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第 04 讲 圆锥曲线综合（练）
一、解答题
1．已知椭圆 为左､右焦点，直线 过 交椭圆于 两点.
(1)若直线 垂直于 轴，求 ；
(2)若直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ，是否存在直线 ，使得 ，若
存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,直线 的方程为 或
【分析】（1）根据题意可求得焦点坐标，进而求得直线 的方程，联立直线 和椭圆的方
程即可得到 两点的纵坐标，即可得 .
（2）当直线 的斜率为0时，不能构成三角形，不满足题意舍去；当直线 的斜率不为0时，
可设直线 ，通过联立直线和椭圆方程得到 两点纵坐标 的关系，再写
出直线 的方程，以及直线 的方程，求出两直线分别与 轴交点 的纵坐标，然
后用 来表示 和 ，再根据 即可求得 的值，进而得到直线 的方
程.
【详解】（1）根据题意得， ，
当 轴时，将 代入 ，解得 ，
当 在 轴上方时，则 ，
当 在 轴下方时， ，
所以 .
（2）设 ，
当直线 的斜率为0时，直线 与 轴重合，此时 都在 轴上，不能构成三角形，
不满足题意，舍去；
当直线 的斜率不为0时，可设直线 ，
则 ， ，联立 ，得 ，
则 .
所以直线 的方程： ，令 ，解得 纵坐标 ；
所以直线 的方程： ，令 ，解得 的纵坐标 .
若 ，即 ，
，
，
代入根与系数的关系 ，
得 ，解得 .
所以存在直线 ，使得 ，直线 的方程为 或 .
2．设椭圆 的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为 .证明直线PQ
恒过定点，并求出该点坐标.
【答案】(1)(2)证明见解析，定点
【分析】（1）由题意可得 ， ，再结合 ，可求出 ，从而
可求得椭圆的方程，
（2） 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程中消去 ，
利用根与系数的关系，再结合 化简可得 ，从
而可得 或 进而可求出定点，当直线 的斜率不存在时，若直线 过定点
，求出 两点坐标，求解 即可，
【详解】（1）由于 ，①
又 ，②
由①②解得 ，
椭圆的方程为 .
（2）在（1）的条件下，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 ，消去 得： ，
设 ，则 ，.
又 ，由题知 ，
则 ，且 ，
则 .
，
则 ，
或
当 时，直线 的方程为 ，
此时直线 过定点 ，显然不适合题意，
当 时，直线 的方程为 .
此时直线 过定点 .当直线 的斜率不存在时，若直线 过定点 ，
点的坐标分别为 .
满足 .
综上，直线 过定点 .
3．已知椭圆 的长轴长为 ， ， 为 的左、右焦点，点
在 上运动，且 的最小值为 .连接 ， 并延长分别交椭
圆 于 ， 两点.
(1)求 的方程；
(2)证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得 ，根据焦点三角形各边长，结合余弦定理可得 ，即可得椭圆
方程；
（2）设出直线 与 ，分别与椭圆联立可得点 与点 的坐标，代入面积即可得证.
【详解】（1）由题意得 ，
设 ， 的长分别为 ， ，
则 ，当且仅
当 时取等号，
从而 ，得 ， ，则椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）得 ， ，
设 ， ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
则 ，
，
同理可得 ，
所以
.
所以 为定值 .
4．设抛物线 的焦点为F，准线为l， ，以M为圆心的圆M与l相切于点Q，Q的纵坐标为 ， 是圆M与x轴的不同于F的一个交点．
(1)求抛物线C与圆M的方程；
(2)过F且斜率为 的直线n与C交于A，B两点，求 ABQ的面积．
△
【答案】(1)抛物线 ，圆
(2)
【分析】（1）分别求点 的坐标，再利用圆心在线段 的垂直平分线上，求得 值，
即可求得抛物线和圆的方程；
（2）直线与抛物线方程联立，求得点 的坐标，求得 ，以及点 到直线 的距离，
再求三角形的面积.
【详解】（1）由抛物线的定义知，圆M经过焦点 ，
，点M的纵坐标为 ，又 ，则 ，得 ，
则 ， ．
由题意，M是线段EF的垂直平分线上的点，所以 ，解得p＝2，
故抛物线 ，圆 ．
（2）由题意知直线n的方程为 ，
由 ，解得 或
设 ， ，则 ．
点 到直线 的距离 ，
所以 ABQ的面积 ．
△
5．已知椭圆 和双曲线 ． 、 分别为 和 的离心率．(1)若 ，求 的渐近线方程；
(2)若 ，过椭圆 的左焦点 作斜率为 的直线与 交于不同两点 、 ，过原点
作 的垂线，垂足为 .若点 恰好是 与 的中点，求线段 的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得出关于实数 的等式，求出 的值，即可得出双曲线 的渐近
线方程；
（2）分析可知 ，设点 ，根据 可求出点 的坐标，进而可
得出直线 的方程，将该直线的方程与椭圆 的方程联立，求出点 的坐标，进而可求
得 .
【详解】（1）解：由已知可得 ，因为 ，解得
，
因此，双曲线 的渐近线方程为 .
（2）解：当 时，椭圆 的方程为 ，其左焦点为 ，
因为 且 为 的中点，则 ，
设点 ，则 ，解得 ，则 ，
由对称性，不妨设点 ， ，则直线 的方程为 ，
联立 解得 或 ，即点 ，
故 .
6．已知双曲线C： ，过点 的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐
标原点.
(1)判断点P能否为线段AB的中点，说明理由(2)若直线OA，OB的斜率分别记为 ， ，且 ，求直线l的方程
【答案】(1)不能，理由见解析；
(2)
【分析】（1）设过点 的直线为 ，联立双曲线方程得
，由韦达定理及两点中点公式列式求解即可判断；
（2） ，由（1）代入直线方程及韦达定理求解即可
【详解】（1）证明： 设过点 的直线为 ，
i. 时，直线与双曲线右支相切，不成立；
ii. 时，联立双曲线方程得 ，
直线l与双曲线C相交于A，B两点，故 ，且 ，
， ，
若P为线段AB的中点，则 ，方程组无解，故点P不能为线段
AB的中点；
（2）由（1）得，
整理得 ，即
，
即 ，得 或
（舍，此时不满足直线与曲线有两个交点）
故直线l为
7．已知椭圆 的长轴是短轴的2倍，且右焦点为 ，点B在
椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且 为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线 与x轴分别交于点M，N，判断
是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 是定值4，理由见解析.
【分析】（1）根据题干条件得到 ，结合 ，求出 ， ，得
到椭圆方程；
（2）设出 点坐标，根据等边三角形得到 ，再由 ，求出 ，
从而得到等边三角形的边长；
（3）设出 ， ，则 ，利用两点式表达出直线 的方程，求出
， ，结合 求出 是定值4.
【详解】（1）长轴是短轴的2倍，且右焦点为 ,
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得： ，
故 ，
椭圆的标准方程为： ；
（2）若点B在第一象限且 为等边三角形，
设 ， ，
则 ，又 ，故 ，
该等边三角形的边长为 ；
（3） 是定值4，理由如下：
因为P为椭圆E上异于B，C的任意一点，
所以直线 的斜率存在，
设 ， ，则 ， ， ，
则 ，
则直线 ，
令 得： ，则 ，
直线 ，
令 得： ，则 ，
所以
因为 ，
所以 ，
故 ，
故 是定值，为4.
8．如图，已知 ，直线 ， 为平面上的动点，过点 作 的垂线，垂足为点 ，
且 ．(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 ．
（i）已知 ， ，求 的值；
（ii）求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)（i）0；（ii）16.
【分析】（1）结合已知条件，设 ，利用直接法求轨迹方程即可.
（2）(i)首先设出直线 的方程，然后联立直线 与抛物线方程，利用韦达定理以及向量的
共线关系即可求解；(ii)结合韦达定理以及距离公式表示出 ，然后利用基本不等
式即可求解.
【详解】（1）设点 ，则 ，且 ，
由 得： ，
即 化简得 ，
故动点 的轨迹 的方程为： .
（2）(i)设直线 的方程为： ．
设 ， ，又 ，
联立 ，消去 得， ， ，
由韦达定理知，
由 ， 得： ， ，
整理得： ， ，故 ．
(ii)
．
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为 ．
一、解答题
1．如图，长轴长为4的椭圆 的左顶点为A，过原点 的直线（与
坐标轴不重合）与椭圆 交于 ， 两点，直线 ， 与 轴分别交于 ， 两点，当
直线 的斜率为 时， .
(1)求椭圆 的方程.
(2)试问是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出定点 的坐标；若不存
在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点 ， .
【分析】（1）由题意可得 ，再利用直线 的斜率为 时， 设
，列出方程求得 ，进而求得 ，可得答案；
（2）设 ，则 ，表示出直线 ， 的方程，求出 ，
坐标，利用以 为直径的圆过点，进而求得答案.【详解】（1）由题意可知 ，则椭圆方程 即 ，
当直线 的斜率为 时， ，
故设 ， ，解得 ，
将 代入 得 ，即 ，
故 ，所以椭圆的标准方程为 ；
（2）设 ，则 ，
则 ，
由椭圆方程 可得 ，∴直线 方程为︰ ，
令 可得 ，
直线 方程为： ，令 得 ，
假设存在定点 ，使得 ，则定点 必在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆为 ,
即 ，
∵ ，即
∴ ，
令 ，则 ，解得 ，
∴以 为直径的圆过定点 ，即存在定点 ，使得 ．
2．如图，已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，双曲线 ： 的斜率
大于0的渐近线为 ，过点 作直线 ，交抛物线 于A， 两点，且 .(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 ，且与抛物线 相切于点 ，求 的值.
【答案】(1) ；(2)2．
【分析】（1）确定渐近线 的方程，设 ，写出直线 方程为 ，
与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得 ，由弦长公式可求得 得抛物线方程；
（2）设切线方程为 ，与抛物线方程联立，消元后由 求得 ，从而得切线
坐标，由（1）得直线 方程为 ， ，代入 可得结
论．
【详解】（1）由题意直线 的方程为 ， ，
因此直线 方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ， ，
， ，
所以抛物线方程为 ；
（2）设直线 方程为 ，
由 得 ，所以 ， ， ，从而 ，
即 ，
由（1）直线 方程为 ， ， ，
．3．已知椭圆 ,左右焦点为 ，离心率为 ,短轴长为 ．
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线y=x+m(m>0)与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求m．
(3)若点A 在椭圆上且在第一象限内, ,直线AF 与椭圆交于另外一点B,设点M在
1
椭圆上,记三角形OAB与三角形MAB的面积分别为S、S,若S=3S,求M坐标．
1 2 2 1
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）由椭圆基本量列方程组即可；
（2）直线与椭圆联立结合韦达定理求解；
（3）求出点 到直线AB的距离，再设平行直线与椭圆联立即可.
【详解】（1）由题知 ,解得
所以椭圆 的标准方程
（2）设
联立 ,得
由 ,得
因为 ,所以即
所以 ,又 ,所以
（3）
由题知 ,得
由题知直线AB的斜率
又直线AB过点 ,所以直线AB的方程为 ,即
点 到直线AB的距离
因为 ,所以点 到直线AB的距离
设与直线AB平行且两直线距离为 的直线方程为
则 ,所以 或
若 ,即 ,即
联立 ,得
,则直线与椭圆无交点,故舍去
若 ,即 ,即联立 ,得
解得 或
代入直线方程得 点的坐标为 或
4．已知椭圆 ,过动点 的直线 交 轴于点 ,交椭圆于点 , (点
在第一象限),且 是线段 的中点,过点 作 轴的垂线交椭圆于另一点 ,延长 交
椭圆于点 ．点 在椭圆上．
(1)求椭圆的焦距;
(2)设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,证明： 为定值;
(3)求直线 斜率的最小值．
【答案】(1) ;
(2)证明见解析;
(3) .
【分析】（1）将T点坐标代入椭圆方程,求出b后代入椭圆方程,根据椭圆方程求出焦距;
（2）设 ,则直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,进
而可证明： ;
（3）联立直线 和椭圆方程,得出A点坐标,利用同构写出 点坐标,把直线 的斜率用
表示, ,再结合基本不等式求 的最小值,即可求直线
倾斜角的最小值．【详解】（1）解：由题知把 点代入椭圆方程得到 ,解得 ,
所以焦距为 ;
（2）由题知,设,
由 ,可得 , ,
所以直线 的斜率 ,
直线 的斜率 ,
此时 ,
所以 为定值 ;
（3）由题知,设 , , ,
直线 的方程为 ,由（2）知 ,所以 的斜率为 ,
所以直线 的方程为 ,
联立 ,
整理得 ．
由 ,可得
所以 ．
同理 ．
所以 ,
,
所以 ,由 , ,可知 ,
所以 ,等号当且仅当 时取得,
此时 ,即 ,
所以直线 的斜率的最小值为 ,
所以倾斜角的最小值为 ．
5．已知椭圆中有两顶点为 ， ，一个焦点为 .
(1)若直线 过点 且与椭圆交于 ， 两点，当 时，求直线 的方程；
(2)若直线 过点 且与椭圆交于 ， 两点，并与 轴交于点 ，直线 与直
线 交于点 ，当点 异 ， 两点时，试问 是否是定值？若是，请求出此定值，
若不是，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)是定值，且 .
【分析】（1）由条件求出椭圆的方程，与所设直线方程联立，利用弦长公式求得直线斜率，
得到直线方程.
（2）根据过 的直线l的方程可表示出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，
直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q
的坐标，代入 即可得到定值的结论．
【详解】（1）∵椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 ，
由已知得 ， ，所以 ，
椭圆的方程为 ，
当直线 与 轴垂直时与题意不符，
设直线 的方程为 ， ， ，
将直线 的方程代入椭圆的方程化简得 ，
则 ， ，∴ ，
解得 .
∴直线 的方程为 ；
（2）当 轴时， ，不符合题意，
当 与 轴不垂直时，设 ： ，则 ，
设 ， ，联立方程组 得 ，
∴ ， ，
又直线 ： ，直线 ： ，
由 可得 ，即 ，
，
，
，
，
，即 ，
得 ，
∴ 点坐标为 ，
∴ ，
所以 为定值.
6．已知双曲线 的右焦点 到渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线 的方程．(2)过点 的直线与双曲线 的右支交于 两点，在 轴上是否存在点 ，使得点 到直
线 的距离相等? 若存在，求出点 的坐标; 若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在 ．
【分析】（1）利用点线距离公式及 即可求得 ，从而求得双曲线 的方
程；
（2）假设存在点 ，据题意设 ，联立方程得到 ， ，
再由点 到直线 的距离相等可得 ，由此代入式子即可求得 ，故存在
.
【详解】（1）由题意得， ，故 ，
又因为双曲线 的渐近线为 ，故 是双曲线C的一条渐近线，
所以右焦点 到渐近线的距离为 ，解得 ，
所以 ， ，
所以双曲线C的标准方程为 ．
（2）假设存在 ，设 ， ，
由题意知，直线斜率不为0，设直线 ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ，
且 ， ，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是 的角平分线，
则 ，即 ，则 ，
整理得 ，故 ，
即 ，因为 ，所以 ，
故存在 ．7．已知椭圆 的一个焦点为 ，点 在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若 是椭圆上异于点 的两动点，当 的角平分线垂直于椭圆长轴时，试问直线
的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，定值为
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线 、直线 的方程求得 两点的坐标，从而计算出直线 的斜率为定
值.
（1）
依题意得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）
依题意可知直线 和直线 的斜率存在且互为相反数，
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
，
则 ，根据直线 、直线 的对称性可知 .
设 ，则 ，
，则 ，
故 ，以 替换 ，得 ，
所以 ，
所以直线 的斜率为定值 .
8．已知双曲线 的左焦点坐标为 ，直线 与双
曲线 交于 两点，线段 中点为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)经过点 与 轴不重合的直线 与双曲线 交于两个不同点 ，点 ，直
线 与双曲线 分别交于另一点 .
①若直线 与直线 的斜率都存在，并分别设为 .是否存在实常数 ，使得 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
②证明：直线 恒过定点.
【答案】(1)
(2)①存在， ；②证明见解析
【分析】（1）由点差法可得 ，结合 及 ，可求得结果.
（2）①又直线 与双曲线 相交可求得 ，再设 ，联立结
合韦达定理可求得 的坐标，进而得 ，代入可求解.
②由①知 ,由对称性知 过的定点 在 轴上，计算
可得解.
（1）
由题意知 ，直线 的斜率为 ，设 ，
由题意 ，两式相减得： ，整理得： ，即 ，
又 ，所以 ，即双曲线 ，
经检验满足题意.
（2）
①因为 的斜率 存在且 ，设 ， ，
联立 ，消去 整理得： ，
由题意得 ，解得
又 ，设直线 ，
联立 ，整理得 ，
由韦达定理得 ，
又 ， ，
于是 ，
故 ，同理可得 ，
， ，为定值 ，所以 的值
②由①知 （*），
由对称性知 过的定点 在 轴上，在（*）
令 ，得 ，
解得
直线 恒过定点
一、解答题
1．（2022·全国·高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线
方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且
．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得 的值，利用渐近线方程求得 的关系，进而利用
的平方关系求得 的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线 的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x,y),由③|AM|=|
0 0
BM|等价分析得到 ；由直线 和 的斜率得到直线方程，结合双曲线的
方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率 ，由② 等价转化为 ，
由① 在直线 上等价于 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
（1）
右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴
，∴ ，∴ ．
∴C的方程为： ；
（2）
由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称
性可知 在 轴上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，
已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去y并化简整理得：
设 ,线段中点为 ,则 ,
设 ,
则条件③ 等价于 ,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即 ,
即 ；
由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,
∴由 ,
∴ ,所以直线 的斜率 ,
直线 ,即 ,
代入双曲线的方程 ,即 中，
得： ,
解得 的横坐标： ,
同理： ，
∴
∴ ,
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③:
由①②解得： ,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
2．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线 的焦点为F，点 ，
过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．
当 取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由抛物线的定义可得 ，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得 ，
再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线 ，结合韦达定理
可解.
（1）
抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）
[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，则 ，设 ，则，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设 ,直线
由 得： ， ,同理， .
直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， .
代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以
直线 .
[方法三]：三点共线
设 ，设 ,若 P、M、N三点共线，由
所以 ，化简得 ，
反之，若 ,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，
由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，所以直线 .
3．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，
且过 两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点
T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
（1）
解：设椭圆E的方程为 ，过 ，则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .
（2）
，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
4．（2022·北京·高考真题）已知椭圆： 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴
交于点M，N，当 时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得 ，即可求出 ，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设 、 ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达
定理，由直线 、 的方程，表示出 、 ，根据 得到方程，解得即
可；
（1）
解：依题意可得 ， ，又 ，
所以 ，所以椭圆方程为 ；
（2）
解：依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令
，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
所以，
所以 ，
即
即
即
整理得 ，解得
5．（2022·全国·高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于
P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由点 在双曲线上可求出 ，易知直线l的斜率存在，设 ，
，再根据 ，即可解出l的斜率；
（2）根据直线 的斜率之和为0可知直线 的倾斜角互补，根据
即可求出直线 的斜率，再分别联立直线 与双曲线方程求出
点 的坐标，即可得到直线 的方程以及 的长，由点到直线的距离公式求出点A到
直线 的距离，即可得出 的面积．
（1）
因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲
线 ．
易知直线l的斜率存在，设 ， ，联立 可得， ，
所以， ，
且 ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
（2）
［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，由
（1）知， ，
当 均在双曲线左支时， ，所以 ，
即 ，解得 （负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当 均在双曲线右支时，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值舍去），
于是，直线 ，直线 ，
联立 可得， ，因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为 ， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
联立 ，及 得 ， ，
同理， ， ，故 ，
而 ， ，
由 ，得 ，
故
6．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点 ，椭圆 的顶点分别
为 ， ， ， ，其中点 为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线 的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示 ，并利用
，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】解：（1）由椭圆 可知 ， ，
所以 ， ，则 ，
因为抛物线的焦点为 ，可设抛物线方程为 ，
所以 ，即 .
所以抛物线的标准方程为 .
（2）由椭圆 可知 ， ，
若直线 无斜率，则其方程为 ，经检验，不符合要求.
所以直线 的斜率存在，设为 ，直线 过点 ，
则直线 的方程为 ，
设点 ， ，
联立方程组 ，
消去 ，得 .①
因为直线 与抛物线有两个交点，
所以 ，即 ，
解得 ，且 .
由①可知 ，
所以 ，则 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
解得 或 ，
因为 ，且 ，
所以 不符合题意，舍去，
所以直线 的方程为 ，
即 .
7．（2022·天津·高考真题）椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点
为B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若
，且 的面积为 ，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的
值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为 ，设直线 的方程为 ，将直线 的方
程与椭圆方程联立，由 可得出 ，求出点 的坐标，利用三角形的面
积公式以及已知条件可求得 的值，即可得出椭圆的方程.
（1）
解： ，
离心率为 .
（2）
解：由（1）可知椭圆的方程为 ，易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 得 ，
由 ，①
， ，
由 可得 ，②
由 可得 ，③
联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．
8．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两
点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）设 是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出
，再根据二次函数的性质即可求出；
（2）设直线 与椭圆方程联立可得 ，再将直线 方程与 的方程分别联立，可解得点 的坐标，再根据两点间的距离公式求出 ，
最后代入化简可得 ，由柯西不等式即可求出最小值．
（1）
设 是椭圆上任意一点, ,
，当且仅当
时取等号，故 的最大值是 .
（2）
设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,
设 ，所以 ，
因为直线 与直线 交于 ,
则 ,同理可得, .则
，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
