文档内容
第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）设 为正实数，函数 ，若 ， ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二）若不等式 对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二）已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离变量法1．（2022·全国·高三专题练习）设 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（文））已知函数 ，若对任意两个不等的正数 ，
，都有 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知对 ，不等式 恒成立，则实数a的最小值是
（ ）
A．e B． C． D．
4．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数 （ 为常数）
1）讨论函数 的单调性；
2）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
6．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 在区间 的极值；
(2)若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围．7．（2022·四川省泸县第一中学高二阶段练习（理））已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性与极值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数a的取值范围.
8．（2022·河南·三模（文））已知函数 （e是自然对数的底数），曲线 在点
处的切线为 .
(1)求a，b的值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求正实数m的取值范围.
高频考点二：分类讨论法
1．（2022·广西柳州·三模（文））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 为函数 的极值点，当 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
2．（2022·陕西西安·二模（文））已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调减区间；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
3．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知曲线 在 处的切线方程为 ，且
.
(1)求 的解析式；
(2)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，曲线 在点 处的切线为 ．
(1)证明：对于 ， ；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．5．（2022·四川·树德中学高三开学考试（文））已知 ，设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
6．（2022·贵州黔东南·一模（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当x>1时， 恒成立，求a的取值范围.
高频考点三：等价转化法
1．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数 ，.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)当a=1时，若不等式 恒成立，求m的取值范围.
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数 ， ．若 对一切正实
数 都成立，求实数 的取值范围．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，若对任意 都有 成立，求实数 的取值范围．
4．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））已知函数 ， .
(1)若 在点 处的切线方程为 ，求实数a、b的值；(2)若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
5．（2022·山东日照·高三期末）已知函数 ，中 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，对任意实数 恒成立，求 的最大值.
高频考点四：最值法
1．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数 ，其中
(1)若函数 的极小值为0，求实数m的值；
(2)当 时， 恒成立，求实数m的取值范围．
2．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数
(1)求 的最大值(2)若 恒成立，求 的值
3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数 .
(1)判断 的单调性；
(2)若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数 在 与 处都取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数c的取值范围.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对 ， ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 在点 处的切线方程是 .
(1)求 的解析式；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
第四部分：高考真题感悟
1．（2019·天津·高考真题（理））已知 ，设函数 若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
2．（2020·海南·高考真题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．3．（2020·全国·高考真题（理））已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
4．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
第五部分：第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题
（精练）
一、单选题
1．（2022·河南南阳·高二期末（文））若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．2．（2022·全国·高二）函数f(x)＝ x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数
f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是（ ）
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C． D．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知 ， ，且 ， ，且 ，
恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二）已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知函数 ，若对任意的 ，
且 ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数 ，若 恒成立．则a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）已知m，n为实数，不等式 恒成立，则
的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2022·宁夏中卫·一模（理））已知定义域为 的函数 满足 ，且 ，e
为自然对数的底数，若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．二、填空题
9．（2022·全国·高二课时练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
______．
10．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知 ，若对任意 ，都有 ，则实
数 的取值范围是______.
11．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知函数 ．若对任意 ，都有
成立，则实数 的最小值是________．
12．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f（x）在区间I上有定义，若对
和 ，都有 ，那么称f（x）为I上的凹函数，
若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹
麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为 ，其二阶
导数为 （即对函数 再求导，记为 ），若 ，那么函数f（x）是严格的凹函数（
， 均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数 在定义域内为严格的凹
函数，则实数m的取值范围为___________.
三、解答题
13．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数 ，
(1)求过点 的函数 的切线方程
(2)若对任意 ，都有 成立，求正数a的取值范围.
14．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知函数
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若 ， 对任意的 恒成立，求m的最大值.15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数 ， 是其
导函数，其中 ．
(1)若 在 上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式 对 恒成立，求a的取值范围．
16．（2022·四川达州·二模（文））已知 .
(1)当 时，求曲线 上的斜率为 的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的范围.
