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2025 年中考模拟试题
数学试卷
温馨提示：
数学试卷8页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，理解定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题的关键．据
此求解即可．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：A．
2. 每年 月 日是中国航天日， 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红
一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点 米．将
用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法： （ ， 为正整数），先确定 的值，
再根据小数点移动的数位确定 的值即可解答，根据科学记数法确定 和 的值是解题的关键．
【详解】解： ，
故选： ．
3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键．
根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可．
【详解】解：从正面可发现有两层，底层有2个正方形，上层的左边是1个正方形．
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. x2＋x2＝x4 B. a2•a3＝a5
C. （3x）2 ＝6x2 D. （mn）5÷（mn）＝mn4
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方法解答．
【详解】解：A、x2+x2＝2x2，错误；
B、a2•a3＝a5 ，正确；
C、（3x）2 ＝9x2，错误；
D、（mn）5÷（mn）＝（mn）4，错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、除法，关键是根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方
法则，正确的计算是解题的关键．
5. 已知 ，则整数n的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了无理数的估算，解决本题的关键是估算出 的取值范围，首先得出
，得出 的取值范围，即可得出n的值．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：B．
6. 当 时，函数值 随 的增大而增大的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象与性质，解决本题的关键是根据函数的图象与性质进行判断．
【详解】解：A选项： 函数 是反比例函数，且 ，
函数的图象在第二、四象限，在每个象限内函数值 随 的增大而增大，故A选项符合题意；
B选项：函数 是一次函数，且 ，
的
函数 图象经过第二、四象限，函数值 随 的增大而减小，故B选项不符合题意；
C选项：函数 是二次函数，且对称轴是 轴，二次项系数为 ，
在 轴左侧，函数值 随 的增大而减小；在 轴右侧，函数值 随 的增大而增大，故C选项不符合
题意；
D选项：函数 是一次函数，且 ，
函数值 随 的增大而减小，故D选项不符合题意．故选：A ．
7. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄
灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的
时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少．
【详解】根据题意可知，每分钟内黄灯亮的时间为 秒，每分钟内黄灯亮的概率为 ，故抬
头看是黄灯的概率为 .
故选A.
【点睛】本题主要考查求随机事件概率的方法，熟悉掌握随机事件A的概率公式是关键.
8. 如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ．若 ， ， 的半径为
3，则劣弧 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是求出圆心角，记住弧长公式．连接 ， ．利用圆内接四边形的性质求出 ，再求出圆心角 ，利用弧长
公式求解．
【详解】解：连接 ， ，
四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
的长 ．
故选： ．
9. 如图，在边长为3的正方形 的外侧，作等腰三角形 ， ．若F为 的中点，
连接 并延长，与 相交于点G，则 的长为（ ）
A. B. 4 C. D.【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，作 ，由边长为3的正方形 ，等腰三角形 ，
． F 为 的 中 点 ， 得 ． ， ， 得
，H是 的中点，得 ， ， ，即可得
．
【详解】解：作 交 于I，
边长为3的正方形 ，等腰三角形 ， ．F为 的中点，
． ， ，
，
， ，
H是 的中点，
，
， ， ，．
故选：C
的
10. 若二次函数 最大值为 ，且 ，则下列结论正确 是（
）
A. ， B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与 轴的交点等知识点，明确二次函
数的相关性质是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的
关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵二次函数 的最大值为 ，
∴ 开口向下，对称轴为直线 ，
∴ ；
又∵ ，
∴ 时 及 时 ，
∴ ，
∴ ，故C选项不正确，
∴ ．
∴ ， 故A选项不正确；
∵ ，
∴顶点纵坐标大于 ，
∴ 变形为 ，故B选项不正确；∵抛物线与 轴两交点间距离大于4，
∴ ，
即
故D选项正确．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
11. 分解因式：8－2x2＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式2后再利用平方差公式因式分解即可
【详解】
故答案为：
考点：分解因式.
12. 如图，已知 ，点 在线段 上（不与点 ，点 重合），连接 ．若 ，
，则 的度数是______．
【答案】 ##27度
【解析】【分析】此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质．由 为 的外角，利用外角性
质求出 的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出 的度数．
【详解】解：∵ 为 的外角，且 ， ，
，
即 ，
，
，
，
故答案为： ．
13. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u
表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．若已知f、v，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】利用分式的基本性质，把等式 变形即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．14. 如图，将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边上的 处，称为第 次操作，折痕
到 的距离记为 ；还原纸片后，再将 沿着过 中点 的直线折叠，使点 落在 边
上的 处，称为第 次操作，折痕 到 的距离记为 ；若 ．
（1）则 ______；
（2）按上述方法不断操作下去，经过第 次操作后得到的折痕 到 的距离记为 ，则
的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了中位线定理、数字的规律探、折叠的性质，解决本题的关键是根据折叠的性质探
索折痕到 的距离的变化规律，根据规律得到结果．
根据折叠的性质可知 ， ，利用 可证 ，根据全等
三角形的性质可证 是 的中位线， ，根据三角形中位线的判定定理可得： 是
的中位线，根据中位线的性质可得 ，所以可得 ，所以可得点 到 的距离
，所以可得 ；由 中的变化规律可知经过第 次操作后得到的折痕 到 的距离为
．
【详解】 解：如下图所示，连接 ，交折痕 于点 ，
根据折叠的性质可知 ， ，
在 和 中 ，
，
， ，
是 的中位线， ，
，
，
是 的中位线，
，
， ，
同理可得：第二次折叠后 ， ，
是 的中位线，
点 到 的距离 ，；
故答案为： ；
由 可知第一次折叠后 到 的距离为 ，
第二次折叠后 到 的距离为 ，
第三次折叠后点 到 距离为 ，
的
到 的距离为 ，
，
经过第 次操作后得到的折痕 到 的距离为 ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题
关键．先计算二次根式、负整数指数幂、乘方、特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可．【详解】解：
．
16. 如图，在方格网中已知格点 和点 ．
（1）画 和 关于点 成中心对称；
（2）请在方格网中画出以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形的 点．（画出一个即可）
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题考查复杂作图，涉及中心对称图形性质、平行四边形性质等知识，熟记相关性质作图是解决
问题的关键．
（1）根据中心对称性质，作出 三个顶点关于点 成中心对称的点 ，连线即可得到答
案；
（2）连接 、 、 构成三角形，分别过 的三个顶点作相应对边的平行线，三条平行线的交点
即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：
即
即为所求（一个即可）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 运输户承包运送2000套玻璃茶具，运输合同规定：每套运费1.6元；如有损坏，每套不仅得不到运费，
还要赔18元．结果，这个运输户得到运费3102元．运输过程中损坏了几套茶具？
【答案】 套
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用（其他问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是
解题的关键．
设运输过程中损坏了 套，根据题意得 ，解方程即可求出 的值．
【详解】解：设运输过程中损坏了 套，根据题意得： ，
解得： ，
答：运输过程中损坏了 套茶具．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： 与反比例函数 的图象交于 、 两点，
与 轴相交于点 ，已知点 的坐标是 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 为反比例函数 图象的任意一点．若 ，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数
图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键．
（1）先求出 坐标，再由待定系数法求解；
（2）根据图象求出 ，再根据 求出 ，根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：将 代入 得， ，∴ ，
将 代入 得： ，
∴反比例函数解析式为： ；
【
小问2详解】
解：把 代入 得： ，
即点 的坐标为： ，
，
，
，
，
∴ ，
当点 的纵坐标为2时，则 ，解得 ，
当点 的纵坐标为 时，则 ，解得 ，
点 的坐标为 或 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得 ，
， ， ， ，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据： ．）
【答案】52m
【解析】
【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．先证明四边形CEBF是正方形，设CE=BE=xm，
根据三角函数表示出DE，根据 列方程求出CE=BE=48m，进而求出CF=BF=48m，解直角三角
形ACD求出AC，得到AF，根据勾股定理即可求出AB，问题得解．
【详解】解：如图，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．
∵∠FCD=90°，
∴四边形CEBF是矩形，
∵BE⊥CD， ，
∴∠BCE=∠CBE=45°，
∴CE=BE，
∴矩形CEBF是正方形．
设CE=BE=xm，
在Rt△BDE中，
m，
∵ ，
∴ ，
解得x=48，
∴CE=BE=48m，∵四边形CEBF是正方形，
∴CF=BF=48m，
∵在Rt△ACD中， m，
∴AF=CF-AC=20m，
∴在Rt△ABF中， m，
∴A，B两点之间的距离是52m．
【点睛】本题考查了解直角三角形应用，理解题意，添加辅助线构造正方形和直角三角形是解题关键．
20. 如图，已知 的直径 ，弦 于点 ， ．过点 作 于点 ，交
于点 ，交 与点 ．
（1）求证： ；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质．
（1）利用等角的余角相等，求得 ，利用圆周角定理即可证明结论成立；
（2）利用垂径定理求得 ，证明 ，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，如图，
∵ 是 的直径，且 ，弦 于点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽
取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：（A： ，B： ，C： ，D： ）．下面给出了部分
信息：
七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99．
八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：91，93，94．
七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表
七年 八年
年级
级 级
平均
91 91
数
中位
90 b
数
众数 c 100
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ______， ______， ______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由；
（3）该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比
赛成绩不低于90分的学生人数一共是多少？
【答案】（1）40，93.5，97
（2）八年级安全意识更强，理由见解析
（3）1300人
【解析】
【分析】题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量
之间的关系是解决问题的关键．
（1）先利用扇形统计图求出八年级D组的人数，进而求出a的值；再利用中位数和众数的定义，求出b、
c的值；（2）根据中位数和众数进行分析即可；
（3）用七、八年级的学生人数分别乘以比赛成绩不低于90分的学生人数的占比，即相加即可得出答案．
【小问1详解】
解：八年级D组的人数为： (人)，
∴ ，
∴ ，
∵八年级抽取的学生的比赛成绩中，排在第五、六名的成绩为93、94，
∴ ，
的
∵七年级抽取 学生的比赛成绩中，97出现的次数最多，
:∴ ，
故答案为：40，93.5，97；
【小问2详解】
解：八年级安全意识更强，理由如下：
从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生安全意识
更强；
【小问3详解】
解： (人)，
答：估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是1300人．
七、（本题满分12分）
22. 已知点 和 在二次函数 （ ， 是常数， ）的图象上．
（1）当 时，求 和 的值；
（2）若二次函数的图象经过点 且点 不在坐标轴上，当 时，求 的取值范围；
（3）求证： ．【答案】（1） ，
（2） 且
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当 时，二次函数 的图象过点 和 ，把点 和 代
入解析式，得 ，解方程组即可求出 和 的值；
（2）由 的图象过点 和 可得抛物线的对称轴为直线 ，由于
的图象过点 和 且点 不在坐标轴上，因而由函数图象的对称性可得
，即 且 ，由 可得 ，由此即可得出 的取值范围；
（3）由抛物线 的图象过点 和 可得抛物线的对称轴为直线 ，即
，由点 和 在二次函数 （ ， 是常数， ）的图象上可得
， ，得 ，即 ，进而可得 ，
于是结论得证．
【小问1详解】
解：当 时，二次函数 的图象过点 和 ，
把点 和 代入解析式，得：，
解得： ，
， ；
【小问2详解】
解： 的图象过点 和 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
的图象过点 ， ，且点 不在坐标轴上，
由函数图象的对称性可得： ，
，且 ，
，
，
且 ；
【小问3详解】
证明： 抛物线 的图象过点 ， ，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
点 和 在二次函数 （ ， 是常数， ）的图象上，，
，得： ，
即： ，
，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，不等式的性质，解二元
一次方程组等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键．
八、（本题满分12分）
23. 如图，四边形 中， ， ， 、 相交于点 ，
，垂足为点 ，连接 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求 的值；
（3）求证： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】【分析】（1）如图，过点 作 于点 ，证明四边形 是矩形，得 ，进一步证
明 垂直平分 ，即可得证；
（2）证明 得 ，推出 ，证明 ，由相似三角
形的性质可得结论；
（3）证明 得 ，设 ，则 ，得 ，进一
步推出 ，得 ，推出 ，得 ，再推出
，即可得证．
【小问1详解】
证明：如图，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即点 是 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ；
【小问2详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
证明：由（2）知， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比
例定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定和性质等知识点．掌握相
似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
