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专题 21.5 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲
解）
第一部分【知识点归纳】
（1）一元二次方程 根的判别式
（ 2）一元二次方程 根与系数的关系
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况
【解题方法】一化：化为一般形式；二找：找出abc,并确定其值；三算：算
的值；四判：判断根的情况。
【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况．
(1) ； (2) ； (3) ．
【举一反三】
【变式1】（2024·山东滨州·二模）一元二次方程 的根的情况是（ ）A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根
C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【变式2】（2024·江苏连云港·二模）若一次函数 的图像经过第一、二、四象限，则方
程 有 个根．
【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围
【例2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程 ．
（1）当m取何值时，此方程没有实数根；
（2）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若关于x的一元二次方程 没有实数根，
则k的范围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【变式2】（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“ ”：对于任意实数 ， ，都有 ，其
中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如： ．若关于 的方程 有两个实
数根，则实数 的取值范围是 ．
【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明
【例3】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程 ．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么直线 一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）定义：如果一元二次方程 满足
，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程 是“蝴蝶”
方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
① ；② ；③ ；④ ．
【题型4】由已知方程的一根，由根与系数关系求另一根或字母系数
【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程 有一个根是 ，
（1）求b的值及方程的另一个根；
（2）若菱形对角线长分别为 、 ，则这个菱形面积为______．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知 的整数部分是方程 的一个根，则该
方程的另一根是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式2】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x的方程 有一个根
是 ，则另一个根为 ．
【题型5】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值
【例5】（2024·四川南充·三模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根．
（1）求实数 的取值范围，
（2）当 时，设方程的两个实数根分别为 ，求 的值．【举一反三】
【变式1】（2024·湖北黄石·二模）设 分别为一元二次方程 的两个实数根，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·山东济宁·三模）若关于 的方程 为正整数）的两根分别记为 ，
，如：当 时，方程的两根记为 ， ，则 ．
【题型6】根的判别式与根与系数关系的综合
【例6】（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知 两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长 ，若 的周长为偶数，求
m的值．
【举一反三】
【变式1】（2024·江苏无锡·一模）设 是关于x的一元二次方程 的两个实数
根，且 ，则m的值为（ ）
A．1 B． C．3或 D．1或
【变式2】（2024·北京东城·二模）若关于 的一元二次方程 的两个实数根的差等于
2，则实数 的值是 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；（2）若方程的两个根为 ， ，且 ，求 的值．
【例2】（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．
2、拓展延伸
【例1】（2023·四川南充·一模）关于 的一元二次方程 中， 、 、 是
的三条边，其中 ．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是 、 ，且 ，求 ．
【例2】（2023·江西新余·一模）已知平行四边形 的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方
程 的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k为何值时，四边形 是菱形；
(3)当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积．
