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专题 21.5 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲
解）
第一部分【知识点归纳】
（1）一元二次方程 根的判别式
（2）一元二次方程 根与系数的关系
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况
【解题方法】一化：化为一般形式；二找：找出abc,并确定其值；三算：算
的值；四判：判断根的情况。
【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况．
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)原方程有两个相等的实数根；(2)原方程有两个不相等的实数根；(3)原方程无实数根
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因
此根据一元二次方程根的判别式可分别求解（1）（2）（3）（1）解：原方程可化为 ，
，
∴原方程有两个相等的实数根．
（2）解：原方程可化为 ．
，
原方程有两个不相等的实数根．
（3）解：原方程可化为 ．
，
原方程无实数根．
【举一反三】
【变式1】（2024·山东滨州·二模）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根
C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的
关键．先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴根的判别式 ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选 ．
【变式2】（2024·江苏连云港·二模）若一次函数 的图像经过第一、二、四象限，则方程 有 个根．
【答案】两或2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质
得到 ，再计算判别式的值得到 ，则 ，然后根据判别式的意义判断方程根的情
况，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
解：∵一次函数 （k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴方程 有两个不相等的实数根．
故答案为：两．
【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围
【例2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程 ．
（1）当m取何值时，此方程没有实数根；
（2）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为 是解题的关键．
（1）利用判别式的意义得到 ，根据题意可得 ，即可解答；
（2）利用判别式的意义得到 ，根据题意可得 ，即可得到
m的最小整数值．
（1）解：关于x的一元二次方程 ，可得 ，
当 ，即 时，此方程没有实数根；
（2）解：∵ 有两个实数根，
∴ ，
∴ ；
∴m的最小整数值为 ．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若关于x的一元二次方程 没有实数根，
则k的范围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，熟练掌握根
的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，
一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式小于0且二
次项系数不等于0列式求解即可．
解：由题意，得 且 ．
解得 ．
故选D．
【变式2】（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“ ”：对于任意实数 ， ，都有 ，其
中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如： ．若关于 的方程 有两个实
数根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 且【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不
等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程
的根的判别式 ：当判别式 ，方程有两个不相等的实数根；当判别式
，方程有两个相等的实数根；当判别式 ，方程没有实数根．
解：∵ ，
∴ ，
整理可得 ，
又 关于 的方程 有两个实数根，
，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明
【例3】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程 ．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
（1）（1）证明：① 时，该方程为一元一次方程 ，有实数根 ；
② 时，该方程为一元二次方程，
，不论 为何值时， ，
，
方程总有实数根；
综上，不论 为何值时，方程总有实数根．
（2）解：解方程得， ，
， ，
方程有两个不相等的正整数根， 为整数，
．
【解题方法】方程有（没有）实数根常常要分类讨论，这是容易出错的地方
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个不相
等的实数根，那么直线 一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，先利用根的判别式的意义得到 ，解不等式得到 的取值
范围，然后根据一次函数的性质解决问题．掌握一元二次方程 的根与 有
如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，
方程无实数根．及一次函数的性质是解题的关键．
解：根据题意得 ，解得 ，
∴一次函数 的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【变式2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）定义：如果一元二次方程 满足
，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程 是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】③
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
根据方程有两个相等的实数根可得 ，结合 易得 ，
∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
将 代入 ，得 ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故填③．
【题型4】由已知方程的一根，由根与系数关系求另一根或字母系数
【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程 有一个根是 ，
（1）求b的值及方程的另一个根；
（2）若菱形对角线长分别为 、 ，则这个菱形面积为______．
【答案】(1) ，方程的另一个根为 ；(2)
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若 有两实数根
为 ， ，则 ， ．根据根与系数的关系求解即可．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，即可求解；（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
（1）
解：设方程的另一个根为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴ ，方程的另一个根为 ．
（2）解：∵菱形对角线长分别为 、 ，
∴菱形的面积为 ，
故答案为： ．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知 的整数部分是方程 的一个根，则该
方程的另一根是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数的估算，一元二次方程根与系数的关系，先确定 的整数部分，再根
据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根．
∵ ，
∴ 的整数部分是6，
∴一元二次方程 的一个根是6．
设另一个根是 ，则 ，解得 ，
所以另一个根是 ．
故选：A．
【变式2】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x的方程 有一个根
是 ，则另一个根为 ．
【答案】4
【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为 ，由两根之和等于 ，进行求解即可．
解：设方程的另一个根为 ，
则： ，
∴ ；
即：另一个根为 ；
故答案为：4．
【题型5】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值
【例5】（2024·四川南充·三模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根．
（1）求实数 的取值范围，
（2）当 时，设方程的两个实数根分别为 ，求 的值．
【答案】(1) ； (2)13
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了根的判别式．
（1）根据根的判别式的意义得到 ，然后解不等式即可；
（2） 时，方程变为 ，利用根与系数的关系得到 ， ，再将变形代入求解即可．
（1）解：根据题意得 ，
解得 ；
（2）解： 时，方程变为 ，
设方程的两个实数根分别为 ， ，
， ，
．
【举一反三】
【变式1】（2024·湖北黄石·二模）设 分别为一元二次方程 的两个实数根，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次
方程根的定义可得 ，进而得 ，由一元二次方程根和系数的关系可得
，再把 转化为 ，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键．
解：∵ 分别为一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【变式2】（2024·山东济宁·三模）若关于 的方程 为正整数）的两根分别记为 ，
，如：当 时，方程的两根记为 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．利用根与系数的关系得到 ， ； ， ；
， ．把原式变形，再代入，即可求出答案．
解： ， ，2，3， ，2020，
由根与系数的关系得： ， ； ， ； ，
，
原式
．
故答案为： ．【题型6】根的判别式与根与系数关系的综合
【例6】（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知 两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长 ，若 的周长为偶数，求
m的值．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）由根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得： ，则 的周长为 ，设 ，可
求 ，由此时 的周长为7，不是偶数，不符合题意，舍去；设 ，则：
，由三角形三边关系得， ， ，即 ， ，可
得 ，根据 的周长为 是偶数，求解作答即可．
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴此一元二次方程总有实数根；
（2）解：由题意得： ，
∴ 的周长为 ，
设 ，则 ，
解得， ，
此时 的周长为 ，不是偶数，不符合题意，舍去；
设 ，则： ，
由三角形三边关系得， ， ，即 ， ，
解得： ，
∵周长m为偶数，
∴ ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，
三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2024·江苏无锡·一模）设 是关于x的一元二次方程 的两个实数
根，且 ，则m的值为（ ）
A．1 B． C．3或 D．1或
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题
的关键是掌握一元二次方程 根与系数关系： ．
先根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，再得出
，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．
解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
，
解得： 或 ，
当 时，原方程为 ， ，
则原方程有实数根，符合题意；
当 时，原方程为 ， ，
则原方程无实数根，不符合题意；
综上： ．故选：A．
【变式2】（2024·北京东城·二模）若关于 的一元二次方程 的两个实数根的差等于
2，则实数 的值是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程 的两个
实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，设方程的两个根为 ， ，由
题意得： ， ， ，再利用完全平方公式的变形得出 ，求出
的 值，再利用判别式检验即可得出答案．
解：设方程的两个根为 ， ，
由题意得： ， ， ，
，
，
解得： 或 ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意，
综上所述，实数 的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；（2）若方程的两个根为 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出 ，把字母和数代入求出 的取
值范围；（2）根据两根之积为： ，把字母和数代入求出 的值．
（1）解： ，
∵有两个不相等的实数，
∴ ，
解得： ；
（2）∵方程的两个根为 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去）．
即： ．
【点拨】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握 ， 是方程 的
两根时， ， ．
【例2】（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．
【答案】(1)证明见解析； (2) 的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进
行求解．
（1）证明：∵ ，∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 的两个实数根为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
即 ．
解得 或 ．
∴ 的值为1或 ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式
及根与系数的关系是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（2023·四川南充·一模）关于 的一元二次方程 中， 、 、 是
的三条边，其中 ．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是 、 ，且 ，求 ．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的 ，再根据 、 、 是 的三条边，结合
，即可解答。
（2）根据韦达定理得 ， ，再用完全平方公式化简得 ，代入
即可解答。
（1）解：关于 的一元二次方程 去括号，整理为一般形式为：，
，
、 、 是 的三条边，其中 ，
，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个根是 、 ，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当 ，方
程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根是解题的关键．【例2】（2023·江西新余·一模）已知平行四边形 的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方
程 的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k为何值时，四边形 是菱形；
(3)当k为何值时，四边形 的两条对角线的长相等，且都等于 ，求出这时四边形 的周
长和面积．
【答案】(1) ；(2) ；(3)四边形 的周长是4，面积是 ．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．一元二次方程根
的判别式与根与系数的关系是应用；
（1）根据题意求出 且 ， ，求出不等式
组的解集即可；
（2）由菱形的性质可得 ，可得 ，再检验即可；
（3）先得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周
长和面积．
（1）解：∵平行四边形 的两邻边的长m，n是关于x的方程 的两个实数根，
∴ 且 ， ，
解得： ，
即k的取值范围是 ；
（2）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
解得： ，经检验 符合题意；
（3）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由勾股定理得： ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
把 代入方程得： ，
解方程得： ， 或 ， ，
∴矩形 的周长是 ，面积是 ．
即此时四边形的周长是4，面积是．
