文档内容
2025 年九年级学业水平测试卷二
注意事项：
1.数学试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共 4 页，“答题卷”共6页．请
务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 实数3， ，0， 中，最小的实数是（ ）
A. 3 B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数大小的比较，熟练掌握比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比
较，绝对值大的反而小是解题的关键．
根据实数大小的比较法则，得出 ，即可求解．
【详解】解：∵
∴最小的实数是 ．
故选：D．
2. 节约粮食，倡导“光盘行动”．据不完全统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克．数据
“500亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成 的形式即可．
本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位
数减去1确定n值是解题的关键．【详解】解：∵ 亿 ，
故A，D，C，都不符合题意，B符合题意，
故选：B．
3. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的三视图是解题关键．
根据主视图与左视图可判定几何体是锥体的组合体，由俯视图可判定是圆锥，由此即可得出答案．
【详解】解：主视图与左视图是由两个三角形组成，可判定几何体是锥体的组合体，
俯视图是圆中有一点，可判定是圆锥，
所以可确定几何体是两个底面重合的圆锥的组合体，故只有C选项题意．
故选：C．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简二次根据，再合并同类项即可判断 A；根据同底数幂相乘法则计算并判断B；根据积的乘
方与幂的乘方法则计算并判断C；根据同底数幂除法法则计算关判断D．
【详解】解：A、 ，计算正确，故此选项符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；C、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式加减运算，同底数幂相乘，积 的乘方与幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌
握相关运算法则是解题的关键．
5. 物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了
如图2 所示的图象，则下列说法错误的是（ ）
的
A. 实验开始时，冰块 温度为
B. 加热2 后，冰块开始熔化
C. 冰块熔化过程持续了8
D. 冰块熔化后，继续加热，温度计读数在一定范围内每分钟增加1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象的识别与分析，正确识别函数图象是解答本题的关键．由题意直接结合函
数图象逐一进行判断即可．
【详解】解：由题意可知：
实验开始时，冰块的温度为 ，故选项A不符合题意；
加热2 后，冰块开始熔化，故选项B不符合题意；
冰块熔化过程持续了 ，故选项C符合题意；
冰块熔化后，继续加热，温度计读数每分钟增加1 ，故选项D不符合题意．
故选：C．
6. 如图，已知点A，B，C在 上， ．若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 ，延长 交 于点E，根据垂径定理及其推论，确定 的大小，后利用圆周角
定理解答即可．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：连接 ，延长 交 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 都对着 ，∴ ，
故选：A．
7. 如图，在四边形 中， 为对角线， ，如果要证得 与 全等，那么可以
添加的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形
的判定方法是解题的关键．
【详解】解：在 和 中， ， ，
、当添加条件 ，得到 ，对应相等的条件为 ，不能证得 与
全等，该选项不合题意；
、当添加条件 ，对应相等的条件为 ，不能证得 与 全等，该选项不合题意；
、当添加条件 ，对应相等的条件为 ，不能证得 与 全等，该选项不合题
意；
、当添加条件 ，对应相等的条件为 ，能证得 与 全等，该选项
符合题意；
故选： ．8. 已知 则 的最小值是（ ）
A. B. 0 C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】构造一元二次方程，利用根与系数关系定理，构造二次函数，利用函数增减性，求最值解答即可．
【详解】解：∵ ， ，且 ，
∴a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
∴ ， ， ，
∴
∵ ，
∴抛物线开口向上，
∴ 有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ 时， 有最小值，且 ，
为
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的构造，根与系数关系定理，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟
练掌握构造方程，构造二次函数是解题的关键．
9. 如图，在边长为 12的正方形 中，点E是 的中点，点 F，G分别在边 ， 上，且
．若 平分 ，则 的长为（ ）A. B. 9 C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过 作 于 ，延长 交 于 ，证明四边形 是矩形，
，求解 ，可得 ，求解 ， ，
，证明 ，设 ，则 ，进一步利
用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于 ，延长 交 于 ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ， ， ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∵ 为 的中点，∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的
性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
的
10. 如图，在矩形 中， ，动点 P 从 A 点出发，以 速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以 的速度沿 的方向运动，两动点到达
C点停止运动．设运动的时间为 ， 的面积为 ，则下列y关于x的函数图像正确的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P在 上运动，点Q在
上运动，即 时；②当点P在 上运动，点Q在 上运动，即 时；③当点P在
上运动，点Q在 上运动，即 时．再根据三角形的面积公式分段求出y关于t的函数关系
式，最后根据关系判断函数图像即可．
【详解】解：①当点P在 上运动，点Q在 上运动，即 时，此时 ，
∴ ；
②如图：当点P在 上运动，点Q在 上运动，即 时，∴ ；
③如图：当点P在 上运动，点Q在 上运动，即 时，
∴ ，
∴
,
＝ ；
综上， ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．【答案】6
【解析】
【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键．
根据有理数除法法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：6．
12. 2025年春节期间，古城寿县推出非遗民俗文化节，通过非遗体育展演、非遗戏曲展演、非遗民俗展
演、非遗市集、非遗灯展、二十四节气馆等，为游客提供多维非遗体验．小聪和小明商定从“非遗戏曲
展演”“非遗民俗展演”“非遗市集”“非遗灯展”四种中各随机选择一种，用于宣传非物质文化遗产，
两人恰好选中同一种的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用画树状图法解答即可．
本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
【详解】解：设“非遗戏曲展演”表示为A，“非遗民俗展演” 表示为B，“非遗市集”表示为C，“非
遗灯展” 表示为D，根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小聪和小明恰好选中同一项目的结果有4种，
两人恰好选中同一种的概率是 ．
13. 如图，在正方形 中， 、 分别为边 、 的中点，以点F为圆心， 为半径作扇形
，与 的延长线交于点 N，与 交于点M．若 ，则 的长为________．【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，连接
，由正方形的性质可得 ， ，证明四边形 是平行
四边形，得到 ，则 ，进而可证明 垂直平分 ，则 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 、 分别为边 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
由作图方法可得 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点A、C恰好落在双曲线 上，且点O在
上， 交x轴于点E．①当A点坐标为 时，D点的坐标为______；②当 平分 时，
正方形 的面积为______．
【答案】 ①. ②. 12
【解析】
【分析】①先求解 ，如图，连接 ，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，证明
，可得 ，从而可得答案；
∴ ；
②设 ，同理可得： ，求解直线 为 ，可得 ，求 解 ，
如图，过 作 于 ，证明 ，可得 ，可得
，而 ，求解 ， ，从而可得答案．
故答案为： ，
【详解】解：①∵ 在 上，
∴ ，即 ，
如图，连接 ，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
②设 ，
同理可得： ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ，
当 时，则 ，
解得： ，即 ，
∴ ，
，
如图，过 作 于 ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理可得： ，
∴ ，而 ，
∴ ， ，
∴正方形的面积 ．
故答案为： ，
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，
反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于
压轴题．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式的方法即可得出不等式的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知求解的步骤是解题的关键．【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
16. 花生糕是河南的一道地方传统小吃，某超市购进一批花生糕，一批顾客下单进行团购，若 3人一组进
行团购，每组购买5盒，则余10盒；若4人一组进行团购，每组购买8盒，则余2盒．这批花生糕有多少
盒？有多少顾客参与团购？
【答案】这批花生糕有50盒，有24位顾客参与团购．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设有x位顾客参与团购，根据“若3人一组进行团购，每组购
买5盒，则余10盒；若4人一组进行团购，每组购买8盒，则余2盒”，结合这批花生糕的盒数不变，可
列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，据此即可求出这批花生糕的盒数．
【详解】解：设有x位顾客参与团购，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ （盒）．
答：这批花生糕有50盒，有24位顾客参与团购．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在6×6的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画出将 以点A 为旋转中心，按逆时针旋转 得到的 ；
（2）在图2中画出 关于点O 成中心对称的 ，使点A，B分别与点 D，E对应．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的全等性质，结合旋转角为 ，画图解答即可．
（2）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点解答即可．
本题考查了旋转作图，中心对称作图，熟练掌握作图的基本要领是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据旋转的全等性，旋转角为 ，方向为逆时针，画图如下：
则 即为所求．
【小问2详解】
解：根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，画图如下：
则 即为所求．18. 【观察思考】
【规律发现】
（1）请用含 n 的式子填空：
如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“★”或“▲”．
第1个图案中“★”有4×1个；“▲”有1+3×1个；
第2个图案中“★”有4×2个；“▲”有1+3×2个；
第3个图案中“★”有4×3个；“▲”有1+3×3个；
第4个图案中“★”有4×4个；“▲”有1+3×4个；
……
第n个图案中“★”有 个， “▲”有 个；
【规律应用】
（2）在第2025个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少．
【答案】（1） ；
（2）2024
【解析】
【分析】本题考查了图形个数规律题，发现“★”的数量与“▲”的数量的规律是解题的关键．
（1）根据题中的规律进行解答即可；
（2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量，作差即可得到答案．
【详解】解：（1）第1个图案中“★”有 个；“▲”有 个；
第2个图案中“★”有 个；“▲”有 个；
第3个图案中“★”有 个；“▲”有 个；
第4个图案中“★”有 个；“▲”有 个；
，
第 个图案中“★”有 个，“▲”有 个；
故答案为： ； ．（2）第2025个图案中，“★”的数量为： （个 ，
“▲”的数量为： （个 ，
（个 ，
答：在第2025个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少2024个．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 随着网络时代的发展，各种“视频直播”已经成为当前网络购物新潮流．图1是网络主播使用的某种
手机支架，其平面示意图如图2所示，立杆 垂直于地面，其高为 ， 为支杆，它可绕点 B旋
转， ， 为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度．若调节支杆 ，悬杆 ，使得
， ，且点 D到地面的距离为 ，求此时悬杆 的长度．（参考数据：
， ， ，结果精确到 ）
【答案】60
【解析】
【分析】过点D作 于点E，过点C作 于点G，交 于点F，则四边形 是矩形，
解直角三角形求解即可．
本题考查了矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值的应用，解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数
值，灵活解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点D作 于点E，过点C作 于点G，交 于点F，
则四边形 是矩形，
∴ ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答：此时悬杆 的长度为 ．
20. 如图， 为 的直径， 与 相切于点C，过点B作 于点D，连接 ．
（1）求证 平分 ；
（2）若 ， ，求 的长．【答案】（1）答案见解析
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的
判定与性质．勾股定理的应用
(1)连接 ，根据 切线 的性质 ，则 ，又因 为 ，所以
，又因为 ，得出 则 平分 ；
(2)根据勾股定理可求出 ，根据 利用相似比求出 的长．
点评
【小问1详解】
证明：连接 ，
与 相切于点C
为 的直径，
AB为 的直径BC平分
【小问2详解】
解： 为 的直径
，
，
， ，
六、（本题满分12分）
21. 乙巳蛇年春节是春节这一中华民族的文化瑰宝，被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代
表作名录，迎来的首个“世界非遗版”春节．某学校举办了以“春节——中国人庆祝传统新年的社会实
践”为主题的知识竞赛，为了了解学生对“春节”知识的掌握情况，现从七、八年级参赛学生中各随机抽
取20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，单位：分，满分100分，将学生竞
赛成绩分为A，B，C，D四个等级．A： ，B： ，C： ，D：
），并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
七年级抽取的学生为等级B的竞赛成绩：91，92，94，94；
八年级抽取的学生为等级B的竞赛成绩：90，93，93，93，94，94，94，94，94．七、八年级抽取的学生竞赛成绩综合统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91 a 95
八年级 91 93 b
（1）填空： ， ， ；
（2）补全七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（3）若七年级共有600名学生参赛，八年级共有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为“等
级A”的学生共有多少人．
【答案】（1）93，94，20
（2）见解析 （3）400人
【解析】
【分析】（1）利用平均数，中位数的定义，圆心角的计算解答即可．
（2）根据条形图的画法解答即可；
（3）根据样本估计整体的思想计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得 组有5人，D组有3人，B组有4人，且中位数是第10个数据和第11个数据的平均数
即 （分），
根据题意，得 组有得 （人），D组有得 （人），B组有9人，
A组有4人，且94出现了5次，最多，故众数 （分），
由 ，
故 ．
故答案为：93，94，20．
【小问2详解】
解：根据题意，得 组有5人，D组有3人，B组有4人，A组有8人，补图如下：
．
【小问3详解】
解：根据题意，得 （人）
答：两个年级参赛学生中成绩为“等级A”的学生共有400人．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，中位数，众数，样本估计总体，读懂统计图，
熟练掌握圆心角，中位数的计算是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 在正方形 中，点 是对角线 上一点，连接BE，过点 分别作 ， 的垂线 ，
分别交直线 ， 于点F．G．（1）如图1，求证： ；
（2）若将“正方形 ”改为“矩形 ”， ， ，其他条件不变．
（i）如图2，求 的值；
（ii）如图3，当点 E为 的中点时，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得出 ， ，证出 ，
由 可证 ，由全等三角形的性质得出 ；
（2）（i）证明 ，由相似三角形的性质得出 ，求出 ，则可得出
答案；
（ii）过点 作 于 ， 于点 ，证出 ， ，由（2）知
，由相似三角形的性质证出 ，由锐角三角函数的定义得出
，求出 的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【小问1详解】
证明： 四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：（i） 四边形 是矩形，
，
，
，
，
， ，
，
又 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，；
（ii）过点 作 于 ， 于点 ，
为 的中点，
，
， ，
∴ ，
，
，
同理可得 ，
由（2）知 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角
形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 经过点 ．
（1）若 ，求此时抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线经过点 ，当 时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若当 时，点 都在该抛物线上，且 ，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或 ．
（3） 或
【解析】
【分析】（1）把 代入解析式 ，确定a，b的关系，再根据对称轴为直线
，计算解答即可；
（2）根据 经过点 ，确定抛物线的对称轴，分 和 两种情况求解
即可；
（3）根据题意，确定 ，结合 ，构造不等式 且
．求解不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴点 就是 ，
∵抛物线 经过点 ，∴ ，
∴ ，
∴对称轴为直线 ．
【小问2详解】
解：∵根据 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴对称轴为直线 ．
当 时，抛物线开口向上，
∴抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当 时，范围 在对称轴的右侧，满足y随x的增大而增大，
解得 ，
∴a的取值范围是 ；
当 时，抛物线开口向下，
∴抛物线的对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴当 时，范围 在对称轴的左侧，满足y随x的增大而增大，
∵ ，
解得 ，
∴a的取值范围是 ；
综上所述，当 时，y随x的增大而增大，a的取值范围是 或 ．【小问3详解】
解：当 时，抛物线 开口向上，
∵抛物线 经过点 ，
∴ ．
∵点 都在该抛物线上，
∴两点是对称点， ，
∴对称轴为直线 ．
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
解得 且 ．
令 ，
当 时，
解得 ，
画函数图象如下：故 时，m的取值范围是 或 ，
的
综上所述，符合题意 m的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了抛物线对称轴的计算，抛物线的增减性，抛物线与不等式的关系，分类思想的应用，
数形结合思想的应用，熟练掌握增减性，抛物线与不等式的关系是解题的关键．
