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专题 21.6 易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型
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目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【易错类型一 利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】....................................................................1
【易错类型二 利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】........................................................................3
【易错类型三 利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】.........................................................7
【易错类型四 利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】..........................................................................9
【易错类型五 与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】..........................................................................13
【典型例题】
【易错类型一 利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）若方程 是关于x的一元二次方程，则m
的值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系
数不等于0,即可进行求解,
【详解】由题意得:
解得:m=-2.
故答案为：
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
【变式训练】
1．（2023春·安徽马鞍山·八年级期中）若 是关于x的一元二次方程，则m的值
是 ．【答案】
【分析】根据 和 解得 的值．
【详解】由题意得
∴ 或
∵
∴
∴ 舍去
故
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和绝对值方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和绝对
值方程的相关知识．
2．（2023·全国·九年级假期作业）关于x的方程 是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．
【详解】解： 关于x的方程 是一元二次方程，
由①得：
由②得：
所以
故答案为：
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．
3．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知： 是关于x的一元二次方程，则
．
【答案】-3
【分析】根据一元二次方程的定义即得出 且 ，解出m即可．【详解】根据一元二次方程的定义可得： ，
解得： ．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握一元二次方程必须满足的两个条件：未知数的最高次数是
2；二次项系数不为0是解题关键．
4．（2023·全国·九年级假期作业）已知（m－1） ＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝ ．
【答案】－1
【分析】根据一元二次方程的定义m-1≠0，且 ，解答即可．
【详解】∵（m－1） ＋3x－5＝0是一元二次方程，
∴m-1≠0，且 ，
∴m-1≠0，且 ，
∴ ，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟
练掌握定义是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级假期作业）关于x的方程 是一元二次方程，则m＝
．
【答案】
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：依题意可得 ，
解得
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住
5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【易错类型二 利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】
例题：（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）关于x的一元二次方程 的一个根为
0，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】直接把 代入方程 中结合一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个根为0，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右
两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁丹东·九年级统考期末）若关于 的一元二次方程 有一个根为
0，则 ．
【答案】
【分析】把 代入方程 ，解方程即可求得 的值，且 ，从而即可得
到答案．
【详解】解：把 代入方程 得，
，
解得： ， ，
，
，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于 的一元二次方程
二次项系数不为零，即 ．
2．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）若关于 的一元二次方程 的一个实数根
为0，则 ．
【答案】1
【分析】把 代入方程得到关于 的方程，再解关于 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定
的值．
【详解】解：把 代入 ，得 ，
解得 ，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
3．（2023·全国·九年级假期作业）若 是一元二次方程 的一个根，则 的值是
．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 代入 得 ，然后解关于 的
方程即可．
【详解】解：把 代入 得 ，
解得 ，
，
，
．故答案为：2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，还考查了二次根式有意义的条件．
4．（2023·安徽芜湖·统考三模）关于x的一元二次方程 有一根为0，则m＝
．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程
即可求得m的值．
【详解】解： 关于x的一元二次方程 有一根为0，
满足关于x的一元二次方程 ，且 ，
，且m﹣1≠0，
解得： ；
故答案是： ．
【点睛】考查了一元二次方程的定义及解的概念，解题的关键是注意一元二次方程的二次项系数不为零．
5．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程
有一个根是 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的定义可得 ，根据一元二次方程的解的定义将 代入原方程，得到关
于 的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根是 ，
∴ 且 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
则 的值为 ．【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将 代入关于x的一元二次方程 得到关于k
的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
把 代入方程 ，得：
，
解得： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．
【易错类型三 利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】
例题：（2023春·浙江金华·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数
根，则k的值为（ ）
A．0或4 B．4或8 C．8 D．4
【答案】D
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式 ，建立方程，求出值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ， （舍去）．
∴k的值为4，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程 的根与 有如下关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3）
方程没有实数根⇔． ⇔
【变式⇔训练】
1．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】由于关于 的一元二次方程 有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知
，且 ，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，且 ，
解得， ，且 .
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 与根的关系，熟练掌握
根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，
一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．
2．（2023·福建福州·校考二模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取
值范围为 ．
【答案】 且
【分析】由方程 有两个不相等的实数根，则有 且 ，然后求它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得， 且 ，
即 ，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 （ ，a，b，c为常数）根的判别式．当 ，方程
有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．同时考查了一元
一次不等式的解法．3．（2023秋·四川泸州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程 有实数根，求m的取
值范围．
【答案】 且
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ，
解得 且 ，
故m的取值范围 且 ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：①当 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当 时，方程有两个相等的两个实数
根；③当 时，方程无实数根．
4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的
实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，用配方法解方程．
【答案】(1) 且
(2) ，
【分析】（1）根据题意，可得 ，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将 代入 ，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得： ，解得 且 ；
（2）解：当 时，原方程变为： ，
则有： ，
，
，
方程的根为 ， ．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程
是解题的关键．
【易错类型四 利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】
例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若 、 是关于 的方程
的两个不相等的实数根，且 ，则 的值为 ．
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系得到 ，再根据 得到 ，解方程
求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．
【详解】解：∵ 、 是关于 的方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
又∵方程有两个不相等的实数根，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方
程的相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根，且 ，则实数 ．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程 有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系
数关系得到 ，代入 ，解得 的值，根据求得的m的取值范
围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系
数关系的内容是解题的关键．2．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
(1)求k的取值范围；
(2)若 ， 满足 ，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式的意义得到 ，然后解不等式即可得到 的范围；
（2）根据根与系数的关系得到 ， ，由题意得出关于 的方程，则可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得 ，
解得 ；
的取值范围是 ．
（2）根据题意得 ， ，
， 满足 ，
，
，
，
，
经检验 是原方程的根，
，
．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，， ．也考查了根的判别式的意义．
3．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程 有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是 ， ，且 ，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得 ，继而求得实数 的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为 、 ，且 ，可得方程 ，解关于 的方程求
得答案．
【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
，
即 ；
（2）解：由根与系数的关系可知： ， ，
，
，
解得 或 ，
而 ，
的值为 ．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意 方程有两个不相等的实数根，若二次
项系数为1，常用以下关系： ， 是方程 的两根时， ， ．
4．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若 是方程的一个根，求 的值和方程的另一根；
(2)若 是方程的两个实数根，且满足 ，求 的值．【答案】(1) 的值为 ，另一个根为
(2) 的值为
【分析】（1）直接把 代入方程 中，求出m的值，再根据根与系数的关系求出另一个
根即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，再利用判别式求出 ，结合已知条件推出
，即 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将 代入方程得， ，
解得
设另一个根为 ，则 ，
解得
∴ 的值为 ，另一个根为 ；
（2）解：由题意得： ，
同时满足 即 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
解得 或 ，
∵
∴ ，
∴ 的值为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
【易错类型五 与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】
例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形 的一边长 ，另外两边的长 恰好是关于
的一元二次方程 的两个根，则 的周长为
【答案】15
【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出
三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据 求出k的值，然后将k的值代
入方程求出解，得出周长．
【详解】若 为腰，则 中还有一腰，即6是方程 的一个根．
∴
解得：
将 代入 得：
解得：． ，
此时能构成三角形， 的周长为：
若 为底，则 ，即方程 有两个相等的实根．
∴
解得：
将 代入 得：
解得：． ，
∵
∴此时不能构成三角形，不能计算周长
综上可得： 的周长为15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按
若 是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．
【变式训练】
1．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程 ，若等腰三角形ABC的一边长
a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则 ABC的周长为 ．
【答案】5 △
【分析】已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出 ABC的周长．注
意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． △
【详解】解：①若a=1为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0．
∴ ，
解得：k=2．
此时原方程化为 ，
∴ = =2，即b=c=2．
此时 ABC三边为1，2，2能构成三角形，
∴△A△BC的周长为：1+2+2=5；
②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
∵把x=1代入方程 ，得1-（k+2）+2k=0，
解得k=1，
∴此时方程为 ，
解得 =1， =2，
∴方程另一根为2，
∵1、1、2不能构成三角形，
∴此情况舍去．
综上所述，所求 ABC的周长为5．
故答案为：5． △
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三
边后，要用三边关系定理检验．2．（2023春·浙江·八年级期中）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程 的两根，则
这个三角形的周长为 ．
【答案】13
【分析】由题意可分当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x=3代入方程进行求解即可；当边长为3是
等腰三角形的底边时，则方程 有两个相等的实数根，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：
①当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x=3代入方程 得：
，解得： ，
∴原方程为 ，解得： ，
∴这个等腰三角形的三边长为3、3、7，不符合三角形三边关系，故舍去；
②当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
∴原方程为 ，解得： ，
∴这个等腰三角形的三边长为3、5、5，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为3+5+5=13；
故答案为13．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法与根的判别式及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的
解法与根的判别式及等腰三角形的定义是解题的关键．
3．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知 是关于x的方程 的一个实数
根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形 的两条边长．则：
（1）m的值为 ；
（2） 的周长为 ．
【答案】 2 10
【分析】（1）将 代入方程 求解即可；
（2）首先求出方程的两个根，然后根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】（1）把 代入方程
得 ，
解得 ；
（2）方程化为 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2，
∴ 的周长为 ．
故答案为：2，10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，也考查了三角形三边的关系．注意等腰三角形的问题要分类讨
论，考虑周全．
