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专题 21.6 一元二次方程的七大解法专项训练（60 题）
【人教版】
【解法1 直接开平方法解一元二次方程】
1．（23-24九年级·广东东莞·阶段练习）解方程：4x2−25=0．
5
【答案】x=±
2
【分析】本题考查了解一元二次方程，直接用开平方法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关
键．
【详解】解：4x2−25=0，
∴4x2=25，
25
∴x2=
，
4
5
∴x=± ．
2
2．（23-24九年级·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)x2−9=0
(2)3x2−54=0．
【答案】(1)x =3,x =−3
1 2
(2)x =3❑√2,x =−3❑√2
1 2
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键；
（1）根据直接开平方法可进行求解方程；
（2）根据直接开平方法可进行求解方程
【详解】（1）解：移项，得x2=9，
根据平方根的意义，得x=±3，
即x =3,x =−3．
1 2
（2）解：移项，得3x2=54，
两边同除以3，得x2=18，
根据平方根的意义，得x=±3❑√2，即x =3❑√2,x =−3❑√2．
1 2
3．（23-24九年级·上海·假期作业）解方程：
(1)3x2−27=0
(2)(x−5) 2−36=0
1
(3) (x−2) 2=6
2
(4)(y+4)(y−4)−9=0
【答案】(1)x =3,x =−3
1 2
(2)x =11,x =−1
1 2
(3)x =2❑√3+2,x =−2❑√3+2
1 2
(4)y =5,y =−5
1 2
【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程．
（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；
（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；
（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；
（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．
【详解】（1）解：3x2−27=0，
3x2=27，
x2=9，
∴x =3,x =−3；
1 2
（2）(x−5) 2−36=0，
(x−5) 2=36，
x−5=6或x−5=−6，
∴x =11,x =−1；
1 2
1
（3） (x−2) 2=6，
2
(x−2) 2=12，x−2=2❑√3或x−2=−2❑√3，
x=2❑√3+2或x=−2❑√3+2，
即：x =2❑√3+2,x =−2❑√3+2；
1 2
（4）(y+4)(y−4)−9=0，
y2−16−9=0，
y2=25，
y=±5，
即y =5,y =−5．
1 2
4．（23-24九年级·全国·课后作业）求x的值：4(x−1) 2=16．
【答案】x=3或x=−1
【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，
方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；
【详解】解：∵4(x−1) 2=16
∴(x−1) 2=4
∴x−1=2或x−1=−2，
解得x=3或x=−1．
5．（23-24九年级·浙江·专题练习）求下列方程中x的值：
100
(1)x2− =0；
9
(2)(x−1) 2=49．
10 10
【答案】(1)x = ,x =−
1 3 2 3
(2)x =8，x =−6
1 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）先移项，再开平方即可得到答案；
（2）直接开平方即可得到答案．100
【详解】（1）解：∵x2− =0，
9
100
∴x2=
，
9
10 10
则x = ,x =− ；
1 3 2 3
（2）解：∵(x−1) 2=49，
x−1=7或x−1=−7，
解得x =8，x =−6．
1 2
6．（23-24九年级·上海松江·期中）解关于的x方程：ax2=2(a≠0)
❑√2a
【答案】x=± (a>0)
2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵ax2=2(a≠0)，
2
∴x2=
，
a
❑√2a
∴x=± (a>0)．
2
7．（23-24九年级·上海青浦·期末）解关于x的方程：(m−2) 2x2−4=0(m≥2)．
2 2
【答案】当m=2时，原方程无解，当m>2时，x= 或x=−
m−2 m−2
4
【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出x2=
，再分情况：当m=2时，当m>2时，分别
(m−2) 2
求解即可得出答案．
【详解】解：∵(m−2) 2x2−4=0，
∴(m−2) 2x2=4，
4
∴x2=
，
(m−2) 2
∵m≥2，
∴当m=2时，原方程无解，2 2
当m>2时，x= 或x=− ．
m−2 m−2
【解法2 配方法解一元二次方程】
8．（23-24九年级·上海青浦·期中）用配方法解方程：x2−2❑√2x−4=0
【答案】x =❑√2+❑√6，x =❑√2−❑√6
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方
法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可．
【详解】解：移项得，x2−2❑√2x=4，
配方得，x2−2❑√2x+2=4+2，
即(x−❑√2) 2=6，
x−❑√2=±❑√6，
x =❑√2+❑√6，x =❑√2−❑√6．
1 2
∴方程的解为x =❑√2+❑√6，x =❑√2−❑√6．
1 2
9．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：
(1)x2+4x=2；
7
(2)x2−3x− =0；
4
(3)4x2−8x=−3；
(4)4x2+4x+10=1−8x
【答案】(1)x =−2+❑√6，x =−2−❑√6
1 2
1 7
(2)x =− ，x =
1 2 2 2
1 3
(3)x = ，x =
1 2 2 2
3
(4)x =x =−
1 2 2【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用配方法解一元二次方程即可；
（4）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2+4x=2，
(x+2) 2=6，
x =−2+❑√6，x =−2−❑√6；
1 2
7
（2）解：x2−3x− =0，
4
( 3) 2 7 9
x− = + =4，
2 4 4
1 7
x =− ，x = ；
1 2 2 2
（3）解：4x2−8x=−3，
(2x−2) 2=−3+4=1，
1 3
x = ，x = ；
1 2 2 2
（4）解：4x2+4x+10=1−8x，
4x2+12x+9=0，
(2x+3) 2=0，
3
x =x =− ．
1 2 2
10．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1)x2+4x+4=0；
(2)2x2−3x+2=0．
【答案】(1)x =x =−2
1 2
(2)原方程无实数根
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；（1）由题意易得x2+4x=−4，然后进行配方即可求解；
3
（2）由题意易得2x2−3x=−2，则有x2− x=−1，然后进行配方即可求解
2
【详解】（1）解：移项，得x2+4x=−4，
配方，得x2+4x+22=−4+22，
即(x+2) 2=0，
∴x =x =−2．
1 2
（2）解：移项，得2x2−3x=−2．
3
二次项系数化为1，得x2− x=−1．
2
配方，得x2− 3 x+ ( − 3) 2 =−1+ ( − 3) 2 ，
2 4 4
( 3) 2 7
即 x− =− ．
4 16
因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．
11．（23-24九年级·全国·专题练习）用配方法解方程x2−4x−5=0．
【答案】x =5，x =−1
1 2
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程是关键．运用配方法求解即可．
【详解】解：方程移项得：x2−4x=5，
配方得：x2−4x+4=9，
即(x−2) 2=9，
开方得：x−2=3或x−2=−3，
解得：x =5,x =−1．
1 2
12．（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：2x2+4x+1=0．
−2+❑√2 −2−❑√2
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加
上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解．
【详解】解：2x2+4x+1=0，
1
原方程化为x2+2x=−
，
21
配方得x2+2x+1=1−
，
2
1
即(x+1) 2= ，
2
❑√2
开方得x+1=± ，
2
❑√2 −2±❑√2
x=−1± = ，
2 2
−2+❑√2 −2−❑√2
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
13．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程：x2−14x+21=0
【答案】x =7+2❑√7，x =7−2❑√7．
1 2
【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解．
【详解】解：x2−14x+21=0，
移项得x2−14x=−21，
配方得x2−14x+49=−21+49，即(x−7) 2=28，
∴x−7=2❑√7，
∴x =7+2❑√7，x =7−2❑√7．
1 2
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键．
14．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1)x2−x−6=0；
(2)3 y2+1=2❑√3 y．
【答案】(1)x =3，x =−2；
1 2
❑√3
(2)y = y = ．
1 2 3
【详解】解：（1）移项，得x2−x=6．
配方，得x2−x+
(1) 2
=6+
(1) 2
，
2 2
( 1) 2 25
即 x− = ．
2 41 5 1 5
直接开平方，得x− = 或x− =− ，
2 2 2 2
解得x =3，x =−2．
1 2
（2）移项，得3 y2−2❑√3 y+1=0．
二次项系数化为1，得y2− 2❑√3 y+ 1 =0，即 ( y− ❑√3) 2 =0．
3 3 3
❑√3
直接开平方，得y− =0，
3
❑√3
解得y = y = ．
1 2 3
15．（23-24九年级·全国·课后作业）用配方法解方程：
(1)(2x−1) 2=4x+9；
(2)5 y2+(2y−3) 2=14．
【答案】(1)x =1+❑√3,x =1−❑√3
1 2
5 1
(2)y = ,y =−
1 3 2 3
【分析】（1）根据完全平方公式，化为(x+a) 2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解；
（2）根据完全平方公式，化为(x+a) 2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解．
【详解】（1）解：(2x−1) 2=4x+9，
x2−2x−2=0，
x2−2x+1=3，
(x−1) 2=3，
∴x−1=❑√3或x−1=−❑√3．
∴x =1+❑√3,x =1−❑√3．
1 2
（2）解：5 y2+(2y−3) 2=14，9 y2−12y−5=0，
4 4 5 4
y2− y+ = + ，
3 9 9 9
2 2
∴(y− ) =1．
3
2 2
∴y− =1或y− =−1．
3 3
5 1
∴y = ,y =− ．
1 3 2 3
【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键．
【解法3 因式分解法解一元二次方程】
16．（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）解方程：
(1)x2−7x+10=0．
(2)(x−3) 2=2x−6
【答案】(1)x =5，x =2
1 2
(2)x =3，x =5
1 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，学会用适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用十字相乘法进行因式分解即可求解；十字相乘法是把二次三项式ax2+bx+c(a≠0)形式的式子，
分解因式为(px+q)(mx+n)的方法．其中p、q、m、n是常数，且pm=a，qn=c，pn+qm=b．通过寻
找合适的数对来实现因式分解．
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：因式分解，得(x−5)(x−2)=0，
则有x−5=0或x−2=0，
解得x =5，x =2．
1 2
（2）解：(x−3) 2=2x−6
(x−3) 2=2(x−3)
(x−3) 2−2(x−3)=0
则(x−3)(x−5)=0，∴ x−3=0或x−5=0，
解得：x =3，x =5．
1 2
17．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：
(1)(x−3)(2x+1)=(x−3) 2．
(2)(x+1)(x−2)+2(2−x)=0
(3)3x(x−1)=2−2x
【答案】(1)x=3或x=−4
(2)x=2或x=1
2
(3)x=1或x=−
3
【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：(x−3)(2x+1)=(x−3) 2，
移项得，(x−3)(2x+1)−(x−3) 2=0，
因式分解得，(x−3)(2x+1−x+3)=0，即(x−3)(x+4)=0，
∴x−3=0或x+4=0，
∴x=3或x=−4．
（2）解：(x+1)(x−2)+2(2−x)=0，
因式分解得，(x−2)(x+1−2)=0，即(x−2)(x−1)=0，
∴x−2=0或x−1=0，
∴x=2或x=1．
（3）解：3x(x−1)=2−2x，
移项得，3x(x−1)+2(x−1)=0，
因式分解得，(x−1)(3x+2)=0，
∴x−1=0或3x+2=0，
2
∴x=1或x=− ．
3
18．（23-24九年级·山东滨州·期末）解方程：(1)x2−6x+5=0；
(2)(y+1) 2=(2y−1) 2．
【答案】(1)x =5，x =1
1 2
(2)y =0，y =2
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二方程的常用方法和步骤．
（1）运用因式分解法解该一元二次方程即可；
（2）运用因式分解法解该一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2−6x+5=0，
∴(x−5)(x−1)=0，
∴x =5，x =1；
1 2
（2）解：(y+1) 2=(2y−1) 2，
∴(y+1) 2−(2y−1) 2=0，
∴(y+1+2y−1)(y+1−2y+1)=0，
∴3 y(2−y)=0，
∴y =0，y =2．
1 2
19．（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）解方程：
(1)x2−4x−5=0；
(2)3x(x−1)=2(x−1)．
【答案】(1)x =−1,x =5
1 2
2
(2)x =1,x =
1 2 3
【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．
（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）整理后根据因式分解法解方程即可；
【详解】（1）解：x2−4x−5=0，
因式分解得(x+1)(x−5)=0，
∴x+1=0或x−5=0，解得x =−1,x =5．
1 2
（2）解：原方程可变形为：3x(x−1)−2(x−1)=0，
因式分解得(x−1)(3x−2)=0，
∴x−1=0或3x−2=0，
2
解得x =1,x = ．
1 2 3
20．（23-24九年级·山东泰安·期末）解方程：
(1)5x2−2=3x
(2)3(x+3) 2=x(x+3)
2
【答案】(1)x =1，x =−
1 2 5
9
(2)x =−3，x =−
1 2 2
【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x−1=0或5x+2=0，然后解一次方程即可；
（2）先移项得到3(x+3) 2−x(x+3)=0，再利用因式分解法把方程转化为x+3=0或2x+9=0，然后解一
次方程即可．
【详解】（1）5x2−2=3x，
5x2−3x−2=0，
(x−1)(5x+2)=0，
x−1=0或5x+2=0，
2
所以x =1，x =− ；
1 2 5
（2）3(x+3) 2=x(x+3)，
3(x+3) 2−x(x+3)=0，
(x+3)[3(x+3)−x)=0，
(x+3)(2x+9)=0，x+3=0或2x+9=0，
9
所以x =−3，x =− ；
1 2 2
21．（23-24九年级·浙江宁波·期末）解方程：
(1)2x2−3x=0；
(2)3x2−5x−2=0．
3
【答案】(1)x =0，x =
1 2 2
1
(2)x =− ，x =2
1 3 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵2x2−3x=0，
∴x(2x−3)=0，
∴x=0或2x−3=0，
3
解得：x =0，x = ；
1 2 2
（2）解：∵3x2−5x−2=0，
∴(3x+1)(x−2)=0，
∴3x+1=0或x−2=0，
1
解得：x =− ，x =2．
1 3 2
22．（23-24九年级·浙江金华·期末）解方程：
(1)2x2−x=0；
(2)5x2+2x−3=0．
1
【答案】(1)x =0，x = ；
1 2 2
3
(2)x = ，x =−1．
1 5 2
【分析】（1）利用因式分解法解答即可求解；（2）利用因式分解法解答即可求解；
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵2x2−x=0，
∴x(2x−1)=0，
∴x=0或2x−1=0，
1
∴x =0，x = ；
1 2 2
（2）解：∵5x2+2x−3=0，
∴(5x−3)(x+1)=0，
∴5x−3=0或x+1=0，
3
∴x = ，x =−1．
1 5 2
23．（23-24九年级·浙江杭州·期中）解方程：
(1)x2−2x=15.
(2)(x−1)(x+5)=−2(x+5)；
【答案】(1)x=5或x=−3
(2)x=−1或x=−5
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答.
（1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.
（2）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.
【详解】（1）解：x²−2x=15,
(x−5)(x+3)=0,
即:x−5=0或x+3=0,
∴x=5或x=−3；
（2）解：(x−1)(x+5)=−2(x+5),
(x−1)(x+5)+2(x+5)=0,
(x−1+2)(x+5)=0,
即: x+1=0或x+5=0,
∴x=−1或x=−5．
【解法4 公式法解一元二次方程】
24．（23-24九年级·全国·单元测试）用公式法解下列方程：(1)x2−x−12=0；
(2)2x2+5x−3=0；
(3)2x2−7x+7=0；
(4)x2−2❑√3x−1=0．
【答案】(1)x =4,x =−3
1 2
1
(2)x = ，x =−3
1 2 2
(3)方程无解
(4)x =❑√3+2，x =❑√3−2
1 2
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键．
（1）由题意易得a=1,b=−1,c=−12，然后根据公式法可进行求解；
（2）由题意易得a=2,b=5,c=−3，然后根据公式法可进行求解；
（3）由题意易得a=2,b=−7,c=7，然后根据公式法可进行求解；
（4）由题意易得a=1,b=−2❑√3,c=−1，然后根据公式法可进行求解．
【详解】（1）解：∵x2−x−12=0
∴a=1,b=−1,c=−12，
∴△=b2−4ac=1+4×1×12=49>0，
−b±❑√b2−4ac 1±❑√49 1±7
∴x= = = ，
2a 2 2
∴x =4，x =−3．
1 2
（2）解：∵2x2+5x−3=0
∴a=2,b=5,c=−3，
∴Δ=b2−4ac=25+4×2×3=49>0，
−b±❑√b2−4ac −5±❑√49 −5±7
∴x= = = ，
2a 4 4
1
∴x = ，x =−3．
1 2 2
（3）解：∵2x2−7x+7=0
∴a=2,b=−7,c=7，
∴Δ=b2−4ac=49−4×2×7=−7<0，
∴原方程无解．（4）解：∵x2−2❑√3x−1=0，
∴a=1，b=−2❑√3，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−2❑√3) 2 −4×1×(−1)=16，
−b±❑√b2−4ac 2❑√3±❑√16
∴x= = =❑√3±2，
2a 2
∴x =❑√3+2，x =❑√3−2．
1 2
25．（23-24九年级·广西梧州·期末）用公式法解方程：x2−x−3=0．
1+❑√13 1−❑√13
【答案】x = ，x = ．
1 2 2 2
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用公式法求解一元二次方程是解题的关键．
用公式法求解即可．
【详解】解：∵a=1，b=−1，c=−3，
∴Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×1×(−3)=13>0，
−(−1)±❑√(−1) 2−4×1×(−3)
x= ，
2×1
1±❑√13
∴x= ，
2
1+❑√13 1−❑√13
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
26．（23-24九年级·广西南宁·阶段练习）（用公式法）解一元二次方程：2x2−6x−3=0．
3+❑√15 3−❑√15
【答案】x = ,x =
1 2 2 2
【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键
【详解】解：∵a=2,b=−6,c=−3
∴Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×2×(−3)=60，
6±2❑√15 3±❑√15
∴x= = ，
2×2 2
3+❑√15 3−❑√15
∴x = ,x =
1 2 2 2
27．（23-24九年级·安徽滁州·期末）解方程：x(3x−5)=9−7x．−1+2❑√7 −1−2❑√7
【答案】x = ，x =
1 3 2 3
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．
−1±2❑√7 −1+2❑√7
原方程化为3x2+2x−9=0，得根的判别式Δ=112，得到x= ，即得x = ，
3 1 3
−1−2❑√7
x = ．
2 3
【详解】解：方程化为3x2+2x−9=0，
a=3，b=2，c=−9．
Δ=b2−4ac=22−4×3×(−9)=112>0，
∴方程有两个不等的实数根，
−b±❑√b2−4ac −2±❑√112 −1±2❑√7
∴x= = = ，
2a 2×3 3
−1+2❑√7 −1−2❑√7
即x = ，x = ．
1 3 2 3
28．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：2x2−x+2=3x+1．
2+❑√2 2−❑√2
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解．
【详解】解：2x2−x+2=3x+1，
2x2−4x+1=0，
a=2，b=−4，c=1，
Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×2×1=8>0．
方程有两个不等的实数根，
−b±❑√b2−4ac −(−4)±❑√8 4±2❑√2 2±❑√2
x= = = = ，
2a 2×2 4 2
2+❑√2 2−❑√2
即x = ，x = ．
1 2 2 2
29．（23-24九年级·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
(1)x2−x−12=0；
(2)2x2+5x−3=0；
(3)2x2−7x+7=0．【答案】(1)x =4,x =−3
1 2
1
(2)x = ，x =−3
1 2 2
(3)方程无解
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键；
（1）由题意易得a=1,b=−1,c=−12，然后根据公式法可进行求解；
（2）由题意易得a=2,b=5,c=−3，然后根据公式法可进行求解；
（3）由题意易得a=2,b=−7,c=7，然后根据公式法可进行求解．
【详解】（1）解：x2−x−12=0
∴a=1,b=−1,c=−12，
∴Δ=b2−4ac=1+4×1×12=49>0，
−b±❑√b2−4ac 1±❑√49 1±7
∴x= = = ，
2a 2 2
∴x =4，x =−3；
1 2
（2）解：2x2+5x−3=0
∴a=2,b=5,c=−3，
∴Δ=b2−4ac=25+4×2×3=49>0，
−b±❑√b2−4ac −5±❑√49 −5±7
∴x= = = ，
2a 4 4
1
∴x = ，x =−3；
1 2 2
（3）解：2x2−7x+7=0
∴a=2,b=−7,c=7，
∴Δ=b2−4ac=49−4×2×7=−7<0，
∴原方程无解．
30．（23-24·广东深圳·模拟预测）解方程：2x2+4x−11=0．
❑√26 ❑√26
【答案】x =−1− ,x =−1+
1 2 2 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：2x2+4x−11=0
∴a=2,b=4,c=−11，Δ=b2−4ac=16+88=104−b±❑√b2−4ac −4±2❑√26
∴x= =
2a 4
❑√26 ❑√26
解得：x =−1− ,x =−1+
1 2 2 2
31．（23-24九年级·吉林长春·期中）解方程：x2−2❑√3x−1=0．
【答案】x =❑√3+2，x =❑√3−2
1 2
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求
解即可．
【详解】解：一元二次方程x2−2❑√3x−1=0中，a=1，b=−2❑√3，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−2❑√3) 2 −4×1×(−1)=16，
−b±❑√b2−4ac 2❑√3±❑√16
∴x= = =❑√3±2，
2a 2
∴x =❑√3+2，x =❑√3−2．
1 2
32．（23-24九年级·山东威海·期中）用公式法解方程：(x−2)(3x−5)=1．
11+❑√13 11−❑√13
【答案】x = ，x =
1 6 2 6
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：方程化为3x2−11x+9=0．
∴a=3,b=−11,c=9，
Δ=b2−4ac=121−4×3×9=13
−b±❑√b2−4ac 11±❑√13
∴x= = ．
2a 6
11+❑√13 11−❑√13
解得：x = ，x = ．
1 6 2 6
33．（23-24九年级·山东淄博·期中）公式法解方程：3x2−9x+2=0．
9+❑√57 9−❑√57
【答案】x = ,x =
1 6 2 6
9±❑√57
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出Δ=b2−4ac=57，则x= ，据此可得答案．
6
【详解】解：∵3x2−9x+2=0，
∴a=3，b=−9，c=2，
∴Δ=b2−4ac=81−24=57，9±❑√57
∴ x= ，
6
9+❑√57 9−❑√57
解得x = ，x = ．
1 6 2 6
【解法5 换元法解一元二次方程】
34．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：x2+ 1 −2 ( x+ 1) −1=0
x2 x
3+❑√5 3−❑√5
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方
程变形是解题的关键．
( 1) 2 ( 1) 1
利用完全平方公式把方程变形为 x+ −2 x+ −3=0，设x+ =m，则m2−2m−3=0，通过解一
x x x
1
元二次方程可得m的值，即可求出x+ 可能的值，然后再分别得出分式方程求解即可．
x
【详解】解：∵x2+ 1 −2 ( x+ 1) −1=0，
x2 x
∴x2+ 1 +2−2 ( x+ 1) −3=0，即： ( x+ 1) 2 −2 ( x+ 1) −3=0，
x2 x x x
1
设x+ =m，则m2−2m−3=0，
x
因式分解得：(m−3)(m+1)=0，
∴m−3=0或m+1=0，
解得：m=3或m=−1，
1
当m=3时，则x+ =3，
x
整理得：x2−3x+1=0，
−b±❑√b2−4ac 3±❑√9−4 3±❑√5
∴x= = = ，
2a 2 2
3+❑√5 3−❑√5
解得：x = ，x = ，
1 2 2 2
3+❑√5 3−❑√5 1
经检验，x = ，x = 都是方程x+ =3的解3；
1 2 2 2 x
1
当m=−1时，则x+ =−1，
x整理得：x2+x+1=0，
Δ=b2−4ac=1−4=−3<0，
1
∴x+ =−1时，方程无解．
x
3+❑√5 3−❑√5
综上，该方程的解为：x = ，x = ．
1 2 2 2
35．（23-24九年级·安徽·专题练习）(y−3) 2+3(y−3)+2=0．
【答案】y=2或y=1
【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将(y−3)看作一个整体，设y−3=t，利用因式分解法求得t
的值，进而即可求得y．
【详解】解：设y−3=t，则原方程即t2+3t+2=0，
∴(t+1)(t+2)=0，
∴t+1=0或t+2=0，
解得t=−1或t=−2，
∴y−3=−1或y−3=−2，
解得，y=2或y=1．
36．（23-24九年级·广东汕头·期末）若实数x，y满足(x2+ y2 )(x2+ y2−2)=3，求x2+ y2的值．
【答案】x2+ y2=3．
【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，
将x2+ y2看成一个整体t，转换成一个关于t的一元二次方程求解即可．
【详解】解：令x2+ y2=t，则，
原方程变为，t(t−2)=3，
即，t2−2t−3=0，
(t−3)(t+1)=0
解得：t =3，t =−1；
1 2
又∵x2+ y2≥0，
∴x2+ y2=3．
6
37．（23-24九年级·北京朝阳·期中）解方程：x2−2x− =1．
x2−2x
【答案】x =3,x =−1
1 2
【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
可根据方程特点设y=x2−2x，则原方程可化为y2−y−6=0，解一元二次方程求y，再求x．
6
【详解】设y=x2−2x，则原方程化为y− =1
y
∴ y2−y−6=0，
即(y−3)(y+2)=0，
解得y =−2，y =3．
1 2
当y =−2时，x2−2x=−2，该方程无解，
1
当y =3时，x2−2x=3．
2
解得x =3，x =−1，
1 2
6
检验：当x =3时，原方程左边=9−6− =3−2=1=右边，
1 9−6
6
当x =−1时，原方程左边=1+2− =3−2=1=右边，
2 1+2
∴x =3，x =−1都是原方程的根，
1 2
∴原方程的根是x =3，x =−1．
1 2
38．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）解方程：(2x−5) 2−2(2x−5)−3=0．
【答案】x =4，x =2
1 2
【分析】根据“整体换元法” 设2x−5= y，则原方程可化为：y2−2y−3=0，解新的一元二次方程，
解出未知数后代入即可求解原方程的解．
【详解】解：设2x−5= y，
则原方程可化为：y2−2y−3=0，
解得：y =3，y =−1，
1 2
当y=3时，即2x−5=3，解得x=4，
当y=−1时，即2x−5=−1，解得x=2，
∴原方程的解为x =4，x =2．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解
此题的关键．
39．（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）已知(x2+2) 2 −8(x2+1)−1=0，求x2+2的值．
【答案】x2+2的值为7或1
【分析】设x2+2= y，则x2+1= y−1，对原方程进行变形，求出y的值，即为x2+2的值．
【详解】
解：设x2+2= y，则x2+1= y−1，
∴y2−8(y−1)−1=0，
∴y2−8 y+7=0，
∴(y−7)(y−1)=0，
∴y−7=0或y−1=0，
∴y=7或1，
∴x2+2的值为7或1．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法，把x2+2看作整体，直接求出x2+2的值是解题
的关键．
40．（23-24九年级·全国·课后作业）解方程(x2−5) 2 −16=0．
【答案】x =3，x =−3，x =1，x =−1
1 2 3 4
【分析】设y=x2−5，求出y后，可得关于x的方程，再解方程即可．
【详解】设y=x2−5，
原方程化为y2−16=0，解得y =4，y =−4，
1 2
当y =4时，x2−5=4，x2=9，
1
则x =3，x =−3；
1 2
当y =−4时，x2−5=−4，x2=1，
2
则x =1，x =−1，
3 4
所以原方程的解为x =3，x =−3，x =1，x =−1．
1 2 3 4
【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．
41．（23-24九年级·全国·单元测试）已知(a2+b2)(a2+b2+2)−15=0，求a2+b2的值．
【答案】3
【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：
x(x+2)−15=0，
解得：x =3,x =−5，
1 2
∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．
a2+b2的值为3．
【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．
42．（23-24九年级·全国·专题练习）解下列方程：
(1)2(x2﹣7x) 2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；
(2)(2x2+3x) 2 ﹣4(2x2+3x)﹣5=0．
7+❑√51 7−❑√51 7+❑√89 7−❑√89
【答案】(1)x＝ ，x＝ ，x＝ ，x＝
1 2 2 2 3 2 4 2
(2)x ＝﹣2.5，x ＝1，x ＝﹣0.5，x ＝﹣1
1 2 3 4
【分析】（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后
即可得到该方程的解；
（2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到
该方程的解
【详解】（1）解：2(x2−7x) 2 −21(x2﹣7x)+10＝0
设x2−7x=a，
则2a2−21a+10=0
(2a−1)(a−10)=0
∴2a−1=0或a−10=0，
解得，a =0.5，a =10，
1 2
∴x2−7x=0.5或x2−7x=10，
∴2x2−14x−1=0或x2−7x−10=0，
7+❑√51 7−❑√51 7+❑√89 7−❑√89
解得，x＝ ，x＝ ，x＝ ，x＝ ；
1 2 2 2 3 2 4 2
（2）解：(2x2+3x) 2 ﹣4(2x2+3x)﹣5=0
设2x2+3x＝a，
则a2−4a−5＝0
(a−5)(a+1)＝0，
∴a−5=0或a+1=0，解得，a =5，a =﹣1，
1 2
∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1，
∴2x2+3x−5=0或2x2+3x+1=0，
解得，x =−2.5，x =1，x =−0.5，x =−1
1 2 3 4
【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．
【解法6 适当方法解一元二次方程】
43．（23-24九年级·甘肃天水·阶段练习）运用适当的方法解方程
(1)(x−3) 2=25；
(2)x2−x−1=0；
(3)x2−6x+8=0；
(4)(x2−x) 2 −5(x2−x)+6=0
【答案】(1)x =8，x =−2
1 2
1+❑√5 1−❑√5
(2)x = ，x =
1 2 2 2
(3)x =4，x =2
1 2
1+❑√13 1−❑√13
(4)x =−1，x =2，x = ，x =
1 2 3 2 4 2
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用配方法解方程即可；
（4）利用换元法解方程即可；
【详解】（1）解：(x−3) 2=25
x−3=5或x−3=−5，
解得：x =8，x =−2；
1 2
（2）解：x2−x−1=0
a=1，b=−1，c=−1，
b2−4ac=(−1) 2−4×1×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根，−b±❑√b2−4ac −(−1)±❑√5 1±❑√5
∴x= = = ，
2a 2×1 2
1+❑√5 1−❑√5
解得：x = ，x = ；
1 2 2 2
（3）x2−6x+8=0
x2−6x=−8
x2−6x+9=−8+9
(x−3) 2=1
x−3=1或x−3=−1，
解得：x =4，x =2；
1 2
（4）(x2−x) 2 −5(x2−x)+6=0
解：设y=x2−x，则原方程为：y2−5 y+6=0，
(y−2)(y−3)=0,
解得y =2，y =3，
1 2
当y=2时，x2−x=2，解得：x =−1，x =2；
1 2
1+❑√13 1−❑√13
当y=3时，x2−x=3，解得：x = ，x = ；
3 2 4 2
1+❑√13 1−❑√13
∴x =−1，x =2，x = ，x =
1 2 3 2 4 2
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
44．（23-24九年级·北京东城·期末）选择适当方法解下列方程：
(1)x2−5x+1=0；
(2)x(2x+1)=2x+1．
5+❑√21 5−❑√21
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 2
1
(2)x =1，x =−
1 2 2
【分析】本题考查了公式法，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程
是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2−5x+1=0，
Δ=(−5) 2−4×1×1=21，
−(−5)±❑√21 5±❑√21
∴x= = ，
2 2
5+❑√21 5−❑√21
解得，x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：x(2x+1)=2x+1，
(x−1)(2x+1)=0，
∴x−1=0，2x+1=0，
1
解得，x =1，x =− ．
1 2 2
45．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）用适当方法解方程
(1)3x(x−1)=2(x−1)
(2)x2+10x+16=0
1
(3)x2−❑√2x− =0
4
(4)x2+2❑√5x+10=0
2
【答案】(1)x =1，x =
1 2 3
(2)x =−2，x =−8
1 2
❑√2+❑√3 ❑√2−❑√3
(3)x = ，x =
1 2 2 2
(4)无解
【分析】（1）先移项，再运用因式分解法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可；
（3）用公式法求解；
（4）计算Δ=b2-4ac=(2❑√5) 2 −4×1×10=−20<0，由根的判别式判断方程无解．
【详解】（1）解：3x(x−1)=2(x−1)
3x(x-1)-2(x-1)
(x-1)(3x-2)=0
x-1=0或3x-2=0，2
∴x=1，x = ；
1 2 3
（2）解：x2+10x+16=0
(x+8)(x+2)=0
x+8=0或x+2=0，
∴x =−2，x =−8；
1 2
1
（3）解：x2−❑√2x− =0
4
1
a=1，b=−❑√2，c=- ，
4
∴Δ=b2-4ac=(−❑√2) 2-4×1× ( - 1) =3，
4
−b±❑√b2−4ac ❑√2±❑√3
∴x= = ，
2a 2
❑√2+❑√3 ❑√2−❑√3
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（4）解：x2+2❑√5x+10=0
a=1，b=2❑√5，c=10，
∴Δ=b2-4ac=(2❑√5) 2 −4×1×10=−20<0，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键．
46．（23-24九年级·广东深圳·期中）用适当方法解下列方程
（1）3（x+2）2＝x（2+x）；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
1
【答案】（1）x＝﹣2，x＝﹣3；（2）x＝-2，x＝
1 2 1 2 2
【分析】（1）利用提公因式法解方程即可；
（2）利用十字相乘法解方程即可．
【详解】解：（1）∵3（x+2）2＝x（2+x），
∴3（x+2）2﹣x（2+x）＝0，
∴（x+2）（3x+6﹣x）＝0，
∴x+2＝0或2x+6＝0，∴x＝﹣2，x＝﹣3；
1 2
（2）∵2x2+3x﹣2＝0，
∴（x+2）（2x-1）＝0，
∴x+2＝0或2x-1＝0，
1
∴x＝-2，x＝ ．
1 2 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法解方程．
47．（23-24九年级·山东德州·期末）用适当方法解下列方程
（1）3（x﹣2）＝5x（x﹣2）
（2）x2+x﹣1＝0
3 −1±❑√5
【答案】（1）x ＝2，x ＝ ；（2）x＝ ．
1 2 5 2
【分析】(1) 用因式分解法解方程；
(2) 利用求根公式法解方程.
【详解】解：（1）方程整理得：3（x﹣2）﹣5x（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（3﹣5x）＝0，
3
解得：x＝2，x＝ ；
1 2 5
（2）这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵△＝1+4＝5，
−1±❑√5
∴x＝ ．
2
【点睛】考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解
时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次
方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于
任何一元二次方程．
48．（23-24九年级·山东聊城·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)2x2+5x−7=0；
(2)2x2−4x+1=0；
(3)3x(x−1)=2x−2
7
【答案】(1)x =1，x =−
1 2 2❑√2 ❑√2
(2)x =1+ ，x =1−
1 2 2 2
2
(3)x =1，x =
1 2 3
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）方程运用公式法求解即可；
（2）方程运用配方法求解即可；
（3）方程运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：2x2+5x−7=0
这里a=2,b=5,c=−7，
Δ=52−4×2×(−7)=81>0，
−5±❑√81 −5±9
∴x= = ，
2×2 4
7
∴x =1，x =− ；
1 2 2
（2）解：2x2−4x+1=0，
1
x2−2x+ =0，
2
1
x2−2x=−
，
2
1
x2−2x+1=
，
2
1
(x−1) 2= ，
2
❑√2
x−1=± ，
2
❑√2 ❑√2
∴x =1+ ，x =1− ；
1 2 2 2
（3）解：3x(x−1)=2x−2，
3x(x−1)−2(x−1)=0，
(x−1)(3x−2)=0
x−1=0,3x−2=0，
2
∴x =1，x =
1 2 349．（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期末）用适当的方法解下列方程
(1)(x+5) 2=6(x+5)；
(2)x2−8x=5−4x．
【答案】(1)x =−5,x =1
1 2
(2)x =5,x =−1
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法∶因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+5=0或x+5−6=0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x−5=0或x+1=0，然后解两个一次方程即
可．
【详解】（1）解：(x+5) 2=6(x+5)
移项得：
(x+5) 2−6(x+5)=0
因式分解得：
(x+5)(x+5−6)=0，
x+5=0或x+5−6=0，
所以x =−5,x =1；
1 2
（2）方程化为一般式为x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
x−5=0或x+1=0，
所以x =5,x =−1．
1 2
50．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）选用适当的方法解方程．
(1)x2−4=0；
(2)3x2−6x−4=0．
【答案】(1)x =2,x =−2
1 2
3+❑√21 3−❑√21
(2)x = ,x =
1 3 2 3【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．
（1）利用解一元二次方程——直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程——公式法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵x2−4=0，
∴x2=4，
∴x=±2，
∴x =2,x =−2；
1 2
（2）解：3x2−6x−4=0，
∵a=3，b=−6，c=−4，
Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×3×(−4)=84>0，
−b±❑√b2−4ac 6±❑√84
∴x= = ，
2a 6
3+❑√21 3−❑√21
∴x = ,x = ．
1 3 2 3
51．（23-24九年级·天津宁河·阶段练习）用适当的方法解方程
(1) (x−1) 2=36 (2) x2+8x+7=0
(3) x2+5=2❑√5x (4) (x−4) 2=(5−2x) 2
【答案】（1）x =7,x =−5 ；（2）x =−7,x =−1；（3）x =x =❑√5 ；（4）x =3,x =1
1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即
可.
试题解析：（1）(x−1) 2=36
x-1=±6
x =7,x =−5 ；
1 2
（2）x2+8x+7=0
（x+7）（x+1）=0
x =−7,x =−1；
1 2
（3）x2+5=2❑√5x
移项得x2−2❑√5x+5=0(x−❑√5) 2=0
x =x =❑√5 ；
1 2
（4）(x−4) 2=(5−2x) 2
移项得(x−4) 2−(5−2x) 2=0
（x-4+5-2x）（x-4-5+2x）=0
解得x =3,x =1
1 2
【解法7 指定方法解一元二次方程】
52．（23-24九年级·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．
(1)x2−36=0 (直接开平方法)
(2)x2−4x=2 (配方法)
(3)2x2−5x+1=0 (公式法)
(4)(x+1) 2+8(x+1)+16=0 (因式分解法)
【答案】(1)x =6，x =−6
1 2
(2)x =2+❑√6，x =2−❑√6
1 2
5+❑√17 5−❑√17
(3)x = ,x =
1 4 2 4
(4)x =x =−5
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．
（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；
（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；
（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．
【详解】（1）x2−36=0，
x2=36，
x=±6，
∴x =6，x =−6；
1 2（2）x2−4x=2，
x2−4x+4=2+4，
(x−2) 2=6，
x−2=± ❑√6，
∴x =2+❑√6，x =2−❑√6；
1 2
（3）2x2−5x+1=0，
a=2，b=−5，c=1，
b2−4ac=(−5) 2−4×2×1=17>0，
−b±❑√b2−4ac −(−5)±❑√17 5±❑√17
∴x= = = ，
2a 2×2 4
5+❑√17 5−❑√17
即x = ,x = ；
1 4 2 4
（4）(x+1) 2+8(x+1)+16=0，
2
[(x+1)+4) =0，
(x+5) 2=0，
∴x =x =−5．
1 2
53．（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程：
(1)(2x−1) 2=9（用直接开平方法）
(2)2x2−9x+8=0（用配方法）
(3)x2−2x−4=0（用求根公式法）
(4)7x(5x+2)=6(5x+2)（用因式分解法）
【答案】(1)x =2,x =−1
1 2
9+❑√17 9−❑√17
(2)x = ,x =
1 4 2 4
(3)x =1+❑√5,x =1−❑√5
1 2
2 6
(4)x =− ,x =
1 5 2 7【分析】（1）开平方得到2x−1=±3，即可求出方程的解；
( 9) 2 17
（2）把原方程配方成 x− = ，再利用开平方法解方程即可；
4 16
−b±❑√b2−4ac
（3）写出a=1，b=−2，c=−4，求出Δ=(−2) 2+16=20，代入x= 即可得到方程的解；
2a
（4）移项后因式分解得到(5x+2)(7x−6)=0，则5x+2=0或7x−6=0，即可得到方程的解．
【详解】（1）解：(2x−1) 2=9
开平方得，2x−1=±3，
∴2x−1=3或2x−1=−3，
解得x =2,x =−1；
1 2
（2）2x2−9x+8=0
解：原方程整理得2x2−9x=−8．
9
二次项系数化1，得：x2− x=−4，
2
配方，得：x2− 9 x+ (9) 2 =−4+ (9) 2 ，即 ( x− 9) 2 = 17 ，
2 4 4 4 16
9 ❑√17
两边开平方，得x− =± ，
4 4
9+❑√17 9−❑√17
∴x = ,x = ．
1 4 2 4
（3）x2−2x−4=0
∵a=1，b=−2，c=−4，
∴Δ=(−2) 2+16=20，
−b±❑√b2−4ac 2±❑√20
∴x= = =1±❑√5，
2a 2
∴x =1+❑√5,x =1−❑√5；
1 2
（4）7x(5x+2)=6(5x+2)
移项得，7x(5x+2)−6(5x+2)=0，
因式分解得，(5x+2)(7x−6)=0，
∴5x+2=0或7x−6=0，2 6
解得x =− ,x =
1 5 2 7
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
54．（23-24九年级·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程：
(1)3x2−4x+1=0（配方法）；
(2)2x2−2❑√2x+1=0（公式法）；
(3)3x(x−2)=2x−4．
1
【答案】(1)x =1，x = ；
1 2 3
❑√2
(2)x =x =
1 2 2
2
(3)x =2，x =
1 2 3
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用分解因式法解方程即可．
【详解】（1）解：3x2−4x+1=0，
4 1
方程变形得：x2− x=− ，
3 3
配方得：x2− 4 x+ 4 =− 1 + 4 ，即 ( x− 2) 2 = 1 ，
3 9 3 9 3 9
2 1
开方得：x− =± ，
3 3
1
解得：x =1，x = ；
1 2 3
（2）解：2x2−2❑√2x+1=0，
a=2，b=−2❑√2，c=1，
∵Δ=b24ac=(−2❑√2) 2 −4×2×1=0，
−b±❑√b2−4ac 2❑√2 ❑√2
∴x= = = ，
2a 4 2
❑√2
解得：x =x = ；
1 2 2（3）解：3x(x−2)=2x−4
整理得：3x(x−2)−2(x−2)=0，
分解因式得：(x−2)(3x−2)=0，
∴x−2=0或3x−2=0，
2
解得：x =2，x = ．
1 2 3
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
55．（23-24九年级·广西钦州·期中）用指定方法解下列方程：
3
(1)x2−x− =0（配方法）；
4
(2)(x−3) 2=2(x−3)（因式分解法）；
(3)x2−4x−1=0（公式法）．
3 1
【答案】(1)x = ，x =−
1 2 2 2
(2)x =3，x =5
1 2
(3)x =2+❑√5，x =2−❑√5
1 2
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用公式法求解即可．
3
【详解】（1）原方程可化为x2−x=
，
4
1 1
等式两边加 ，得x2−x+ =1，
4 4
1 2
由完全平方公式得，(x− ) =1，
2
1 1
∴x− =1或x− =−1，
2 2
3 1
所以原方程的解为x = ，x =− ．
1 2 2 2
（2）移项得，(x−3) 2−2(x−3)=0，提取公因式，得(x−3)(x−3−2)=0，
则x−3=0或x−3−2=0，
解得x =3，x =5．
1 2
（3）x2−4x−1=0，
∵Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×(−1)=20＞0，
4±❑√20
由求根公式得x= =2±❑√5，
2
所以原方程的解为x =2+❑√5，x =2−❑√5．
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法和公式法求根是解题的关键．
56．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）按指定方法解方程：
(1)x2−4x−2=0(配方法)；
(2)2y2−3 y−1=0(公式法)
(3)3x(x−1)=2−2x (适当方法)；
(4)2x2−x−1=0 (配方法)
【答案】(1)x =2+❑√6，x =2−❑√6；
1 2
3+❑√17 3−❑√17
(2)y = ，y = ；
1 4 1 4
2
(3)x =1， x =− ；
1 2 3
1
(4)x =1,x =−
1 2 2
【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完
全平方式，右边等于6，可以解答；
（2）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出Δ的值，最后套用求根公式解得；
（3）根据因式分解法解一元二次方程；
（4）根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：x2−4x−2=0，
移项得，x2−4x=2，
配方，得x2−4x+4=2+4，即(x−2) 2=6，
所以x−2=±❑√6，
解得x =2+❑√6，x =2−❑√6.
1 2
（2）2y2−3 y−1=0，
a=2，b=−3，c=−1，
Δ=b2−4ac=(−3) 2−4×2×(−1)=17，
3±❑√17
y= ，
2×2
3+❑√17 3−❑√17
所以y = ，y = .
1 4 2 4
（3）解：∵3x(x−1)=2−2x，
∴3x(x−1)+2(x−1)=0，
则(x−1)(3x+2)=0，
∴x−1=0或3x+2=0，
2
解得x =1，x =− ．
1 2 3
（4）∵2x2−x−1=0，
1 1
∴x2− x= ，
2 2
则x2− 1 x+ 1 = 1 + 1 ，即 ( x− 1) 2 = 9
2 16 2 16 4 16
1 3
∴x− =± ，
4 4
1
即 x =1,x =− ．
1 2 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键．
57．（23-24九年级·山东泰安·期末）按照指定方法解下列方程：
（1）x(x−2❑√3)+3=0．（自选方法）
（2）3x2−6x−2=0．（配方法）
（3）x2−9=2x+6（因式分解法）
❑√15 ❑√15
【答案】（1）x =x =❑√3 ；（2）x =1+ ，x =1− ；（3）x =−3,x =5．
1 2 1 3 2 3 1 2【分析】（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；
（2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可；
（3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可．
【详解】（1）原方程整理得：x2−2❑√3x+3=0
即(x−❑√3) 2=0
∴x =x =❑√3
1 2
2
（2）方程两边同除以3，得：x2−2x− =0
3
5
配方，得：(x−1) 2=
3
❑√15 ❑√15
根据平方根的定义，得：x−1= 或x−1=−
3 3
❑√15 ❑√15
解得：x =1+ ，x =1−
1 3 2 3
（3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)
即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0
提取公因式得：(x+3)(x-5)=0
∴x+3=0或x-5=0
∴x =−3,x =5
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法
及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度．
58．（23-24九年级·广西钦州·期末）用指定方法解下列方程：
（1）x2+4x−2=0（配方法）；
（2）(x−2) 2=3(x−2)（因式分解法）；
（3）2x2−4x−1=0（公式法）．
❑√6 ❑√6
【答案】（1）x =−2+❑√6, x =−2−❑√6；（2）x =2, x =5；（3）x =1+ , x =1− ．
1 2 1 2 1 2 2 2
【分析】（1）等式两边同时加6，利用完全平方公式进行配方即可求解；
（2）先移项，再提取公因式(x−2)，即可求解；
−b±❑√b2−4ac
（3）利用公式法x= 即可求解．
2a【详解】（1）等式两边加6，得x2+4x+4=6
由完全平方公式得，(x+2) 2=6
∴x+2=❑√6或x+2=−❑√6
所以原方程的解为x =−2+❑√6, x =−2−❑√6；
1 2
（2）移项得，(x−2) 2−3(x−2)=0
提取公因式，得(x−2)(x−5)=0
解得x =2, x =5
1 2
所以原方程的解为x =2, x =5；
1 2
（3）Δ=42+4×2×1=24>0
4±2❑√6
由求根公式得x=
2×2
❑√6
即x=1±
2
❑√6 ❑√6
所以原方程的解为x =1+ , x =1− ．
1 2 2 2
【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．
59．（23-24九年级·河北邯郸·阶段练习）请用指定方法解下列一元二次方程：
（1）4x2+x−3=0（公式法）
（2）x2−6x−16=0（配方法）
（3）(x+1)(x+2)=2x+4（因式分解法）
3
【答案】（1）x = ，x =−1；（2）x =8，x =−2；（3）x =−2，x =1
1 4 2 1 2 1 2
【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案；
（2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案；
（3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：（1）4x2+x−3=0，
∴Δ=1−4×4×(−3)=49>0，
−1±7
∴x= ，
8
3
∴x = ，x =−1．
1 4 2（2）方程变形得：x2−6x=16，
配方得：x2−6x+9=25，
即(x−3) 2=25，
开方得：x−3=±5，
解得：x =8，x =−2；
1 2
（3）(x+1)(x+2)=2x+4
(x+1)(x+2)−2(x+2)=0
(x+2)(x−1)=0
解得：x =−2，x =1．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．
60．（23-24九年级·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程．
（1）x2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）x2﹣4x＝2（配方法）
（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）
（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）
5+❑√17 5−❑√17
【答案】（1）x =6，x =-6；（2）x =2+❑√6，x =2-❑√6；（3）x = ,x = ；（4）x =x =-5．
1 2 1 2 1 4 2 4 1 2
【分析】（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；
（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；
（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．
【详解】（1）x2﹣36＝0，
x2=36，
x=±6，
∴x =6，x =-6；
1 2
（2）x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，
（x-2）2=6，
x-2=±❑√6，
∴x =2+❑√6，x =2-❑√6；
1 2
（3）2x2﹣5x+1＝0，a=2，b=-5，c=1，
b2-4ac=（-5）2-4×2×1=17>0，
−b±❑√b2−4ac −(−5)±❑√17 5±❑√17
∴x= = = ，
2a 2×2 4
5+❑√17 5−❑√17
x = ,x = ；
1 4 2 4
（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0，
[（x+1）+4]2=0，
（x+5）2=0，
∴x =x =-5．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．
