次方程 x2+4mx＝36，按照图 1 的图解法构造图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，连结 CD，若S 5
△BCD = ，则m的值为（ ）
S 8
△ACD
A．1.25 B．2.5 C．5 D．8
【答案】A
【解答】解：根据题意得：BC＝BD＝2m，
S 5
∵ △BCD = ，
S 8
△ACD
16
∴AD= m，
5
∵AC＝6，AB2＝BC2+AC2，
16
∴（2m+ m）2＝（2m）2+62，
5
576
∴ m2＝36，
25
解得：m ＝1.25，m ＝﹣1.25（不符合题意，舍去），
1 2
∴m的值为1.25．
故选：A．
11．某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，若设共有x
x(x−1)
支队伍参加比赛，则可列方程为 = 36 ．
2
x(x−1)
【答案】 =36．
2
x(x−1)
【解答】解：依题意得： =36，
2
x(x−1)
故答案为： =36．
2
12．如图，在Rt△ABC中，AC＝40cm，CB＝32cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s
的速度移动，同时另一个点 Q从点C开始沿CB向点B以3cm/s的速度移动，当△PCQ的面积等于
300cm2时，经过的时间是 1 0 s ．【答案】10s．
【解答】解：设经过t秒时，
点P的速度是2cm/s，移动时间为t秒，AC＝40cm，则PC＝（40﹣2t）cm；
点Q的速度是3cm/s，移动时间为t秒，则CQ＝3tcm．
∵∠C＝90°，
1
∴△PCQ的面积S= PC⋅CQ．
2
1
∴ (40−2t)⋅3t=300，
2
整理为t2﹣20t+100＝0，
解得t ＝t ＝10．
1 2
所以经过的时间是10s．
故答案为：10s．
13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群
人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此
类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均
分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 1 9 人？”
【答案】19．
x(1+x)
【解答】解：设这群人共有x人，则共摘了 个石榴，
2
x(1+x)
根据题意得： =10x，
2
整理得：x2﹣19x＝0，
解得：x ＝0（不符合题意，舍去），x ＝19，
1 2
∴这群人共有19人．
故答案为：19．
14．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每
天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的
销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 1 5 元．
【答案】15．
x
【解答】解：设每个口风琴的降价x元，则每个口风琴的定价应该是（20﹣x）元，销量为（8+ ×
0.54）个，
x
由题意得：（8﹣x）（8+ ×4）＝144，
0.5
整理得：x2﹣7x+10＝0，
解得：x ＝5，x ＝2（不符合题意，舍去），
1 2
∴20﹣x＝15，
即每个口风琴的定价应该是15元，
故答案为：15．
15．《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，
如图1．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图2所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小
桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为7.2m2，则这些桌面的宽度为 0. 6 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这些桌面的宽度为x m，
则由图2可得，小桌的长为2x m，中桌的长为3x m，长桌的长为4x m，
∴根据题意列方程得，2x2×3+3x2×2+4x2×2＝7.2，
整理得，20x2＝7.2，
解得x＝0.6或﹣0.6，
∵x＞0，
∴x＝﹣0.6舍去，即x＝0.6，
即这些桌面的宽度为0.6m．
故答案为：0.6．
16．6月是吃小龙虾的月份，长沙市马王堆批发市场某批发商原计划以每千克 36元的单价对外批发销售小
龙虾．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某夜宵摊准备到该批发商处购买50千克小龙虾做成油爆虾和香辣虾两种产品进行销售，每份产品
标准是1千克，油爆虾每份盈利12元，香辣虾每份盈利22元，请问该摊主至少卖多少份香辣虾才能盈
利超过800元？
【答案】（1）平均每次下调的百分率约为16.7%；
（2）该摊主至少卖20份香辣虾才能盈利超过800元．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得：36（1﹣x）2＝25，1 11
解得：x = ≈16.7，x = （不符合题意，舍去），
1 6 2 6
答：平均每次下调的百分率约为16.7%；
（2）设该摊主卖m份香辣虾，则卖（50﹣m）份油爆虾，
根据题意得：22m+12（50﹣m）≥800，
解得：m≥20，
答：该摊主至少卖20份香辣虾才能盈利超过800元．
17．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长方形
花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的
面积恰好为40m2．
（1）求此时花圃AB边的长；
（2）花圃的面积能达到50m2吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）花圃AB边的长为4米；
（2）花圃的面积不能达到50m2，理由见解析．
【解答】解：（1）设花圃AB边的长为x，则花圃的边BC的长为（22﹣3x）米，
∵墙的最大可用长度为11m，
∴根据题意列一元一次不等式得，22﹣3x≤11，
整理得，3x≥11，
11
解得：x≥ ，
3
由题意可列方程得：x（22﹣3x）＝40，
整理得：3x2﹣22x+40＝0，
10 11
解得：x＝4或 ＜ （舍弃）．
3 3
答：花圃AB边的长为4米；
（2）花圃的面积不能达到50m2，理由如下：
令x（22﹣3x）＝50，
整理得：3x2﹣22x+50＝0，
因为Δ＝（﹣22）2﹣4×3×40＝﹣116＜0，
所以方程3x2﹣22x+50＝0无解，即花圃的面积不能达到50m2．
18．活动背景：制作无盖方形纸盒．
现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是2：1．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围成一个无盖的方形纸盒（如图③）．
任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是10cm、容积12000cm3的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽
分别是多少？
任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是
896cm2的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由．
【答案】任务1：原硬纸板的长是80cm，宽是40cm；
任务2：剪裁的小正方形的边长为12cm时，小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒．
【解答】解：任务1：设原硬纸板的宽是x cm，则长是2x cm，
根据题意得：10（2x﹣20）（x﹣20）＝12000，
整理得：x2﹣30x﹣400＝0，
解得：x ＝40，x ＝﹣10（不符合题意，舍去），
1 2
∴2x＝80，
答：原硬纸板的长是80cm，宽是40cm；
任务2：小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒，理由如下：
设剪裁的小正方形的边长为y cm，
根据题意得：（80﹣2y）（40﹣2y）＝896，
整理得：y2﹣60y+576＝0，
解得：y ＝12，x ＝48（不符合题意，舍去），
1 2
答：剪裁的小正方形的边长为12cm时，小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒．
19．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某电动车用品批发店准备分两次购入 A、B两款
头盔．第一次购进了A、B两款头盔共500个，A款头盔进价10元，售价20元；B款头盔进价16元，
售价20元．
（1）第一次购进头盔的金额不得超过6320元，则至少购进多少个A款头盔？
（2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变．A款头盔进货量在
（1）的最少进货量的基础上增加了8m个，售价比第一次提高了2m元；B款头盔售价和第一次相同，
进货量为300个，但是在运输过程中有5%已经损坏，无法销售．结果第二批头盔的销售利润为5044元，
求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设第一次购进A款头盔x个，则购进B款头盔（500﹣x）个，
根据题意，得：10x+16（500﹣x）≤6320，
整理得，6x≥1680，解得x≥280，
答：A款头盔至少购进280个；
（2）根据题意，可得（280+8m）（20+2m﹣10）+（300×95%×20﹣300×16）＝5044，
整理得：m2+40m﹣84＝0，
解得m＝2或﹣42，
因为m＝﹣42不合题意，舍去，
所以m的值为2．
20．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
（1）第二、三天该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到 605
件，求第二、三天的日平均增长率；
（2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，
若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【答案】（1）10%；
（2）①每件应张价5元；②每件涨价应为8元．
【解答】解：（1）设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得，
500（1+x）2＝605，
解得：x ＝10%，x ＝﹣210%（不符合题意，舍去），
1 2
∴x＝10%，
答：第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）①设每件应张价y元，根据题意，得，
（10+y）（500﹣20y）＝6000，
整理得，20y2﹣480y﹣5000＝0，
解得y ＝10，y ＝5，
1 2
∵要使顾客得到实惠，
∴y＝10不符合题意，舍去，
∴y＝5，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得，
（10+z）（500﹣20z）（1﹣10%）﹣0.9（500﹣20z）﹣102＝5100，
解得z ＝z ＝8，
1 2
∴z＝8，
答：每件涨价应为8元．
