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第 04 讲 圆锥曲线的综合问题
本讲为高考命题热点，分值22-27分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考圆锥曲线椭圆双曲线的离心率，几何关系等问题，大题题型多变，但多以
最值，定值，范围，存在性问题，考察逻辑推理能力与运算求解能力.
高频考点一 圆锥曲线的定值定点问题
【例1】[例1] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛
物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
[破题思路]
第(1)问
求什么
求抛物线C的方程，想到求p的值
想什么
给什么 给出焦点F的坐标，利用焦点坐标与p的关系求
用什么 p
第(2)问
求什么
求证：直线AB过x轴上一定点，想到直线AB的方程
想什么
给什么 题目条件中给出“A，B是抛物线C上异于点O的两点”以及“直线OA，OB的
用什么 斜率之积为－”，可设A，B两点的坐标，也可设直线AB的方程
差什么
要求直线AB的方程，还需要知道直线AB的斜率是否存在，可分类讨论解决
找什么【方法技巧】
[题后悟通]
不能正确应用条件“直线OA，OB的斜率之积为－”是造成不能解决
思路受阻分析
本题的关键
定点问题实质及求解步骤
解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或
圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一
般可分为以下三步：
技法关键点拨
【跟踪训练】
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN
为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
高频考点二 圆锥曲线的最值问题
【例2】在平面直角坐标系中O为坐标原点，圆O交x轴于点F ，F ，交y轴于点B ，B.
1 2 1 2
以B，B 为顶点，F，F 分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.
1 2 1 2
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△FMN面积的最大值．
2
[破题思路]
第(1)问
求什么
求椭圆E的标准方程，想到求椭圆长半轴a和短半轴b的值
想什么
给什么 题目条件给出圆O交x轴于点F ，F ，交y轴于点B ，B ，易知b＝c，又椭圆过
1 2 1 2
用什么 点，从而可求出a，b的值
第(2)问
求什么
求△FMN面积的最大值，想到面积公式
2
想什么给什么 题干中给出直线l过点(－2,0)，可设出直线l的方程，利用弦长公式求|MN|，利
用什么 用点到直线的距离求d，从而可求△FMN的面积
2
差什么
要求△FMN面积的最值，需建立相关函数模型求解
2
找什么
【方法技巧】[解题技法]
求椭圆离心率的三种方法
1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关
于离心率e的一元二次方程求解．
3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒] 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，
否则将产生增根．
高频考点三 证明问题
【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于
A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
[破题思路]
第(1)问
求什么
求直线AM的方程，想到求直线AM的斜率或直线上的点的坐标
想什么
给什么 题目给出M的坐标及l与x轴垂直可利用l与x轴垂直求出l的方程，进而求出A
用什么 点坐标，并求出直线AM的方程
第(2)问
求什么
证明∠OMA＝∠OMB.可转化为证明直线MA与MB的斜率间的关系
想什么
给什么 题目中给出O点及M点的坐标，可求得 l与x轴重合、垂直两种特殊情况下
用什么 ∠OMA＝∠OMB
缺什么 缺少直线(不与x轴重合或垂直时)，直线l的方程及直线l与椭圆交点A，B的坐
找什么 标，可设直线l的方程及A，B两点的坐标求解
【方法技巧】
(一)思路受阻分析
解决本例(2)的关键是建立△FMN的面积S关于斜率k的关系式，然后通过换元构造一
2元二次函数求解，而很多同学因不会构造函数造成思路受阻无法继续求解．
(二)技法关键点拨
求圆锥曲线中范围、最值的2种方法
几何法 若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来求解
若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再
代数法
求这个函数的最值、范围．常用的方法有基本不等式法、导数法、判别式法等
【跟踪训练】
1．设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的
坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
2．在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为，以线段MF为直径的圆与x轴相切．
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)设T是E上横坐标为2的点，OT的平行线l交E于A，B两点，交曲线E在T处的
切线于点N，求证：|NT|2＝|NA|·|NB|.
