文档内容
专题 21.4 因式分解法
1. 掌握因式分解法解一元二次方程。
2. 掌握整体法（换元法）解方程，并能够利用整体法（换元法）求相关式子的值。
教学目标
3. 掌握解一元二次方程的所有方法，能够根据不同的一元二次方程选择不同的方法熟
练的进行求解。
1. 重点
（1）因式分解法解一元二次方程；
（2）整体法（换元法）解方程或求值；
教学重难点
2. 难点
（1）因式分解法中利用十字相乘法解一元二次方程；
（2）整体法解方程与整体法的应用求值。知识点01 因式分解法解一元二次方程
1. 因式分解法解一元二次方程的定义：
解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等
于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若 ，则A＝ 0 或B＝ 0 。
2. 因式分解的方法：
①提公因式法：
m（a+b+c）
；
(a+b)(a−b)
②公式法：平方差公式： ；
(a±b) 2
完全平方公式： ；
(x+m)(x+n)
③十字相乘法：分解 ，若 且 ，则 。
3. 因式分解法解一元二次方程的步骤：
①移项：将方程的右边化为0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
【即学即练1】
1．分解因式：6a2+3ab＝ 3 a （ 2 a + b ） ．
【答案】3a（2a+b）．
【解答】解：6a2+3ab＝3a（2a+b），
故答案为：3a（2a+b）．
2．因式分解：x2﹣1＝ （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【答案】（x+1）（x﹣1）．
【解答】解：根据平方差公式分解因式得：
x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
3．分解因式：a2﹣4ab+4b2＝ （ a ﹣ 2 b ） 2 ．
【答案】（a﹣2b）2．
【解答】解：原式＝a2﹣2×a×2b+（2b）2＝（a﹣2b）2，
故答案为：（a﹣2b）2．
4．因式分解：x2﹣2x﹣35＝ （ x ﹣ 7 ）（ x + 5 ） ．
【答案】（x﹣7）（x+5）．【解答】解：x2﹣2x﹣35＝（x﹣7）（x+5）．
故答案为：（x﹣7）（x+5）．
【即学即练2】
5．用因式分解法解下列方程：
（1）4x2﹣144x＝0 （2）2（5x﹣1）2＝3（1﹣5x）
（3）2x+6＝（3+x）2 （4）（x﹣2）2﹣2x+4＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）4x（x﹣36）＝0，
所以x ＝0，x ＝36．
1 2
（2）移项得2（5x﹣1）2﹣3（1﹣5x）＝0，
提公因式得（1﹣5x）[2（1﹣5x）﹣3]＝0．
所以1﹣5x＝0，2﹣10x﹣3＝0．
1 1
则x = ，x =− ．
1 5 2 10
（3）2（x+3）﹣（3+x）2＝0，
提公因式得（x+3）（2﹣3﹣x）＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2
（4）（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0．
提公因式得（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
所以x ＝2，x ＝4．
1 2
知识点02 整体法（换元法）解方程
1. 整体法（换元法）解方程：
在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，
起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
例题讲解：【例】解方程 ．
解：设 ，则原方程可化为 ．
解得 ．
当y=1时，即x-1=1，解得x=2；
当y=4时，即x-1=4，解得x=5．
所以原方程的解为x =2，x =5．
1 2
【即学即练1】
6．阅读材料，解答问题．
材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2．
原方程化为y2﹣3y＝0，①
解得y ＝0，y ＝3．
1 2
当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1；
当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2．
所以原方程的解为x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
解答问题：
（1）填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降幂的目的，体现了 转化 的数学思想；
（2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．
【答案】（1）换元，转化；
（2）x ＝1，x ＝﹣1，
1 2
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降幂的目的，体现了转化的数
学思想，
故答案为：换元，转化；
（2）（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0，
设x2+3＝a，则原方程化为：a2﹣4a＝0，
解得：a ＝0，a ＝4，
1 2
当a＝0时，x2+3＝0，此方程无解；
当a＝4时，x2+3＝4，解得：x＝±1，
所以原方程的解是x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
【即学即练2】
7．请先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为：
（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0．
解得t ＝﹣2，t ＝1．
1 2
所以x+y＝﹣2或x+y＝1．
问题：已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
【答案】5．
【解答】解：设t＝x2+y2＞0，
∴原方程变形为（t﹣4）（t+2）＝7，
去括号，移项得，t2﹣2t﹣15＝0，
∴t ＝5，t ＝﹣3（舍去）
1 2
∴x2+y2＝5．【即学即练3】
8．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别
为（ ）
A．x ＝﹣6，x ＝﹣2 B．x ＝0，x ＝﹣1
1 2 1 2
C．x ＝﹣9，x ＝﹣1 D．x ＝0，x ＝2
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：由题知，
将一元二次方程a（x+h）2+k＝0中的“x”用“2x﹣3”替换，
可得方程a（2x+h﹣3）2+k＝0．
因为一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，
所以2x﹣3＝﹣3或1，
解得x＝0或2，
即方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为x ＝0，x ＝2．
1 2
故选：D．
知识点03 用合适的方法解一元二次方程
1. 一元二次方程的解法比较：
解法 适用方程类型 方法重点
形如x2=p或(ax+b) 2=p（a，b，p均为常
直接开方法 开平方
数）的一元二次方程
适用于一切一元二次方程。多用于二次项系 配方：当二次项系数为1时，
配方法
数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 配一次项系数一半的平方
确定a，b，c的值带入求根公
公式法 适用于一切一元二次方程
式
适用于右边为0，方程左边能因式分解成两
因式分解法 因式分解
个一次式乘积的形式的一元二次方程。
【即学即练1】
9．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝（2x+3）2 （2）x2+4x﹣5＝0
（3）x2−2❑√2x+1=0 （4）4（2x+1）2﹣4（2x+1）+1＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝（2x+3）2，
开方得：x﹣1＝±（2x+3），
2
解得：x ＝﹣4，x =− ；
1 2 3（2）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0，x﹣1＝0，
x ＝﹣5，x ＝1；
1 2
（3）x2−2❑√2x+1=0，
b2﹣4ac＝（﹣2❑√2）2﹣4×1×1＝4，
2❑√2±❑√4
x= ，
2×1
x =❑√2+1，x =❑√2−1；
1 2
（4）4（2x+1）2﹣4（2x+1）+1＝0，
[2（2x+1）﹣1]2＝0，
2（2x+1）﹣1＝0，
1
x ＝x =− ．
1 2 4
题型01 用因式分解法解一元二次方程
【典例1】用因式分解法解下列方程：
（1）x2+x＝0； （2）4x2﹣121＝0；
（3）3x（2x+1）＝4x+2； （4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x（x+1）＝0，
x＝0或x+1＝0，
∴x ＝0，x ＝﹣1；
1 2
（2）（2x+11）（2x﹣11）＝0，
2x+11＝0或2x﹣11＝0，
11 11
∴x =− ，x = ；
1 2 2 2
（3）（2x+1）（3x﹣2）＝0，
2x+1＝0或3x﹣2＝0，
1 2
∴x =− ，x = ；
1 2 2 3
（4）（x﹣4+5﹣2x）（x﹣4﹣5+2x）＝0，（1﹣x）（3x﹣9）＝0，
1﹣x＝0或3x﹣9＝0，
∴x ＝1，x ＝3．
1 2
【变式1】用因式分解法解下列方程：
（1）x2+16x＝0； （2）5x2﹣10x＝﹣5；
（3）x（x﹣3）+x﹣3＝0； （4）2（x﹣3）2＝9﹣x2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原方程可变形为：
x（x+16）＝0，
x＝0或x+16＝0．
∴x ＝0，x ＝﹣16．
1 2
（2）原方程可变形为
x2﹣2x+1＝0，
（x﹣1）2＝0．
∴x ＝x ＝1．
1 2
（3）原方程可变形为
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
（4）原方程可变形为
2（x﹣3）2+x2﹣9＝0，
（x﹣3）（2x﹣6+x+3）＝0，
即（x﹣3）（3x﹣3）＝0．
x﹣3＝0或3x﹣3＝0．
∴x ＝3，x ＝1．
1 2
【变式2】用因式分解法解下列方程：
（1）（x+2）2＝3x+6； （2）（3x+2）2﹣4x2＝0；
（3）5（2x﹣1）＝（1﹣2x）（x+3）； （4）2（x﹣3）2+（3x﹣x2）＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原方程可变形为
（x+2）（x+2﹣3）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0．
x+2＝0或x﹣1＝0．
∴x ＝﹣2，x ＝1．
1 2
（2）原方程可变形为（3x+2﹣2x）（3x+2+2x）＝0，
即（x+2）（5x+2）＝0．
x+2＝0或5x+2＝0．
2
∴x ＝﹣2，x =− ．
1 2 5
（3）原方程可变形为
（2x﹣1）（5+x+3）＝0，
即（2x﹣1）（x+8）＝0
2x﹣1＝0或x+5＝0
1
∴x = ，x ＝﹣8．
1 2 2
（4）原方程可变形为
2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x）＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0．
x﹣3＝0或x﹣6＝0．
∴x ＝3，x ＝6．
1 2
题型02 用合适的方法解一元二次方程
【典例1】选用合适的方法解下列方程：
（1）（x+4）2＝5（x+4）； （2）（x+1）2＝4x；
（3）（x+3）2＝（1﹣2x）2； （4）2x2﹣10x＝3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（x+4）2＝5（x+4）；
（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴x+4＝0，x﹣1＝0，
∴x ＝﹣4，x ＝1；
1 2
（2）（x+1）2＝4x，
整理得，x2﹣2x+1＝0，
（x﹣1）2＝0，
∴x ＝x ＝1；
1 2
（3）（x+3）2＝（1﹣2x）2，
x+3＝±（1﹣2x），
∴x+3＝1﹣2x，x+3＝﹣1+2x，2
∴x =− ，x ＝4；
1 3 2
（4）2x2﹣10x＝3，
2x2﹣10x﹣3＝0，
a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，b2﹣4ac＝100+24＝124＞0，
−b±❑√b2−4ac 10±❑√124 5±❑√31
∴x= = = ，
2a 2×2 2
5+❑√31 5−❑√31
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
【变式1】选择合适的方法解一元二次方程：
（1）4（x﹣5）2＝16； （2）3x2+2x﹣3＝0；
（3）x2+(❑√2+❑√3)x+❑√6=0； （4）（x+3）（x﹣1）＝5．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）2（x﹣5）＝±4，
即有2（x﹣5）＝4或2（x﹣5）＝﹣4，
∴x ＝7，x ＝3．
1 2
（2）a＝3，b＝2，c＝﹣3，则△＝22﹣4•3•（﹣3）＝40，
−2±❑√40 −1±❑√10
∴x= = ，
2×3 3
−1+❑√10 −1−❑√10
∴x = ，x = ．
1 3 2 3
（3）（x+❑√2）（x+❑√3）＝0，
∴x+❑√2=0或x+❑√3=0，
∴x =−❑√2，x =−❑√3．
1 2
（4）去括号移项整理得，x2+2x﹣8＝0，
∴（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0或x﹣2＝0，
∴x ＝﹣4，x ＝2．
1 2
题型03 用整体法（换元法）解方程
【典例1】阅读材料，解答问题：
解方程：x4﹣6x2+5＝0；
解：设x2＝y，则原方程可化为y2﹣6y+5＝0．
解得y ＝5，y ＝1．
1 2
当y＝5时，x2＝5，∴x=±❑√5；当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；∴原方程有四个解：x =❑√5，x =−❑√5，x ＝1，x ＝﹣1．
1 2 3 4
以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程，（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0．
【答案】x ＝3，x ＝﹣1，x ＝x ＝1．
1 2 3 4
【解答】解：设y＝x2﹣2x，则y2﹣2y﹣3＝0，
∴y ＝3，y ＝﹣1，
1 2
∴x2﹣2x＝3或x2﹣2x＝﹣1，
x2﹣2x﹣3＝0，解得x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
x2﹣2x+1＝0，解得x ＝x ＝1．
3 4
∴x ＝3，x ＝﹣1或x ＝x ＝1．
1 2 3 4
【变式1】阅读下列材料：
为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为
y2﹣y﹣6＝0①，解①得y ＝﹣2，y ＝3．当y ＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y ＝3时，x2＝3，
1 2 1 2
解得x=±❑√3，∴原方程的解为x =❑√3， x =−❑√3．
1 2
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复
杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．
【答案】x =1+❑√3， x =1−❑√3， x =3， x =−1．
1 2 3 4
【解答】解：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0，
（x2﹣2x）2﹣5（x2﹣2x）+6＝0，
设y＝x2﹣2x，则（x2﹣2x）2＝y2，
原方程化为y2﹣5y+6＝0，
解得y ＝2，y ＝3．
1 2
当y ＝2时，x2﹣2x＝2，解得x=1±❑√3；
1
当y ＝3时，x2﹣2x＝3，解得x＝3，﹣1．
2
原方程的解为x =1+❑√3， x =1−❑√3， x =3， x =−1．
1 2 3 4
【变式2】阅读材料：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将（x2﹣1）视为一个整体；然后设x2﹣1＝y，则（x2
﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．①
解得y ＝4，y ＝1．
1 2
当y ＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x=±❑√5，
1
当y ＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x=±❑√2．
2
∴原方程的解为x =❑√2，x =−❑√2，x =❑√5，x =−❑√5．
1 2 3 4
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：
（1）x4﹣x2﹣6＝0；
（2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0．
【答案】（1）x =❑√3，x =−❑√3；（2）x =1+❑√7，x =1−❑√7，x ＝x ＝1．
1 2 1 2 3 4
【解答】解：（1）设y＝x2，原方程可化为：y2﹣y﹣6＝0，
解得：y ＝3，y ＝﹣2，
1 2
当y＝3时，x2＝3，
x =❑√3，x =−❑√3，
1 2
当y＝﹣2时，x2＝﹣2，此方程无实数根，
∴原方程的解是：x =❑√3，x =−❑√3；
1 2
（2）设y＝x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣5y﹣6＝0，
y ＝6，y ＝﹣1，
1 2
当y＝6时，x2﹣2x＝6，
x =1+❑√7，x =1−❑√7，
1 2
当y＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，
x ＝x ＝1，
3 4
∴原方程的解为：x =1+❑√7，x =1−❑√7，x ＝x ＝1．
1 2 3 4
【变式3】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程
可化为y2﹣5y+4＝0，解得y ＝1，y ＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝
1 2
4，解得x＝5，所以原方程的解为x ＝2，x ＝5；解方程（x2+2x）2﹣18（x2+2x）+45＝0时，我们可以
1 2
将x2+2x看成一个整体，设x2+2x＝y，则原方程可化为
y2﹣18y+45＝0，解得y ＝15，y ＝3，当y＝15时，即x2+2x＝15，解得x ＝3，x ＝5；当y＝3时，即
1 2 1 2
x2+2x＝3，解得x ＝1，x ＝﹣3；所以原方程的解为x ＝3，x ＝﹣5，x ＝1，x ＝﹣3；以上解法称为换
3 4 1 2 3 4
元法．
请利用这种方法解方程：
（1）（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0；
（2）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15＝0．
【答案】（1）x ＝2，x ＝5；
1 2
（2）x ＝﹣1，x ＝5，x ＝1，x ＝3．
1 2 3 4
【解答】解：（1）设x+5＝y，则y2﹣4y+3＝0，
解得：y ＝1，y ＝3；
1 2
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝3时，即x﹣1＝3，解得x＝4，
∴x ＝2，x ＝5；
1 2（2）设x2﹣4x＝y，则y2﹣2y﹣15＝0，
解得：y ＝5，y ＝﹣3；
1 2
当y＝5时，即x2﹣4x＝5，解得x ＝﹣1，x ＝5；
1 2
当y＝﹣3时，即x2﹣4x＝﹣3，解得x ＝1，x ＝3；
3 4
∴x ＝﹣1，x ＝5，x ＝1，x ＝3．
1 2 3 4
题型04 利用整体法（换元法）求式子的值
【典例1】若有理数a、b满足（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【答案】A
【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝（a2+b2）2﹣12＝15，
∴（a2+b2）2＝16，
∵a2≥0，b2≥0，
∴a2+b2＝4．
故选：A．
【变式1】已知实数m、n满足（m2+2n2﹣2）（m2+2n2+3）＝6，则m2+2n2的值为（ ）
A．﹣4 B．3 C．4 D．3或﹣4
【答案】B
【解答】解：设k＝m2+2n2，
∴原方程变为：（k﹣2）（k+3）＝6．
∴k2+k﹣6＝6．
∴k2+k﹣12＝0．
∴k＝3或k＝﹣4．
∵m和n为实数，
∴m2+2n2≥0，故舍去k＝﹣4．
∴k＝3．
故选：B．
【变式2】已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【答案】A
【解答】解：设x＝a2+b2，
∴x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
解得，x＝﹣2（舍去）或x＝6，
∴原式＝6+1＝7，故选：A．
1 1 1
【变式3】如果实数x满足x2+ −2(x+ )−1=0，那么，x+
的值是 3 ．
x2 x x
【答案】3．
1 1
【解答】解：∵x2+ −2(x+ )−1=0，
x2 x
1 1
∴x2+ +2−2(x+ )−3=0，
x2 x
1 2 1
(x+ ) −2(x+ )−3=0，
x x
1
设x+ =m，则m2﹣2m﹣3＝0，
x
因式分解得：（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得：m＝3或m＝﹣1，
1
当m＝3时，则x+ =3，
x
整理得：x2﹣3x+1＝0，
−b±❑√b2−4ac 3±❑√9−4 3±❑√5
∴x= = = ，
2a 2 2
3+❑√5 3−❑√5
解得：x = ，x = ，
1 2 2 2
3+❑√5 3−❑√5 1
经检验，x = ，x = 都是方程x+ =3的解，
1 2 2 2 x
1
∴x+ 的值为3；
x
1
当m＝﹣1时，则x+ =−1，
x
整理得：x2+x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
1
∴x+ =−1时，方程无解．
x
1
综上所述，x+ 的值为3，
x
故答案为：3．
题型05 根据一个方程的解求另一个方程的解
【典例1】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【解答】解：一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b变形为一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，
∴对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0有x﹣1＝2025，
解得x＝2026，
即一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为2026．
故选：C．
【变式1】若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必
有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
【答案】A
【解答】解：关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0，
此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，
∵x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，
∴x+2＝2025是关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一个根，
∴x+2＝2025，
解得x＝2023，
∴关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为x＝2023．
故选：A．
【变式2】已知方程ax2+bx+c＝0的解是x ＝4，x ＝﹣5，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解 x ＝ 3 ，
1 2 1
x ＝﹣ 6 ．
2
【答案】x ＝3，x ＝﹣6．
1 2
【解答】解：设t＝x+1，则方程化为at2+bt+c＝0，
由条件可知方程为at2+bt+c＝0的解是t ＝4，t ＝﹣5，
1 2
当t＝4时，x+1＝4，解得x＝3；
当t＝﹣5时，x+1＝﹣5，解得x＝﹣6，
∴方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解是x ＝3，x ＝﹣6．
1 2
故答案为：x ＝3，x ＝﹣6．
1 2
【变式3】若关于x的方程x2+hx﹣k＝0（其中h、k均为常数）的解是x ＝2，x ＝﹣3，则关于y的方程
1 2
（﹣y+2）2+h（﹣y+2）﹣k＝0的解是 y ＝ 0 ， y ＝ 5 ．
1 2
【答案】y ＝0，y ＝5．
1 2
【解答】解：由题知，
因为关于x的方程x2+hx﹣k＝0（其中h、k均为常数）的解是x ＝2，x ＝﹣3，
1 2所以关于y的方程（﹣y+2）2+h（﹣y+2）﹣k＝0的解满足﹣y+2＝2或﹣3，
解得y ＝0，y ＝5．
1 2
故答案为：y ＝0，y ＝5．
1 2
题型06 解含绝对值的方程
【典例1】有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的
重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程x2﹣2|x|﹣3＝0．
解：①当x≥0时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1（与x≥0矛盾，舍去），x ＝3．
1 2
②当x＜0时，原方程为x2+2x﹣3＝0，
解得x ＝1（与x＜0矛盾，舍去），x ＝﹣3．
1 2
所以原方程的根是x ＝3，x ＝﹣3．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分
类讨论．
任务：请参照上述方法解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
【答案】x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
【解答】解：（1）当x≥0时，则x2﹣x﹣2＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣1（舍去）；
1 2
（2）当x＜0时，则x2+x﹣2＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝1（舍去）；
1 2
∴综上所述，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
【变式1】阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x ＝5，x ＝﹣2（舍去）；
1 2
②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x ＝﹣5，x ＝2（舍去）．
3 4
综上所述，原方程的解是x ＝5，x ＝﹣5．
1 2
请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0．
【答案】x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
【解答】解：x2﹣|x+1|﹣1＝0，
分两种情况：
①当x+1≥0时，即x≥﹣1时，
原方程可化为：x2﹣（x+1）﹣1＝0，整理得：x2﹣x﹣2＝0，
解得x ＝2，x ＝﹣1；
1 2
②当x+1＜0时，即x＜﹣1时，
原方程可化为：x2+（x+1）﹣1＝0，
整理得：x2+x＝0，
解得x ＝﹣1（舍去），x ＝0（舍去），
3 4
综上所述，原方程的解是x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
【变式2】阅读下面的例题与解答过程：
例．解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，解得x ＝2，x ＝﹣1（不合题意，舍去）；
1 2
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0，解得x ＝1，x ＝﹣2（不合题意，舍去）；
1 2
∴原方程的解是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想﹣﹣﹣
分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程：
（1）x2﹣2|x|＝0；
（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|﹣4＝0．
【答案】（1）x ＝0，x ＝2，x ＝﹣2；
1 2 3
（2）x ＝6，x ＝﹣4．
2 3
【解答】解：（1）当x＜0时，x2+2x＝0，解得x ＝﹣2，x ＝0（舍去）；
3 4
当x≥0时，x2﹣2x＝0，解得x ＝0，x ＝2；
1 2
∴原方程的解为x ＝0，x ＝2，x ＝﹣2；
1 2 3
（2）当x≥1时，x2﹣2x﹣4x+4﹣4＝0，即x2﹣6x＝0，解得x ＝0（舍去），x ＝6，
1 2
当x＜1时，x2﹣2x+4x﹣4﹣4＝0，即x2+2x﹣8＝0，解得x ＝﹣4，x ＝2（舍去），
3 4
∴原方程组的解为x ＝6，x ＝﹣4，．
2 3
1．解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．
较简便的方法是（ ）
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
【答案】D【解答】解：①3x2﹣27＝0适合直接开平方法；
②x2﹣3x﹣1＝0适合公式法；
③（x+2）（x+4）＝x+2适合因式分解法；
④2（3x﹣1）2＝3x﹣1适合因式分解法；
故选：D．
2．若2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，则x2+bx+c可以分解为（ ）
A．（x+2）（x+3） B．（x﹣2）（x﹣3）
C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3）
【答案】B
【解答】解：∵2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，
∴x2+bx+c＝（x﹣2）（x﹣3）．
故选：B．
3．方程2x（x+3）+5（3+x）＝3+x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝3
C．x ＝2，x ＝3 D．x ＝﹣2，x ＝﹣3
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：整理得：（2x+5﹣1）（x+3）＝0，
2x+5﹣1＝0或x+3＝0，
x ＝﹣2，x ＝﹣3，
1 2
故选：D．
4．关于x的一元二次方程（2x﹣1）（x+m）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
1
A．2 B．1 C．﹣1 D．−
2
【答案】D
【解答】解：（2x﹣1）（x+m）＝0，
1
解得x= 或x＝﹣m，
2
1
−m= ，
2
1
∴m=− ．
2
故选：D．
5．定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝2025 B．x ＝﹣1，x ＝﹣2025
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝2025 D．x ＝1，x ＝﹣2025
1 2 1 2
【答案】A【解答】解：根据题中的新定义得：x2﹣2024x﹣2024＝1，
∴x2﹣2024x﹣2025＝0，
（x+1）（x﹣2025）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2025＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝2025．
1 2
故选：A．
6．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A．2❑√5 B．8 C．4❑√5 D．10
【答案】A
【解答】解：由方程x2﹣12x+32＝0得，
x ＝4，x ＝8，
1 2
所以菱形的两条对角线长度为4和8，
则菱形的边长为：❑√22+42=2❑√5．
故选：A．
7．已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，则x2+4x的值为（ ）
A．3 B．3或﹣6 C．﹣3或6 D．6
【答案】A
【解答】解：（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，
分解因式得：（x2+4x﹣3）（x2+4x+6）＝0，
可得x2+4x﹣3＝0或x2+4x+6＝0，
而x2+4x+6＝0中，△＝16﹣24＜0，无解，
则x2+4x＝3．
故选：A．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2024，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必
有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【解答】解：由题知，
方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b可变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0．
因为方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2024，
所以x﹣1＝2024，
解得x＝2025，
即方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x＝2025．
故选：D．
9．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x ，x 满足x ＝2x +3，且x ＞x ，则m的值为（ ）
1 2 1 2 1 2A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x ＞x ，
1 2
∴x ＝m+2，x ＝m﹣2，
1 2
∵x ＝2x +3，
1 2
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
10．已知方程（x+a）（x+b）＝0 有 M 个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0 有 N 个解，其中 a≠b，则
（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
【答案】C
【解答】解：（x+a）（x+b）＝0，可得x+a＝0或x+b＝0，即x＝﹣a或x＝﹣b，
∵a≠b，
∴M＝2，
1
当a＝0，b≠0时，方程变为bx+1＝0．解得x=− ，此时N＝1，
b
1
当a≠0，b＝0时，方程变为ax+1＝0，解得x=− ，此时N＝1，
a
1 1
当a≠0，b≠0时，方程变为ax+1＝0或bx+1＝0解得x=− 或x=− ，此时N＝2，
a b
∴当a＝0或b＝0时，M＝2，N＝1，M＝N+1；当a≠0且b≠0时，M＝2，N＝2，M＝N．
∴M＝N或M＝N+1．
故选：C．
11．小聪同学解方程x2＝4x得到x＝4，则他漏掉一个根是x＝ 0 ．
【答案】0．
【解答】解：x2＝4x，
x2﹣4x＝0
x（x﹣4）＝0，
x＝0或x﹣4＝0，
所以x ＝0，x ＝4．
1 2
故答案为：0．12．已知a、b是实数，且满足（a2+b2）2+3（a2+b2）﹣4＝0，a2+b2＝ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设t＝a2+b2（t≥0），
由原方程，得
t2+3t﹣4＝0，
整理，得
（t+4）（t﹣1）＝0，
解得t＝﹣4（舍去）或t＝1．
所以a2+b2＝1．
故答案为：1．
13．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣4x+3＝0的一个根，则这个三角形的周长为
8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
所以x ＝1，x ＝3．
1 2
∵1+2＞3 不成立，
∴由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
∴三角形周长为2+3+3＝8．
故答案为：8．
14．刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例
如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到
实数﹣1，则m的值是 0 或 2 ．
【答案】0或2．
【解答】解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1＝﹣1，
m2﹣2m＝0，
m（m﹣2）＝0，
解得m＝0或2．
故答案为：0或2．
{ a−b(a≥b) )
15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b = ．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2
2b−a(a＜b)
＝2．若x ，x 是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x ※x ＝ 4 或 1 ．
1 2 1 2
【答案】4或1．
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x ＝2，x ＝3或x ＝3，x ＝2．
1 2 1 2
当x ＝2，x ＝3时，x ※x ＝2×3﹣2＝4；
1 2 1 2
当x ＝3，x ＝2时，x ※x ＝3﹣2＝1．
1 2 1 2
∴x ※x ＝4或1．
1 2
故答案为：4或1．
16．用适当的方法解方程：
（1）4（x+1）2＝36；
（2）x2﹣2x+8＝0；
（3）（y+3）（y﹣1）＝2；
（4）2x2−2❑√2x+1=0．
【答案】（1）x ＝2，x ＝﹣4；
1 2
（2）无解：
（3）y ＝﹣1+❑√6，y ＝﹣1−❑√6；
1 2
❑√2
（4）x ＝x = ．
1 2 2
【解答】解：（1）4（x+1）2＝36，
（x+1）2＝9，
∴x+1＝±3，
∴x ＝2，x ＝﹣4；
1 2
（2）x2﹣2x+8＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×8＝﹣28＜0，
∴原方程无解；
（3）（y+3）（y﹣1）＝2，
y2+2y﹣5＝0，
y2+2y+1＝6，即（y+1）2＝6，
∴y+1=±❑√6，
∴y ＝﹣1+❑√6，y ＝﹣1−❑√6；
1 2
（4）2x2−2❑√2x+1=0，
（❑√2x﹣1）2＝0，
∴❑√2x﹣1＝0，
❑√2
∴x ＝x = ．
1 2 2
17．对于任意实数a，b（a≠0）规定一种新运算a*b＝ab+ab﹣2．例如：3*2＝32+3×2﹣2＝13．请根据上
述定义解决以下问题：
（1）计算：（﹣2）*3．（2）若（﹣x）*2的值为1，求x的值．
【答案】（1）﹣16；
（2）x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
【解答】解：（1）（﹣2）*3＝（﹣2）3+（﹣2）×3﹣2＝﹣16；
（2）∵a*b＝ab+ab﹣2，
（﹣x）*2＝（﹣x）2﹣2x﹣2＝x2﹣2x﹣2，
x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
18．阅读下列材料：
解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，
解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0，
解得y ＝2，y ＝3．
1 2
当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：x=±❑√3；
当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2．
∴原方程的解为：x =❑√3，x =−❑√3，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中
的转化思想．
（1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0；
（2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值．
【答案】（1）x ＝3，x ＝4；
1 2
（2）5．
【解答】解：（1）设2x﹣5＝a，则原方程可化为a2﹣4a+3＝0，
分解因式可得：（a﹣1）（a﹣3）＝0，
解得：a ＝1，a ＝3，
1 2
当a＝1时，可得：2x﹣5＝1，
解得：x＝3，
当a＝3时，可得：2x﹣5＝3，
解得：x＝4，
∴原方程的解为x ＝3，x ＝4；
1 2
（2）原方程整理得：（x2+y2+3）2﹣7（x2+y2）﹣21＝8，
设x2+y2＝b，
则原方程化为（b+3）2﹣7b﹣21＝8，
整理得：b2﹣b﹣20＝0，
分解因式可得：（b﹣5）（b+4）＝0，解得：b ＝5，b ＝﹣4，
1 2
当b＝5时，x2+y2＝5，
当b＝﹣4时，x2+y2＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴x2+y2＝5．
19．阅读下面的例题与解答过程：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当x≥0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x ＝2，x ＝﹣1（舍去）；
1 2
当x＜0时，x2+x﹣2＝0，解得x ＝﹣2，x ＝1（舍去）．
3 4
∴原方程的解是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一
种重要思想——分类讨论思想．
请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程：
（1）x2﹣2|x|＝0；
（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0．
【答案】（1）x ＝0，x ＝2，x ＝﹣2；
1 2 3
（2）x ＝x ＝3，得x ＝x ＝﹣1．
1 2 3 4
【解答】解：（1）当x≥0时，x2﹣2x＝0，解得x ＝0，x ＝2；
1 2
当x＜0时，x2+2x＝0，解得x ＝﹣2，x ＝0（舍去）；
3 4
∴原方程的解为x ＝0，x ＝2，x ＝﹣2；
1 2 3
（2）当x≥1时，x2﹣2x﹣4x+4+5＝0，即x2﹣6x+9＝0，解得x ＝x ＝3，
1 2
当x＜1时，x2﹣2x+4x﹣4+5＝0，即x2+2x+1＝0，解得x ＝x ＝﹣1，
3 4
∴原方程组的解为x ＝x ＝3，得x ＝x ＝﹣1．
1 2 3 4
20．材料阅读：材料1：符号“
|a
1
a
2
)
”称为二阶行列式，规定它的运算法则为
|a
1
a
2
)=
a b ﹣a b ．
b b b b 1 2 2 1
1 2 1 2
如
| 5 2 )=
5×（﹣4）﹣2×（﹣3）＝﹣14．
−3 −4
材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程
的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思
想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，我们可以利用因
式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：x2+3x+2＝0．∵x2+3x+2＝（x+1）（x+2），∴
（x+1）（x+2）＝0．故x+1＝0或x+2＝0．因此原方程的解是x ＝﹣1，x ＝﹣2．
1 2
根据材料回答以下问题．
（1）二阶行列式
|5 6)=
1 1 ；
4 7（2）求解
|x 2x−4)=
12中x的值；
1 x+4
（3）结合材料，若m =
|x −3x)
，n =
|x −6)
，且m﹣n＝0，求x的值．
1 x 1 8
【答案】（1）11；
（2）x ＝2，x ＝﹣4；
1 2
（3）x ＝﹣1，x ＝6．
1 2
【解答】解：（1）由题知，
|5 6)=5×7﹣6×4＝11．
4 7
故答案为：11．
（2）由
|x 2x−4)=
12得，
1 x+4
x（x+4）﹣（2x﹣4）＝12，
整理得，x2+2x﹣8＝0，
解得x ＝2，x ＝﹣4．
1 2
（3）由题知，
m＝x2+3x，n＝8x+6．
因为m﹣n＝0，
所以x2+3x﹣8x﹣6＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝6．
1 2
