文档内容
2025 年数学二模
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为 150分，考试时间为120分钟．
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列各数中，与 互为倒数的是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ 与 互为倒数，
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查幂的混合运算，合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．根据同底数幂
的乘除法运算法则、合并同类项以及幂的乘方运算法则进行判断即可．
【详解】解：A. ，故本选项错误，不符合题意；
B. ，故本选项错误，不符合题意；
.
C ，故本选项正确，符合题意；D. ，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
3. 《博鳌亚洲论坛可持续发展的亚洲与世界2024年度报告》指出：2022年全球能源发电相关碳排放创历
史新高，达到132亿吨，同比增长1.3%．亚洲能源需求和碳排放居全球首位．数据132亿用科学记数法表
示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：132亿 ，
故选：D．
4. 将一个三棱柱展开，其展开图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是三棱柱的展开图，利用三棱柱的展开图的特点可得答案．
【详解】解：因为个三棱柱展开图有5个面，两个底面为三角形，且展开后不能在同一侧，
所以B，C，D不符合题意，
故选：A．
5. 若 则代数式 的值为（ ）
A. 2024 B. C. 2025 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由 可得 ，然后对 进行变形并将
代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
6. 如图， 是 的外接圆，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出 的度数，再
利用圆周角与圆心角的关系求出 的度数．
【详解】解： 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
7. 如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 O， 于点 C， ， ，
则 的长为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理先求解 ，再求解 ，再
结合平行四边形的性质可得答案．
【详解】解：∵平行四边形的对角线相互平分， ，
∴ ，
又∵ ，故 为直角三角形，
∴根据勾股定理可得： ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
8. 3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸出卡片后
记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法求概率，先列表得到所有的结果数与符合条件的情况数，即可求解．
【详解】解：列表如下，共有 种可能，其中和为奇数的有4种，
∴两次数字之和为奇数的概率是 ，
故选：C．
9. 若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数 的图象大
致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与
系数的关系得 ， ，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌
握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解： 、 是方程 即 的两根，
， ，
∴ 异号，
反比例函数 的图象分布在第二、四象限，
选项A、C不符合题意；
B．由图象得： ， ，符合题意；D ．由图象得： ， ，
，结论错误，不符合题意；
故选：B．
10. 如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上一动点，
以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，Q为线段 上任意一点，则
长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接 ， 为 的中点，可得 ，则 在以 为圆心， 为半径的圆弧
上运动，当 四点共线时， 最小，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，∵正方形 ， ，
∴ ， ，
∵ 分别 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，
当 四点共线时， 最小，
此时 ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为： ，
故选B
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的
性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集是___________．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，注意不
等式两边同除以或乘以一个负数，不等号方向发生改变．
【详解】解： ，
移项，合并同类项得： ，
不等式两边同除以 得： ．
故答案为： ．
12. 如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若 ，则 的度数为_______．
【答案】 ##20度
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解 ，再
结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵ ，平行光线，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ；故答案为：
13. 如图，已知 是 的直径， 是弦， 垂足为点 ，点 是弧 的中点，连接
若 ，则 的度数是_______．
【答案】 ##72度
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形性质，垂径定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．证明
， ，可得 ，
则 ，可求得答案；
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵点 是弧 的中点，
∴ ，
，
在同一个圆上，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：
14. 如图，A，B 是反比例函数 图象上的两点，过点A作 轴，垂足为C， 交 于点
D．若D为 的中点， 的面积为1．
（1） 的面积是_______．
（2）k的值为_______．
【答案】 ①. 1 ②.【解析】
【分析】此题考查了反比例函数系数 的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据
的面积为1，列出关系式是解题的关键．
（1）利用三角形的中线即可得出结果；
（2）先设点 坐标为 ，得出点 的坐标为 ， 的坐标为 ，再根据 的面积
为1，列出关系式求得 的值．
【详解】解：（1）∵D为 的中点， 的面积为1，
∴ 的面积等于 的面积，
即： 的面积等于1；
故答案为：1．
（2）设点 坐标为 ，
∵点 为 的中点，
∴点 的坐标为 ，
∵点B在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵ 轴， 在反比例函数图象上，
∴ 的坐标为 ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简绝对值，代入特殊角的三
角函数值，再合并即可．
【详解】解：
16. 某项环保工程，先由甲队单独施工 10天完成 后，再增加乙队共同施工8天即可完成．求乙队单独
完成此项工程的天数．
【答案】乙队单独完成此项工程需要20天
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设乙队单独完成此项工程需要 天，根据工作总量等于各劳动分
量之和，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵甲队单独施工 10天完成 后，
∴甲队单独施工需要30天，设乙队单独完成此项工程需要 天，由题意，得：
，
解得： ，
经检验 是原方程的解；
答：乙队单独完成此项工程需要20天．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在 10×10的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上． 的三个顶点坐标分
别为 ， ， ．
（1）将 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，请在图中画出平移后的 ．
（2）作出 关于原点O中心对称的图形 ．
（3）若 内存在一个格点 P，使得 ，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先分别确定A，B，C平移后的对应点 ， ， ，再顺次连接即可；
（2）先分别确定A，B，C平移后的对应点 ， ， ，再顺次连接即可；（3）根据平移的性质确定 的位置，可得其坐标．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，
【小问2详解】
解：如图， 即为所求；
【小问3详解】
解：如图， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是平移的作图，画中心对称的两个图形，平移与坐标变化，坐标与图形，掌握平移的
性质并应用于画图是解本题的关键．
18. 观察下列等式．……
（1）请写出第 5 个等式：
（2）猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值．
【答案】（1）
（2）2870
【解析】
【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算：
（1）根据上述等式写出第5个等式即可；
（2）根据上述等式写出第n个等式，并据此计算 的值．
【小问1详解】
解：第5个等式： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：第n个等式： ，
∴
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 《周髀算经》是中国古代数学著作中最早涉及解三角形的专著之一，其中记载为了掌握“农时”，古
人开始观象授时，其中一种办法叫“圭表测影（如图1）”，即“表”垂直于地而，“圭”横放于地面，
通过“表影”长短判断季节．如图2，为了测量某古塔的高度，小明将一根 长的竹竿（ ）立在M处，当塔顶点 A，竹竿顶点 N以及地面点C在同一条直线上时，测得 ，然后小明将竹
竿向前移动 到点 ， ，当点 A， ， 共线时，测得 求古塔
的高度．（结果精确到 ，参考数据：
）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数值，结合直角三角形表示出 、 、 、
，再根据 即可求解．解题的关键在于正确利用正切值进行计算．
【详解】解：由题意可知， ， ， ， ，
，则
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
而 ，
即： ，
∴ ．
20. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，过点D作 的切线
交 于点E．
（1）求证： ．
（2）已知 ，过点O作 于点F，若P为 上一动点，且 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等
知识 ：
（1）连接 ，得 ， ， ，得出 ，从而可得结论；（2）过点E作 ，连接 ，求出 ，证明 ，得出 ，
证明 ，求出 ，根据勾股定理可求出 ，从而可得结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【
小问2详解】
解：过点E作 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
在
中， ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座．为了解学生的掌握情况，在七年级进行了一次国学知识
测试并按成绩x（x为整数）分评定为A，B，C，D 四个等级： ． ；B． ；C．
；D． ．从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分
信息缺失）．
七年级国学知识测试成绩统计表
等 频 数 （ 人 频
级 数） 率
A 30
B 60
C m
D n请根据所给信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的样本容量为 ，扇形统计图中A 等级所在扇形的圆心角度数为 °．
（2）本次抽查的成绩的中位数落在 等级中．（填A，B，C，D）
（3）该校决定对D等级的学生再次进行国学知识普及教育，已知m是n的5倍，那么该校七年级的450
名学生中，需再次接受国学知识普及教育的学生约有多少人？
【答案】（1） ；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由B组人数除以其占比即可得到样本容量，由 乘以A的占比即可得到圆心角；
（2）由A，B的占比即可得到中位数落在哪个组；
（3）先建立方程组求解 的值，再由总人数乘以D的占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵ （人），
∴本次抽查的样本容量为 ，
，
扇形统计图中A 等级所在扇形的圆心角度数为 ；
【小问2详解】
解：∵A等级的人数为 人，B等级的人数为 人，频率为 ，
∴A等级的频率为 ，
中位数在B等级；
【小问3详解】
解：由题意可得：
，解得： ，
∴该校七年级的450名学生中，需再次接受国学知识普及教育的学生约有：
（人）．
【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，中位数的含义，样本容量的含义，利用样本估计总
体，二元一次方程组的应用，掌握基础的统计知识是解本题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，已知 ， ， 三点的坐标分别为 ， ， ，抛物线 经过 ，
两点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）过点 作线段 的平行线，交抛物线于点 ，连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理
由．
（3） 为线段 上一动点，过点 作 轴的平行线，交该抛物线于点 ，当线段 最长时，求点
的坐标．
【答案】（1） ；
（2）菱形，理由见解析；
（3） ．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法，平行四边形与菱形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点的
应用是解题的关键．（ ）用待定系数法即可求函数的解析式；
（ ）利用待定系数法求出 的解析式，再求出 直线的解析式，联立联立 ，可
知点 的坐标，即可得出结论；
（ ）设设 ，则 ，表示出 的长，然后根据二次函数的性质即
可求解．
【小问1详解】
解：将点 ， 代入 得，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：四边形 是菱形，理由：
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ， 三点的坐标分别为 ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
【小问3详解】
解：设 ，则 ，
∴
，∴当 时，线段 最长，
∴点 的坐标为 ．
八、（本题满分14分）
23. 在 中， 是 边上一点， 与 交于 点．
（1）如图1，若 ， 于点 F．
①求证：
②求 的值．
（2）如图2，若 ， ，已知． 求 的长．
【答案】（1）①证明见解析，②
（2）
【解析】
【分析】（1）①先证明 ，可得 ，再利用相似三角形的性质可得结论；②
过点 作 于点 ，证明 ，即可解题；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，得出
，然后推导 ，得到 ，即可解题．
【小问1详解】证明：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
∵ ，，
又 ， ，
∴
又∵ ，
，
，
；
【小问2详解】
解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性
质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
