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专题21.5 配方法（分层练习）
一、单选题
1．把 化成 （其中 是常数）形式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ， (m为任意实数)，则M、N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．对于任意的实数 ，代数式 的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
4．在平面直角坐标系 中，若已知点 ，则下列结论一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点 ，点 ，下列关于点P与点Q的位置关系说法正确的是（ ）
A．点P在点Q的右边 B．点P在点Q的左边
C．点P与点Q重合 D．点P与点Q的位置关系无法确定
6．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．在用配方法解方程 时，可以将方程转化为 其中所依据的一个数学公式是
（ ）
A． B．C． D．
8．已知 、 、 是 的三边且满足 ，则 的面积是（ ）
A．60 B．30 C．65 D．32.5
9．在平面直角坐标系xOy中，若已知点 ，则下列结论一定不成立的是
A． B． C． D．
10．已知点 为平面直角坐标系中一点，若 为原点，则线段 的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
11．P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣ ．已知OP=1．则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
12．已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好有一个相同
的实数根 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
13．多项式 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）A．（0，0） B．（－ ， ） C．（ ，－ ） D．（ ，－ ）
15．新定义，若关于x的一元二次方程： 与 ，称为“同族二次方程”．如
与 是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程： 与
是“同族二次方程”．那么代数式 能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
二、填空题
16．若用配方法解方程 时，将其配方为 的形式，则 ___________．
17．一元二次方程 ﹣4x＋m＝0配方后得 ＝n，则m＋n的值为________．
18．已知点 在一次函数 图象上，则 的最小值为______．
19． 的最大值为______．
20．已知多项式A＝x2﹣x+(3 )，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是________．
21．将 改写成 的形式为______．
22．已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 _____．
23．当x满足 时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是__．
24．若实数 ， 满足等式 ，则 _____．
25．如图，矩形 ， ， 的4个顶点都落在矩形边上，且有 ，设的面积为 ，矩形 的面积为 ，则 的最大值为__________．
26．若 ， 满足 ，则 的值为 ___________．
27．已知a、b、c满足 ， ， ，则 _______．
28．已知a、b、c为 的三边长，且a、b满足 ，c为奇数，则 的周长为
______．
29．在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上， 是等腰直角三角形， ，已知
．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为 _____．
30．有下列四个结论：
① ；
②某商品单价为 元．甲商店连续降价两次，每次都降10%．乙商店直接降20%．顾客选择甲或乙商店购
买同样数量的此商品时，获得的优惠是相同的；
③若 ，则 的值为 ；
④关于 的分式方程 的解为正数，则 ＞1．
请在正确结论的题号后的空格里填“√” ，在错误结论的题号后空格里填“×”：
①______； ②______； ③______； ④______三、解答题
31．用配方法解下列方程：
（1）4x2 -4x -1 = 0； （2）7x2 -23x +6 = 0.
32．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+1的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．
33．已知 与 互为相反数．
(1)求m，n的值．
(2)解关于x的方程： ．34．阅读材料：
①用配方法因式分解： ．
解：原式
．
②若 ，利用配方法求M的最小值．
解： ．
∵ ， ，
∴当 时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式： _____=______．
(2)用配方法因式分解： ．
(3)若 ，求M的最大值．
35．阅读材料：选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方： ；
②选取二次项和常数项配方： ，或③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出 三种不同形式的配方；
(2)已知 ，求 的值
(3)当 ， 为何值时，代数式 取得最小值，最小值为多少？
36．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（ ）2=a﹣2 +b≥0
∴a+b≥2 ，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+ 的最小值为 ．当x＜0时，x+ 的最大值为 ；
（2）若y= ，（x＞﹣1），求y的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， AOB、 COD的面积分别为4和9，求四边形
ABCD面积的最小值． △ △
参考答案
1．A
【分析】利用配方法进行求解即可．
【详解】解：，
故选A．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．
2．B
【分析】求出 的结果，再判断即可．
【详解】根据题意，可知 ，
所以 ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
3．B
【分析】原式配方后，利用正负数的性质判断即可．
【详解】解：原式
，
则原代数式的值是一个负数，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用：通过配方法把一个代数式变形为完全平方式，然后利用其正负性
解决问题．
4．A
【分析】勾股定理可得： ，再利用配方法求解 的最小值，再求解 的最小值，
从而可得答案．
【详解】由勾股定理可得：
当 时， 有最小值2
∴ 的最小值为
所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意
故选A【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．
5．A
【分析】由m2-（4m-5）=（m-2）2+1≥1，可得m2＞4m-5，由于点P、Q两点的纵坐标相同，所以点P在点
Q的右边．
【详解】解：∵m2-（4m-5）=（m-2）2+1≥1，
∴m2＞4m-5，
∴点P（m2，n）在点Q（4m-5，n）的右边．
故选：A．
【点拨】本题考查了点的坐标，坐标与图形，掌握完全平方公式以及配方法是解答本题的关键．
6．C
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x= ，
配方得：x2-x+ = ，即（x- ）2= ．
故选：C．
【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．B
【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可．
【详解】用配方法解方程 时，可以将方程转化为 ，
其中所依据的一个数学公式是 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据．
8．B
【分析】将a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338进行配方，求出a，b，c，根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形
状．
【详解】△ABC是直角三角形．理由是：
∵a2+b2+c2=10a+24b+26c﹣338，∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣
13）2=0，∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，即a=5，b=12，c=13．∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是 ×5×12=30．
故选B．
【点拨】本题考查了配方法的应用及勾股定理逆定理的应用，是基础知识，比较简单．
9．A
【分析】由勾股定理可得： ，再利用配方法求解 的最小值，再求解 的最小值，从
而可得答案．
【详解】解：由勾股定理可得：
当 时， 有最小值
∴ 的最小值为
所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意；
故选A
【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．
10．B
【分析】利用勾股定理求出两点的距离OP= 配方得 ，当 时，
OP 即可．
最小
【详解】 ，
OP= ，
，
，∴ ，OP ，
最小
故选择：B．
【点拨】本题考查勾股定理求两点距离问题，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键．
11．C
【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知 ，则 ，
根据x+y＝﹣ ，可得 ，且x＝﹣y﹣ 进而可得 ，则
，则 ，
解得： 或 （舍去），进而可知 ，则可求出 的值．
【详解】解：∵P（x．y）为第二象限上的点，
∴x＜0，y＞0，
∵OP=1，
∴ ，则 ，
∵x+y＝﹣ ，
∴ ，且x＝﹣y﹣
∴ ，
∴ ，
∴ ，化简得： ，
则 ，解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，故选：C．
【点拨】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方
程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．
12．A
【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出
（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相
加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+ ）2+ ＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
13．C
【分析】先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．
【详解】2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51
=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15
=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15
=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15
∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，
∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．
故选：C．
【点拨】本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解答本题
的关键．
14．D
【详解】∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），
则
所以，当 a= 即B（ ， ）时，AB最短,故选D.
15．B【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解： 与 为同族二次方程．
，
，
∴ ，
解得： ．
，
当 时， 取最小值为2013.
故选：B.
【点拨】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题
的关键．
16．
【分析】根据配方法进行计算即可求解．
【详解】解：
∴
即
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
17．4
【分析】把 ﹣4x＋m＝0配方得到 ，比较得到4-m=n，整理计算即可得到答案．
【详解】因为 ﹣4x＋m＝0配方得到 ，且 ＝n，
所以4-m=n，
解得m+n=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．18．
【分析】将点 代入一次函数解析式得出， ，代入代数式，根据配方法即可求解．
【详解】解：∵点 在一次函数 图象上，
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．
【分析】将式子配方成完全平方式即可得出答案．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，原式取得最大值 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解本题的关键．
20．
【分析】根据配方法可进行求解．
【详解】解：∵A＝x2﹣x+（3 ）＝x2﹣x +（3 ）＝（x ）2 （3 ），
若x取任何实数，A的值都不是负数，∴ （3 ）≥0，
解得： ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
21．
【分析】先移项得到x2+6x=-1，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式即可得到（x+3）2=8．
【详解】解：方程 ，
移项： ，
配方得：x2+6x+9=-1+9=8，即（x+3）2=8，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平
方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．注意方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
22．15
【分析】先利用配方法解方程得到x＝x＝3，再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰三角
1 2
形的腰为6，底边长为3，然后计算三角形的周长．
【详解】解：x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
解得x＝x＝3，
1 2
因为3+3＝6，不能构成三角形，
所以等腰三角形的腰为6，底边长为3，
所以三角形的周长＝6+6+3＝15．
故答案为：15．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平
方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
23．1
【分析】先求出不等式组的解集，然后解一元二次方程，结合不等式的解集即可得到答案．【详解】解：解不等式组 ，
得：2＜x＜4，
∵x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝± ，
∴x ＝1 ，x ＝1 ．
1 2
而2＜x＜4，
∴x＝1 ．
故答案为：1 ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
24．
【分析】利用因式分解法解 ，求出 ，进而求出 ，再代入代数式求值即可．
【详解】解：
，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查利用因式分解法解方程，以及根据字母的值，求代数式的值．通过因式分解法求出 的值是解题的关键．
25．
【分析】设 ，由矩形和平行四边形的性质，易得△AFE≌△CHG，
△BFG≌△DHE； 的面积等于矩形 的面积减去△AFE、△CHG、△BFG、△DHE，据此计算得解．
【详解】设 ，则 ，
，∴当 时， 的最大值为
∴ 的最大值为 ： ．
【点拨】本题考查矩形中平行四边形面积的最大值，关键是设未知数，建立代数关系，运用配方法求最值．
26．
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出 ， 的值，代入原式计算即可得到
结果．
【详解】解：已知等式变形得： ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
则 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
27．3
【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非
负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值．
【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
，
即 ，∴ ，
∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
【点拨】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．
28．8
【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
【详解】 ，
，
，
， ，
边长c的范围为 ．
边长c的值为奇数，
，
的周长为 ．
故答案为8．
【点拨】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是
解题的关键．
29．（ ， ）
【分析】设 ，过A作 轴于点D，过C作 轴，交AD于点E，证明 ，
进而用b表示C点坐标，再由中点公式求得M点的坐标．
【详解】解：过A作 轴于点D，过C作 轴，交AD于点E，如图所示，∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵M为BC的中点，
∴ ，
∴ ，
当 时，PM有最小值，∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助
线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30． × × √ ×
【分析】①根据异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即可得出答案；②根据题意，即
可得出答案；③将多项式通过配方法化为平方和的形式，即可解出 的值，然后再根据负指数幂的性质，
即可得出答案；④首先解出分式方程的解，得出 ，再根据 为正数，得出 的取值范围，再根据分
式的意义，得出 ，进而得出 ，即可得出 的取值范围．
【详解】①∵ ，故错误；
②由题意得甲商店优惠： 元，乙商店优惠为： 元，故错误；
③ ，
，
即 ，
解得： ，
∴ ，故正确；
④由题意得： ，
解得： ，
∵ 为正数，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 的范围为： 且 ，故错误．
【点拨】本题属于综合题，考查了异分母分式相加减、配方法、负整数指数幂、解分式方程，解本题的关
键在熟练掌握相关方法和性质．31．（1） ，（2）3, ；
【分析】移项、然后二次项系数化成1，配方、根据平方根的定义转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】(1) 移项,得：
二次项系数化成1得：
配方,
即 ,则
解得：
(2)方程变形得：
配方得：
即
开方得：
解得：
【点拨】考查配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程的左边化成含有未知数的完全平方式，右边是
一个非负数的性质，根据平方根的定义，直接开方即可.
32．（1） ；（2）5．
【分析】（1）根据题中的解法即可得到答案；
（2）同理（1）.
【详解】（1）m2+m+1=m2+m+ + =（m+ ）2+ ≥ ，则m2+m+1的最小值是 ；
（2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值是5．
【点拨】本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利
用非负数的性质即可得解.
33．(1)
(2)
【分析】（1）根据相反数的定义得到 ，利用非负性得到 ，即可
求出m，n的值；
（2）将m，n的值代入方程，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ；
（2）∵ ，
∴方程为 ，∴ ．
【点拨】此题考查了解一元二次方程，绝对值的非负性及二次根式的非负性，相反数的定义，正确掌握非
负性求出m，n的值是解题的关键．
34．(1)4；
(2)
(3)M的最大值3
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可求解；
（2）将143化成 ，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取 ，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
故答案为：4；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵ ，
∴当 时，M有最大值，最大值为3．【点拨】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．
35．(1)见解析
(2)
(3)当 ， 时， 取得最小值，最小值为
【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形
式；
（2）首先根据配方法把 变形为 ，再根据偶次方的非负性，得
出 ， ，解出 、 的值，然后将 、 的值代入代数式 ，计算即可得出结果；
（3）首先根据配方法把代数式 变形为 ，再根据偶次方的非负
性，得出 ，进而得出当 ， 时， 取得最小
值，再进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，
；
第二种形式：选取二次项和常数项配方，
；
或
；
第三种形式：选取一次项和常数项配方，；
（2）解： ，
配方，得： ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ；
（3）解：
，
∵ ，
∴ ，
当 ， 时， 取得最小值，
即当 ， 时， 取得最小值，最小值为 ．
【点拨】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．
36．（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．
【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0， 0，则也可以按公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y 的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加
上常数即可；
（3）设S BOC=x，已知S AOB=4，S COD=9，由三角形面积公式可知：S BOC：S COD=S AOB：
△ △ △ △ △ △
S AOD，用含x的式子表示出S AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数
△ △
即可．
【详解】（1）当x＞0时，x 2 2；
当x＜0时，﹣x＞0， 0．
∵﹣x 2 2，∴则x （﹣x ）≤﹣2，∴当x＞0时，x 的最小值为 2．当x＜0
时，x 的最大值为﹣2．
故答案为2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y =（x+1） 5≥2
5=4+5=9，∴y的最小值为9．
（3）设S BOC=x，已知S AOB=4，S COD=9
△ △ △
则由等高三角形可知：S BOC：S COD=S AOB：S AOD，∴x：9=4：S AOD，∴S AOD ，∴四边形
△ △ △ △ △ △
ABCD面积=4+9+x 13+2 25．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．
【点拨】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用
