文档内容
第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）设 为正实数，函数 ，若 ， ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
因为 ，当 时，所以有 成立，因此函数 在 上单调递减，
因此当 时， 恒成立，一定有 成立，
即 ，因为 ，所以有 .
故选：A
2．（2022·全国·高二）若不等式 对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D,
当 时， ，当 时， ，
的递减区间是 ，递增区间是 ，
所以 取得极小值，也是最小值，
，
不等式 对任意实数x都成立，
所以 .
故选:D.
3．（2022·全国·高二）已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：函数 ,对 都有 ,
当 时, 即 ,
即为
可化为
令 ,
则
当 时, ,单调递减.
因此
所以
故实数 的取值范围是
故选B
第三部分：典 型 例 题 剖 析高频考点一：分离变量法
1．（2022·全国·高三专题练习）设 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可知，不等式 在 上恒成立，
则 对 上恒成立，
设 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
所以当 ， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， 取极大值，即为最大值，最大值为 ，
所以， ，
所以 的取值范围为
故选：B
2．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（文））已知函数 ，若对任意两个不等的正数 ，
，都有 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
对任意 都有 恒成立，
则 时 ，
，当 时恒成立，，当 时恒成立，
，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知对 ，不等式 恒成立，则实数a的最小值是
（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
对 ，不等式 恒成立，等价于 在 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
所以 ，
所以 .
故选：C.
4．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，不等式 化为 ，
令 ，则 ，
令 （ ），则 ，所以 在 上是增函数，
所以 ，
所以 时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 ，
所以 ．
故选：A．5．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数 （ 为常数）
1）讨论函数 的单调性；
2）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 时， 递增， 时，在 递减， 递增；（2） .
（1）函数定义域是 ，
，
时， 恒成立， 在 上是增函数；
时， 时， ， 递减， 时， ， 递增．
（2） 即 在 上恒成立，则 ，
设 ，则 ， 时， ， 递增， 时， ，
递减， ，所以 ．
6．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 在区间 的极值；
(2)若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)
在区间 上， ，
当 时， 恒成立， 在区间 上单调递减，
则 在区间 上无极值；
当 时，令 得 ，
在区间 上， ，函数 单调递减，
在区间 上， ，函数 单调递增.
若 ，即 ，则 在区间 上极小值若 或 ，即 或 ，则 在区间 上无极值
(2)
因为函数 在 处取得极值，
所以 ，解得 ，经检验可知满足题意
由已知 ，即 ，
即 对 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即 .
7．（2022·四川省泸县第一中学高二阶段练习（理））已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性与极值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)
， .
①当 时， 恒成立，
在R上单调递增，无极大值也无极小值；
②当 ， 时， ，
时， ，
在 上单调递减，在 单调递增.
函数 有极小值为 ，无极大值.
(2)
若对任意 ， 恒成立，
则 恒成立，即 .设 ，则 ，令 ，
解得 ，当 时， ，当 时， ，
在 上为减函数，在 上为增函数， ，
， 当 时满足对任意 ， 恒成立，
实数a的取值范围为 .
8．（2022·河南·三模（文））已知函数 （e是自然对数的底数），曲线 在点
处的切线为 .
(1)求a，b的值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求正实数m的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
(1)
可得 ，
因为曲线 在点 处的切线为 .
所以 ，解得 ， .
(2)
由（1）知 ，
∵不等式 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ，∵ ，当 时，解得 .
∴当 时， ， 为减函数，当 时， ， 为增函数，
∴ 的最小值为 ，∴ ，∴正实数m的取值范围为 .
高频考点二：分类讨论法
1．（2022·广西柳州·三模（文））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；(2)若 为函数 的极值点，当 ，不等式 恒成立，求实数m的取值
范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
①当 时， 恒成立，
∴ 只有减区间 ，
②当 时，令 ，得 ，令 ，得
∴ 的增区间为 ， 的减区间为 .
(2)
为函数 的极值点，
∴
，
当 ，不等式
即 ，令 ， ．
， ，
若 ， 在 上恒成立．
则 在 上为减函数，
所以有 满足题意．
若 ，由 ，可得 ，则 在 上递增，
所以在 上存在 使得 与题意不符合
综上所述，
2．（2022·陕西西安·二模（文））已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调减区间；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)当 时，
令 ，得
故函数 的单调减区间为
(2)
令
令 ，由于
①当 时， 对 恒成立，故 对 恒成立
故 在 单调递减， 成立；
②当 时， 在 恒成立，
故 在 单调递减， 成立；
③当 时， 对称轴为 ，为开口向下的二次函数，
故 在 单调递增， ，
故 在 存在唯一的零点 ，
在 ，故 在 单调递减；在 ，故 在 单调递增
故当 不成立
综上：
3．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知曲线 在 处的切线方程为 ，且
.
(1)求 的解析式；
(2)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
(1)
，∴ ，
， ，， ，
切线方程为 ，即 ，
∴ .
(2)
令 ，
， ， ,
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 符合题意；
当 时，设 ，
①当 ， ， ，所以 在 上单调递增，
，所以 在 上单调递增，
所以 ，故 符合题意；
②当 时， ， ，
所以 在 上递增，在 上递减，且 ，
所以当 时， ，
则 在 上单调递减，且 ，
故 ， ，舍去.
综上：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，曲线 在点 处的切线为 ．
(1)证明：对于 ， ；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)
， ，又 ，
切线方程为： ，即 ，即 ；
设 ，则 ，则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
，即 ，
对 ， ；
(2)
解法一：当 时， 恒成立，则 恒成立；
令 ，
则 ， ，
在 上单调递增， ；
①当 时， ， ， 在 上单调递增，
，即 恒成立；
②当 时， ， ，
令 ，则 ， ， ，
，使得 ，
又 在 上单调递增， 当 时， ， 单调递减，
此时 ，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
解法二：由 得： ，
当 时， ， ，不等式恒成立， ；
当 时， ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ，
在 上单调递增；由洛必达法则可知： ，
， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
5．（2022·四川·树德中学高三开学考试（文））已知 ，设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
， 且 ，
① ， ， 单调递增；
② ， ， 单调递减；
③ ， ，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增
(2)
，
即 ，令 ，
则 ，令 ，可得 ，
当 时， ，则 在 单调递减，
则只需满足 ，∴ ，解得 ，∴ ；当 时，可得 在 单调递增，在 单调递减，
则 ，
整理可得 ，
令 ，则 ，
，
则可得 在 单调递增，在 单调递减，
则 ，故 时， 恒成立，
综上， ；
6．（2022·贵州黔东南·一模（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当x>1时， 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2) .
(1)
函数 的定义域为 ，求导得： ，
当a=0时， 恒成立，则 在 上单调递增，
当 时，令 得， ，则 在 上单调递减，
令 ，得 ，则 在 上单调递增，
所以，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
当a=0时， 在 上单调递增，则 ，当 时， ，则 在 上单调递增，有 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则有 ，这与当 时， 恒成立矛盾，即 不合题意，
综上得， ，即 ，
所以a的取值范围为 .
高频考点三：等价转化法
1．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数 ，
.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)当a=1时，若不等式 恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，f（x）单调递减；
当a>0时，令 ，解得 ，
所以当 时， ，f（x）单调递减，
当 时， ，f（x）单调递增，
综上，当 时，f（x）在 上单调递减；当a>0时，f（x）在 上单调递减，在 上单调
递增.
(2)
当a=1时， ，
所以不等式 恒成立等价于 在 恒成立，即只需 ，
记 ，则 ，
当 时， ，所以h（x）单调递减，当 时， ，所以h（x）单调递增，
所以 ，所以 ，即 ，当且仅当x=0时取等号.
又因为 ，当且仅当 时取等号.
所以 ，从而 ，所以 ，
所以 ，所以m的取值范围为 .
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数 ， ．若 对一切正实
数 都成立，求实数 的取值范围．
【答案】 ．
由f(x)≤g(x)，得ax＋lnx≤a2x2，即a2x2－ax－lnx≥0.
设h(x)＝a2x2－ax－lnx，则只需h(x) ≥0.
min
h′(x)＝2a2x－a－ ＝ ，且a＞0, x＞0.令h′(x)＝0，得x＝ .
易知在区间 上，h′(x)＜0, h(x)单调递减；在区间 上，h′(x)＞0, h(x)单调递增．
所以h(x) ＝h ＝a2× 2－a× －ln ≥0，得a≥1，即实数a的取值范围是[1, ＋∞)．
min
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，若对任意 都有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)最小值 (2)
(1)
解：由函数 ，得 的定义域为 ，
当 时， ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，所以当 时， 取得最小值，即 ．
(2)
解：令 ，
因为对于任意 都有 ，只须 在 上恒成立，
又由 ，
因为 ，
所以 ， ，即
所以 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
所以当 时，对任意 都有 成立．
4．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））已知函数 ， .
(1)若 在点 处的切线方程为 ，求实数a、b的值；
(2)若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， (2)
(1)
因为 ，所以 ， ，
由函数 在 处的斜率与直线的斜率相等得： ，得 ①，
又切点既在曲线上，又在切线上得： 代入切线中得： ②，
解得： ， .
(2)
由 ，得 ，（当 时， ），分离参数得 ，
令 ，问题转化为求函数 的最小值，
，当 时，即 时， ， 在 上递增，
当 时， ， 在 上递减，
于是得 在 处取得最小值 ，所以实数 的取值范围是 .
5．（2022·山东日照·高三期末）已知函数 ，中 .
(1)当 时，求 的单调区间；(2)若 ，对任意实数 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1) 的单调增区间为 ，单调减区间为 (2)0
(1)
函数 的定义域为 ， .
当 时，令 解得： ，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
综上所述：当 时， 在 上单调递增； 在 上单调递减..
(2)
当 时， ，故 恒成立可化为 其中 .
设 ，则 ，即 .
由（1）可得， 在 上单调递减.，所以 ， ，即
.
下面讨论 在 上的零点：
①若 ，即 .
此时 ， ， 在 上单调递增.
故 ，即 ；
②若 ，即 .
此时 ， 在 上单调递增.，故 ，所以
；
③若 ，
此时 ， 在 上单调递减..
又 ， .故存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单增.
故
又 ，所以 .
令 ，则 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，故 ，
综上所述： 的最大值为0.
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数证明不等式
高频考点四：最值法
1．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数 ，其中
(1)若函数 的极小值为0，求实数m的值；
(2)当 时， 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
解： ，
由 ，得 或
当 或 时， ；
当 时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 时取到极小值．
由 ，解得
(2)
由（1）知，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
所以 区间 上的最小值为
由 恒成立，知 ，即
所以
2．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数
(1)求 的最大值
(2)若 恒成立，求 的值
【答案】(1)
(2)
(1)
因为 ，所以 ，
由 得 ； 得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，即 .
(2)
要使 成立必须 ，
因为 ，所以当 ， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，所以满足条件的 只有 ，即 .
3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数 .(1)判断 的单调性；
(2)若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为
(2)
(1)
令 ，解得 或 ，且
当 时， ，当 时， ，
当 时，
即 的单调增区间为 ，单调减区间为
(2)
由（1）知，当 时， 恒成立
所以 在 上为增函数，
即 .
的最大值为
恒成立
即 ，
又
故 的取值范围
4．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数 在 与 处都取得极值.(1)求a，b的值；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数c的取值范围.
【答案】(1) ， ；(2) .
(1)
由题设， ，
又 ， ，
解得 ， .
(2)
由（1）得 ，即 ，
当 时， ， 随 的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时， 为极大值，
又 ，显然f（- ）＜f(2),
所以 为 在 上的最大值.
要使 对任意 恒成立，则只需 ，
解得 或c>1.
∴实数c的取值范围为 .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；(2)若对 ， ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
解：函数 的定义域为 ， ，
令 得 或 ，
当 时， ，由 得 或 ，
所以函数 的递增区间为 ， ，递减区间为 .
当 时，由 ，所以函数 的递增区间为 ，无递减区间；
当 时， ，由 得 或 ，
所以函数 的递增区间为 ， ，递减区间为 .
综上，当 时， 的递增区间为 ， ，递减区间为 ；
当 时， 的递增区间为 ，无递减区间；
当 时， 的递增区间为 ， ，递减区间为 .
(2)
解：∵ ，所以 ，
由（1）知当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
则 ， ，
∵对 ，不等式 恒成立，
∴ ，即 对
恒成立，
令 ，则函数 在 上单调递增，
所以 .所以实数m的取值范围为 .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 在点 处的切线方程是 .
(1)求 的解析式；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)
， ， ，
所以 在点 处的切线方程是 ，
即 ，化简得： ，
又切线方程是 ，故 ，
， ，
所以 的解析式为 .
(2)
因为对任意 ，都有 ，
所以对任意 ，都有 ，
因为 ，
所以当 时， ，则 是增函数，
当 时， ，则 是减函数，
当 时， ，则 是增函数，
所以 ， ，
所以 ，实数 的取值范围是 .
第四部分：高考真题感悟
1．（2019·天津·高考真题（理））已知 ，设函数 若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C∵ ，即 ，
（1）当 时， ，
当 时， ，
故当 时， 在 上恒成立；
若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 函数单增，当 函数单减，
故 ，所以 ．当 时， 在 上恒成立；
综上可知， 的取值范围是 ，
故选C．
2．（2020·海南·高考真题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1） （2）
（1） ， ， .
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数 在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
∴所求三角形面积为 ．
（2）［方法一］：通性通法
, ，且 .
设 ,则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,∴ 成立.
当 时， ， ， ,∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时 ，
， ，
因此
>1,
∴ ∴ 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由 得 ，即 ，而 ，所以
．
令 ，则 ，所以 在R上单调递增．
由 ，可知 ，所以 ，所以
．
令 ，则 ．
所以当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．
所以 ，则 ，即 ．
所以a的取值范围为 ．
［方法三］：换元同构
由题意知 ，令 ，所以 ，所以 ．
于是 ．
由于 ，而 在 时为增函数，故 ，即
，分离参数后有 ．
令 ，所以 ．
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以当 时， 取得最大值为 ．所以 ．
［方法四］：因为定义域为 ，且 ，所以 ，即 ．
令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 时，有 ，即 ．
下面证明当 时， 恒成立．
令 ，只需证当 时， 恒成立．
因为 ，所以 在区间 内单调递增，则 ．
因此要证明 时， 恒成立，只需证明 即可．
由 ，得 ．
上面两个不等式两边相加可得 ，故 时， 恒成立．
当 时，因为 ，显然不满足 恒成立．
所以a的取值范围为 ．
【整体点评】
（2）方法一：利用导数判断函数 的单调性，求出其最小值，由 即可求出，解法虽稍麻烦，但
是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成 ，再根据函数 的单调性
以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令 ，再同构，可将原不等式化成 ，再根据函数 的
单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用 可得 的取值范围，再进行充分性证明即可．
3．（2020·全国·高考真题（理））已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
（2）
(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
[方法二]：特值探路
当 时， 恒成立 ．
只需证当 时， 恒成立．
当 时， ．
只需证明 ⑤式成立．
⑤式 ，
令 ，则 ，
所以当 时， 单调递减；
当 单调递增；
当 单调递减．
从而 ，即 ，⑤式成立．
所以当 时， 恒成立．
综上 ．
[方法三]：指数集中
当 时， 恒成立 ，
记 ，
，
①.当 即 时， ，则当 时， ， 单调递增，又 ，
所以当 时， ，不合题意；
②.若 即 时，则当 时， ， 单调递减，当
时， ， 单调递增，又 ，
所以若满足 ，只需 ，即 ，所以当 时，
成立；
③当 即 时， ，又由②可知 时，
成立，所以 时， 恒成立，
所以 时，满足题意.
综上， .【整体点评】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查
利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
4．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） .
（1）
令 ，则
当 时，令 ，解得：
当 时， ；当 时，
在 上单调递增；在 上单调递减
又 ， ，
即当 时， ，此时 无零点，即 无零点
，使得
又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一零点
综上所述： 在区间 存在唯一零点
（2）若 时， ，即 恒成立
令
则 ，
由（1）可知， 在 上单调递增；在 上单调递减
且 ， ，，
①当 时， ，即 在 上恒成立
在 上单调递增
，即 ，此时 恒成立
②当 时， ， ，
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，即 恒成立
③当 时， ，
，使得
在 上单调递减，在 上单调递增
时， ，可知 不恒成立
④当 时，
在 上单调递减
可知 不恒成立
综上所述：
【点睛】
本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成
立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过
导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
第五部分：第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题
（精练）一、单选题
1．（2022·河南南阳·高二期末（文））若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意得： 在区间 上恒成立，而 ，所以 .
故选：A
2．（2022·全国·高二）函数f(x)＝ x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数
f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是（ ）
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C． D．
【答案】A
设h(x)＝f(x)－g(x)＝ x3－x2＋a－x2＋3x，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，
所以当x∈(1，3)时 ， ，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时， ，h(x)单调递增． 时，
， 递增，
时， 取极大值，当x＝3时，函数h(x)取得最小值．因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，则有
上 >0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．
故选：A．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知 ， ，且 ， ，且 ，
恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解： ， ，且 ， 恒成立，
对 ， ，且 恒成立，
令 ，
则只需 ，对 恒成立，即 ，对 恒成立， 只需 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，
的取值范围为 ．
故选：B．
4．（2022·全国·高二）已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，由题意， 恒成立，则 ，因为 ，
所以 .
故选：C.
5．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知函数 ，若对任意的 ，
且 ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，所以函数 在区间 上单调递增.
所以当 时， 恒成立，即 恒成立，记 ，则
，当 ，即 时，易知 ，所以 在区间 上单调递
增，所以 ，则有 ，满足题意；当 ，即 时，令 ，得
， 时 ， 时 ，所以当 时， 有最小值
，解 ，得 .综上，k的取值范围为 .故选：B
6．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数 ，若 恒成立．则a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意，当 时， ，当 时， ，
解得 ，当 时， 在 上单调递减， 成立，则有 ，
当 时， ，令 ， ，
，当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增， ，于是得 ，
综上得， ，
所以a的取值范围为 .
故选：B
7．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）已知m，n为实数，不等式 恒成立，则
的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
设 ，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
存在实数，比如 使得 ，此时不等式 不成立，不合题意；
当 时，令 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 ，即 恒成立，
由于 ，所以 ，
令 ， ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，故 ，
故 ，故 ，
故选：A
8．（2022·宁夏中卫·一模（理））已知定义域为 的函数 满足 ，且 ，e
为自然对数的底数，若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由 ，得
设 ， ，
则 ，从而有 .
又因为 ，所以 ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 .
因为不等式 恒成立，所以 ，
即 ，又因为 ，所以 .
故选：B.
二、填空题
9．（2022·全国·高二课时练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
______．
【答案】
根据题意，当 时，分离参数 ，得 恒成立．
令 ，∴ 时， 恒成立．
令 ，则 ，
当 时， ，∴函数 在 上是减函数．则 ，∴ ．
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为：
10．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知 ，若对任意 ，都有 ，则实
数 的取值范围是______.
【答案】
解： ，
当 时， ， ，
若 ，则当 时， ，这与 矛盾，
故 ，
，
若 ，则当 时， ，
所以函数 在 上递减，
所以 符合题意；
若 ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，
故当当 时， ，这与 矛盾，
综上所述 .
故答案为： .
11．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知函数 ．若对任意 ，都有
成立，则实数 的最小值是________．
【答案】
， 当 时， ；当 时， ；在 上单调递增，在 上单调递减， ；
若对任意 ，都有 成立，则 ；
当 时， 恒成立，又 ， 恒成立；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则只需 即可，即 ；
综上所述： 的取值范围为 ；
的最小值为 .
故答案为： .
12．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f（x）在区间I上有定义，若对
和 ，都有 ，那么称f（x）为I上的凹函数，
若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹
麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为 ，其二阶
导数为 （即对函数 再求导，记为 ），若 ，那么函数f（x）是严格的凹函数（
， 均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数 在定义域内为严格的凹
函数，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
由 ，得 ，
令 ，则 ，
令 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，g（x）单调递减；
当 时， ，g（x）单调递增，所以 ，
所以 .
故答案为： .
三、解答题
13．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数 ，
(1)求过点 的函数 的切线方程
(2)若对任意 ，都有 成立，求正数a的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)
解：由题意，函数 ，可得 ，
设曲线 的切点坐标为 ，所以切线的斜率为 ，
可得过点 的切线的方程为 ，
又因为切线过点 ，可得 ，解得 ，
所以切线方程为 .
(2)
解：设 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， ，
由对任意 ，都有 成立，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
14．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知函数
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若 ， 对任意的 恒成立，求m的最大值.
【答案】(1)递增区间为 ，递减区间为 ，极小值为 ，没有极大值(2)3
(1)
函数 的定义域为 ，
由 ，令 可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
∴ 函数 的递增区间为 ，递减区间为 ，
函数 在 时取极小值，极小值为 ，函数 没有极大值
(2)
当 时，不等式 可化为 ，
设 ，由已知可得 ，
又 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上为增函数，又 ， ，
∴ 存在 ，使得 ，即
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴ m的最大值为3.
15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数 ， 是其
导函数，其中 ．
(1)若 在 上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式 对 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1) (2)(1)
解： ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
所以a的取值范围为 ；
(2)
解：由 得 ，
即 对 恒成立，
令 ，
，
当 时， ，不满足 ；
当 时， 时， ， 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，不符合题意；
当 时， 时， ， 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
所以 ，解得 ，
综上所述，a的取值范围 .
16．（2022·四川达州·二模（文））已知 .(1)当 时，求曲线 上的斜率为 的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的范围.
【答案】(1) ；
(2) .
(1)
当 时， ， ；
令 ，解得： ， 切点坐标为 ，
所求切线方程为： ，即 ；
(2)
令 ，
则原问题转化为：当 时， 恒成立，即 恒成立；
， ，
则当 时， ， 在 上单调递增， ；
①当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
，解得： ， ；
②当 ，即 时， ，当 时， ；
，使得 ，即 ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
解得： ，即 ，又 ， ，
令 ，则 ， 当 时， ，
在 上单调递减， ，即 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
