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专题 21.6 期末复习之填空压轴题十五大题型总结
【人教版】
【题型1 二次根式的性质与化简】..........................................................................................................................1
【题型2 二次根式的运算】......................................................................................................................................1
【题型3 利用勾股定理构造直角三角形】..............................................................................................................2
【题型4 勾股定理与分类讨论思想结合】..............................................................................................................3
【题型5 勾股定理及其逆定理与网格作图】.........................................................................................................4
【题型6 由平行四边形的性质求值】......................................................................................................................5
【题型7 确定组成平行四边形点的个数】..............................................................................................................6
【题型8 平行四边形的应用】..................................................................................................................................7
【题型9 矩形、菱形、正方形与勾股定理的综合运用】.....................................................................................8
【题型10 矩形、菱形、正方形与全等三角形的综合运用】.................................................................................9
【题型11 与一次函数有关的面积问题】................................................................................................................10
【题型12 由一次函数的性质求取值范围】............................................................................................................11
【题型13 一次函数的应用】....................................................................................................................................12
【题型14 数式或图形中规律问题】........................................................................................................................14
【题型15 数式或图形中新定义问题】....................................................................................................................15
【题型1 二次根式的性质与化简】
【例1】（2024八年级·浙江·期末）已知a+b+c+3=2√a+4√b-1+2√c-2，则a+b+c的值是
．
【变式1-1】（2024八年级·浙江温州·期末）已知 ，则2x﹣18y2＝
√x-11-|7-x|+√(x-9) 2=3 y-2
．
【变式1-2】（2024八年级·浙江杭州·期末）已知√m-2(m-3)≤0，若整数a满足m+a=5√2，则a=
．
2015
【变式1-3】（2024八年级·四川成都·期末）若m＝ ，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
√2016-1【题型2 二次根式的运算】
【例2】（2024八年级·江苏常州·期末）若 的积是有理数，则无理数m的值为 ．
(2+√3)(2+m)
【变式2-1】（2024八年级·安徽合肥·期末）化简并计算：
1 1 1 1
+ + +...+ = ．（结果中分母
√x(√x+1) (√x+1)(√x+2) (√x+2)(√x+3) (√x+19)(√x+20)
不含根式）
【变式2-2】（2024八年级·吉林·单元测试）已知 ，则 ．
√16-x2-√4-x2=2√2 √16-x2+√4-x2=
【变式2-3】（2024八年级·浙江宁波·期末）已知 1 ，且 ，则√ 6x ．
√x+ =3 00) a 8
果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知 ，计算 的最
a+b=15(a>0,b>0) √a2+9+√b2+25
小值为 ．
【变式3-1】（2024八年级·广东深圳·期末）如图，∠BAC=90度，AB=AC，AE⊥AD，且AE=AD，AF平
分∠DAE交BC于F，若BD=6，CF=8，则线段AD的长为 ．
【变式3-2】（2024·天津滨海新·八年级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为小正
方形边的中点，C，D为格点，E为BA，CD的延长线的交点．（Ⅰ）CD的长等于 ；
（Ⅱ）若点N在线段BE上，点M在线段CE上，且满足AN=NM=MC，请在如图所示的网格中，用无刻
度的直尺，画出线段MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．
．
【变式3-3】（2024八年级·湖北恩施·期末）如图，一个长方体纸箱，长是6，宽和高都是4，一只蚂蚁从
顶点A沿纸箱表面爬到顶点B，它所走的最短路线的长是 ．
【题型4 勾股定理与分类讨论思想结合】
【例4】（2024·河南·八年级期末 ）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D为边AB的
中点，点E是边BC上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△B'DE，线段B'D交边BC于点F．
当△DEF为直角三角形时，BE的长为 ．
【变式4-1】（2024八年级·辽宁沈阳·期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作AB的平行
线l，点P是直线l上异于点C的动点，连接AP，过点P作AP的垂线交直线BC于点D．若AC=7√2，
AP=25，则线段BD的长为 ．【变式4-2】（2024八年级·辽宁大连·期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=8，点
D是边AB上的一个动点，连接CD，过点C作CE⊥CD，使CE=CD，连接DE，点F是DE的中点，连
接CF并延长，交AB边所在直线于点G，若BG=2，则AD的长为 ．
【变式4-3】（2024八年级·上海闵行·期末）在△ABC中，AB=AC，BC=4，如果将△ABC折叠，使点
B与点A重合，且折痕交边AB于点M，交边BC于点N，如果△CAN是直角三角形，那么△ABC的面积是
．
【题型5 勾股定理及其逆定理与网格作图】
【例5】（2024·天津河东·八年级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，
C均落在格点上．
①线段AC的长等于 ；
②在射线BC上有两点P，Q，满足AP⊥BC且∠AQC=∠BAP，请用无刻度的直尺，在如图所示的网
格中，画出点P，点Q，并简要说明点P，点Q的位置是如何找到的（不要求证明）
．
【变式5-1】（2024八年级·北京朝阳·期末）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，
则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC ∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”）【变式5-2】（2024八年级·浙江·期末）如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：连结三格和两
格的对角线，∠a+∠B的度数是
【变式5-3】（2024·山西吕梁·八年级期末））如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，
BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为 ．
【题型6 由平行四边形的性质求值】
【例6】（2024·陕西西安·八年级期末）如图， ▱ABCD中，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，DF⊥AB，
BE⊥CD；垂足分别为点F和E．点G和H分别是DF和BE上的动点，GH∥AB，那么AG+GH+CH
的最小值为 ．
【变式6-1】（2024八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，
1
BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心，大于 CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作
2射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE=60°，BC=4，则BF的长为 ．
【变式6-2】（2024八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 ▱ABCD中，E、F在AD,BC边上，
DE=2BF，连接BE交AC于G．∠AGB=2∠CAF，若BE=5，AF=4，则线段AC的长为 ．
【变式6-3】（2024八年级·浙江杭州·期末）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F
分别是边AD、AB上的点，连接OE、OF、EF.若AB=7，BC=5√2，∠DAB=45°，则
①点C到直线AB的距离是 ．
②△OEF周长的最小值是 ．
【题型7 确定组成平行四边形点的个数】
【例7】（2024八年级·福建泉州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，
点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向B运动，两点同时出
发，当点Q运动到点B时，点P也随之停止运动。若设运动的时间为t秒，当t= 时，在A、B、
C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．【变式7-1】（2024八年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P在AD
边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒3cm的速度从点C出发，在CB间往
返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），设运动时间为t秒．在运动以后，
当t= 秒时，以P，D，Q，B四点恰好组成平行四边形．
【变式7-2】（2024八年级·河北·课后作业）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以A、B、C、
P四点为顶点组成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长为 ．
【变式7-3】（2024·广东·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按
折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s
的速度运动．若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm，经过 秒钟，
点A、E、M、N组成平行四边形．
【题型8 平行四边形的应用】
【例8】（2024八年级·浙江金华·期末）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，MN为滑轨，
AB、CE、PC、PD为固定长度的连杆．支点A固定在MN上，支点B固定在连杆CE上，支点D固定
在连杆AB上．支点P可以在MN上滑动，点P的滑动带动点B、C、D、E的运动．已知MN=30cm，
AM=1cm，AD=15cm，PC=BD=5cm，PD=BC=BE=9cm．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E
都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，BC⊥M N．
（1）若∠ABC=90°，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．【变式8-1】（2024八年级·四川成都·期末）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，
“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为
．
【变式8-2】（2024八年级·四川成都·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每
个小等边三角形的顶点为格点．线段AB的端点在格点上，要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个
顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形．
【变式8-3】（2024·浙江温州·八年级期末）如图1木工师傅将三块不全等的的平行四边形木板拼成了一个
邻边长为5和 12的大的平行四边形木板，然后通过裁剪又拼成了一个不重叠，无缝隙的大正方形木板如
(图2)，数据如图所示，记图 1 中三个小平行四边形的中心分别为 A，B，C，点 A，C 的图2 中的对应
点记为 A ,C ,连结 A B和 C B,当 A B=A C 时, MN的长为 ．
1 1 1 1 1 1 1【题型9 矩形、菱形、正方形与勾股定理的综合运用】
【例9】（2024八年级·天津西青·期末）如图，在菱形ABCD中，点E是DC的中点，连接BE，点P是BE
的中点，连接AP，若AB=2，∠ADC=60°，则AP的长等于 ．
【变式9-1】（2024八年级·重庆北碚·期末）如图，将矩形纸片ABCD沿EF对折，使点B落在AD上点H
AB
处，再次沿HG对折，对折后点D恰好与点F重合．若四边形EFGH是菱形，则 = ．
AD
【变式9-2】（2024八年级·贵州贵阳·期末）阅读理解：平面内任意两点 ， 的距离可以表示
(x ,y ) (x ,y )
1 1 2 2
为 ，反之， 表示点 与点 之间的距离．尝试利用
√(x -x ) 2+(y - y ) 2 √(x -x ) 2+(y - y ) 2 (x ,y ) (x ,y )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
AM 3
阅读内容解决问题：如图，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且 = ，E，F分别为BC，CD上
MD 1
的动点，且BE=2DF，若AB=4，则ME+2AF的最小值是 ．【变式9-3】（2024八年级·湖北·期末）如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，E
点是B点关于CD所在直线的对称点，连AE、CE、DE，若AB=4，BC=3，则AE的长为 ．
【题型10 矩形、菱形、正方形与全等三角形的综合运用】
【例10】（2024八年级·河南漯河·期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别时边AB，BC的中点，连
接EC，FD，点G，H分别时EC，FD的中点，这接GH，苦AB=4，BC=6，则GH的长度为 ．
【变式10-1】（2024八年级·重庆九龙坡·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中
点，将△ECD沿直线ED翻折至矩形ABCD所在平面内，得到△EC'D，连接BC'，并延长BC'交AD于
点F，则C'F= ．【变式10-2】（2024·辽宁沈阳·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边
CD的延长线上，且BE=DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点
N．若BE=5，CN=8，则线段AB的长为 ．
【变式10-3】（2024八年级·辽宁丹东·期末）如图，正方形ABCD，点E是射线AB上的动点，过点E作
EF∥DB，交直线AD于点F，连接DE，取DE中点G，连接FG并延长交直线DB于点H，若AB=4，
EB=3，则FH的长为 ．
【题型11 与一次函数有关的面积问题】
【例11】（2024八年级·浙江丽水·期末）已知直线l :y=kx+2+k(k≠0)和直线l :y=x+3． 若直线
1 2
l 、l 与y轴所围成的三角形面积记作S．
1 2
（1）当k=-1时，S的值是 ；
（2）当2≤S≤3时，k的取值范围是 ．
【变式11-1】（2024八年级·安徽芜湖·期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过
原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直
线l的解析式是 .
【变式11-2】（2024八年级·辽宁沈阳·期末）如图：在平面直角坐标系内有长方形OABC，点A，C分别在y轴，x轴上，点D(4，3)在AB上，点E在OC上，沿DE折叠，使点B与点O重合，点C与点C 重合．
1
若点P在坐标轴上，且△APC 面积是18，则点P坐标为 ．
1
【变式11-3】（2024八年级·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD点A的坐标
（3，2），点C的坐标（7，4），直线y＝－x以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线
可将平行四边形ABCD的面积平分．
【题型12 由一次函数的性质求取值范围】
【例12】（2024八年级·甘肃张掖·期末）一次函数y₁=kx-1(k≠0)与y₂=-x+2的图象如图所示，当x<1
时，y
