文档内容
2025 年安徽省初中学业水平考试
数学冲刺（一）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为 150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列实数是负数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数、相反数、绝对值，根据 既不是正数也不是负数，可知A选项不符合题
意；根据在一个数前面添加负号表示求这个数的相反数，可知 ，所以B选项不符合题意；根据
绝对值的定义可知 ，所以可知 表示的是负数，所以C选项符合题意；因为 ，所以
是正数，所以D选项不符合题意．
【详解】解：A选项： 既不是正数也不是负数，故A选项不符合题意；
B选项： ， ，
是正数，故B选项不符合题意；
C选项： ， ，是负数，故C选项符合题意；
D选项： ，
是正数，故D选项不符合题意．
故选：C．
2. 全光省际骨干网是一种超高速光纤通信传输技术，承担着连接国家数据中心枢纽的作用，是“东
数西算”的大动脉，也是算力数据流通的“超级运输系统”．光纤通信信号传播 公里，仅需大约
秒．数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较小的数，用科学记数法表示一个较小的数就是把这个数写成
的形式，其中 ，其中 的指数与小数点移动的方向和位数有关，本题中需要把小数点
向右移动 位，所以 的指数是 .
【详解】解： ．
故选：A．
3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，几何体的三视图是从几何体的正面、侧面、上面看取的平面图形，
俯视图是从几何体的上面看到的平面图形，俯视图的形状与几何体的底面、侧面的形状有关．
【详解】解：由图可知，这是一个四棱台，上面的正方形小，下面的正方形大， 个侧面是 个等腰梯形，
该几何体俯视图如下图所示，
故选：B．
4. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂 的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】解： ，
故选：D．
5. 如图， ， 于点 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理，首先根据平行线的
性质可知 ，根据垂直的定义可知 ，根据三角形内角和定理可得：
．【详解】解： ， ，
，
，
，
在 中， ，
．
故选：A．
6. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握常见的因式分解法和定义成为解题的关键．
根据因式分解的定义、提公因式法、公式法、十字相乘法进行因式分解并判断即可解答．
【详解】解：A． ，故该选项符合题意；
B． ，故该选项不符合题意；
C． ，故该选项不符合题意；
D． 不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意．
故选：A．
7. 据中国汽车工业协会统计分析，2024年1月份我国乘用车销量为212万辆，2月份乘用车销量较1月份
下降了 ，假设下降率不变，3月份的销量为 万辆，则（ ）
A. B.
C. D.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．根据题意列方程得
，即可得到答案．
【详解】解：根据题意列方程得 ，
故选：C．
8. 甲、乙两人进行为期一周的篮球投篮训练，每天都进行投篮测试，下表是甲、乙在每天 10次投篮测试
中投中的次数，则下列说法正确的是（ ）
一 二 三 四 五
甲 3 6 7 6 8
乙 2 2 7 9 10
A. 甲、乙的众数相同
B. 甲、乙的中位数相同
C. 甲的平均数比乙的平均数大
D. 甲的方差比乙的方差小
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差 的定义和求法，根据平均数、中位数、众数、
方差的定义及求法，即可一一判定．
【详解】解： ．甲的众数为6，乙的众数为2，故该选项不符合题意；
．甲的中位数为6，乙的中位数为7 ，故该选项不符合题意；
．甲的平均数为： ，乙的平均数为： ．甲乙的平均数一样，
故该选项不符合题意；
．甲的波动性比乙的波动性小，则甲的方差比乙的方差小，故该选项符合题意；
故选：D．
9. 菱形 的对角线 与 相交于点O，E，F是 所在直线上的两个不同的点，位于点O的两
侧，则下列条件中，不能得到四边形 为菱形的是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据
菱形的性质得到 是线段 的垂直平分线，结合四个选项，逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ 是线段 的垂直平分线，
添加 ，不能判定 ，
∴不能得到四边形 为菱形，故选项A错误，符合题意；
∵四边形 是菱形，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
添加 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴能得到四边形 为菱形，故选项B正确，不符合题意；
添加 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，又∵ ， ，
∴能得到四边形 为菱形，故选项C正确，不符合题意；
添加 ，
又∵ ， ，
∴能得到四边形 为菱形，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
10. 如图，正方形 的边 与等腰直角三角形 的斜边 在同一条直线上，此时点B与点E
重合，现向右平移正方形 ，设平移的距离为 x，它们重合部分的面积为 y，已知 ，
，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，以及三角形的面积，关键是掌握
二次函数的性质，解题是数形结合，分类讨论．结合图形，分四种情况分别求解即可判定出对应的图象．
【详解】解： 是等腰直角三角形， ，
， ．
①如图1，当 时，则 ，
正方形 中， ，
，
，．
②如图2，当 时，则 ．
，
同①可证明 ， ，
．
③如图3，当 时，则 ，
同①可证明 ， ，
；
④如图4，当 时，
同①可证明 ，
．综上所述，四种情况y均为x的二次函数．
故选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，先去分母再移项，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 如图，以 的顶点 为圆心， 为半径作 ， 与边 相切于点 ，与边 ，
分别相交于点 ， ，若 ， 分别为 ， 的中点，则 的度数是____．【答案】 ##120度
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线性质，解直角三角形，三角形内角和定理，解决问题的关键是作辅助线，构
造相似三角形．连接 ，可得 ，进而可得 ， ，根据解直
角三角形可得 ，根据三角形内角和定理即可解得．
【详解】解：连接 ，
与边 相切于点 ，
，
以 的顶点 为圆心， 为半径作 ，与边 ， 分别相交于点 ， ，
，
， 分别为 ， 的中点，
， ，
在 中， ，在 中， ，
，
，
故答案为： ．13. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于B，C两点，分别与y轴、x轴相交
于A、D两点，已知点B的纵坐标为6，点C的横坐标为3，则 ____．
【答案】10
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理等知识．先利用反比例函数求出
， ，再用待定系数法求出一次函数为 ，再求出 ， ，利用两点
间距离公式进行解答即即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于B，C两点，点B的纵坐标为
6，点C的横坐标为3，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
把 ， 代入 得到
，
解得 ，
∴一次函数为 ，当 时， ，
当 时， ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
14. 如图，在四边形 中， ， ， ，E，F分别是 ，
的中点，连接 ， ， ， ，P为边 上一点，过点P作 ，交 于点Q．
（1） 的度数为____°．
（2）若 ，则 的长为____．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形得到 ，结合 即可得到答空1答案，根
据勾股定理先求出 ，再结合中点得出 ，根据平行得到相似，结合面积比即可得到相似比即可得到
答空2答案．
【详解】解：（1）∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答空1答案为： ，
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵E，F分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为1，
故答空2答案为1．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，中位线，相似三角形判定及性质．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，涉及零指数幂、二次根式的乘法、去括号等知识，熟练掌握运算法则是解
题的关键．
【详解】解：
．
16. 《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足
一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还
剩余1尺，问长木多少尺？
【答案】长木为6.5尺
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用 ，设绳子x尺，长木y尺．根据题意列出关于x，y的二元
一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：设绳子x尺，长木y尺．
由题意可得
解得
答：长木为6.5尺．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ．（1）将 先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到 ，请画出 ．
（2）以点O为位似中心，在平面直角坐标系内，将 放大为原来的2倍得到 ，请画出
．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作图-平移变换和位似变换，掌握确定关键对应对点的位置成为解题的关键．
（1）利用点平移的坐标变换规律得到点 的坐标，然后顺次连接即可解答；
（2）如图：延长 到 使 ，延长 到 使 ，延长 到 使 ，
然后顺次连接 即可解答；
【小问1详解】
解：如图： 为所求．
【小问2详解】
解：如图： 为所求．18. 【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小
石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，
这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第 个三角形数是 ；图2中，第 个正方形数是 （请用含 的式子表示）．
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系： ，即第 个
与第 个三角形数之和等于第 个的正方形数．请将上述联系用含有 的等式表示出来，并证明．
【答案】（1） ； （2） ；见解析
【解析】
【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解，正确找出图形的规律是解题的关键．
（1）根据题意得出图1中第 个三角形数为 ，图2中第 个正方形数为 ，据此可得答案；
（2）根据题意列出等式并应用因式分解，即得证明．
【详解】解：（1）由题意知在图1中，第 个三角形数为 ，第 个三角形数为 ，
图2中，第 个正方形数为
故答案为： ， ；
（2）
证明：左边
右边，
∴等式成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 图1是中国空间站材料舱外暴露实验装置，自 年 月 日出舱至今，已在轨实验满一年．
年 月 日，装置及装置中安装的首批 余个材料样品圆满完成舱外暴露实验，成功返回中国空间站内．
图 是制作实验装置的某块原材料示意图，已知 ， ， ，
米，求四边形原材料 的面积．（参考数据： ， ，
）
【答案】四边形原材料 的面积为 平方米【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、三角形内角和定理，首先根据勾股定理可求
，根据三角形内角和定理可得 ，利用锐角三角函数可求 ，分别求出
和 的面积，两个三角形的面积之和即为四边形 的面积．
【详解】解：如下图所示，连接 ，
， 米，
米， ，
，
，
在 中， ，
（平方米）， （平方米），
（平方米）,
答：四边形原材料ABCD的面积为1平方米．
20. 已知 为 的直径， 为 一点，过点 作 的切线 交 的延长线于点 ， 为
上一点，连接 ， ， ， ．（1）如图1，若 ，求 的大小．
（2）如图2，连接 ，若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由切线的性质得 ，而 ，则 ，而
，再根据圆内接四边形对角互补的性质可得答案；
（2）设 交 于点 ，由 ，得 ，则 垂直平 ，得 ，
，则 ，由勾股定理得 ，求解即可．
【小问1详解】
解：∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
即 的大小为 ；
【小问2详解】
如图，设 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径长是 ．
【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，
圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等知识，证明 及 垂直平分 是
解题的关键．
六、（本题满分12分）21. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，某校倡导学生从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳
动意识，提高劳动技能．该学校为了解学生周末家务劳动时间（单位：小时）的大致情况，随机调查了部
分学生，并用得到的数据绘制了两幅统计图（不完整），请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生周末家务劳动时间的众数是 ，中位数是 ，并将条形统计图补充完整．
（2）求本次抽查的学生周末家务劳动的平均时间．
（3）学校准备举办家务劳动大赛，安排了A，B，C，D四个比赛项目，A为“做饭炒菜”，B为“叠被
子”，C为“整理物品”，D为“种植养护”，参赛者只能选择一个比赛项目，请用列表法或画树状图法
求甲、乙两位同学选到同一个项目的概率．
【答案】（1）1；1，见解析
（2） 小时
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图、中位数、众数、运用列表法求概率等知识点，灵活运
用相关知识解决实际问题成为解题的关键．
（1）用读书时间 小时的学生数除以其所占的百分比求得调查的样本容量，进而求得读书 小时的学
生数，然后根据众数、中位数的定义即可求解；最后补全条形统计图即可；
（2）根据平均数的定义列式计算即可；
（3）先根据题意列表确定所有等可能结果数以及甲、乙两位同学选到同一个项目的结果，然后运用概率
公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量为： 人，
则读书 小时的学生数为 ，由读书 小时的学生数最多，即众数为1，
由于样本容量为50，则中位数为读书时间从小到大排列的第25和26个数据的平均数，即都在读书 小时
这一组，即中位数为1．
补全条形统计图如下：
故答案为：1，1．
【小问2详解】
解： 小时．
答：本次抽查的学生周末家务劳动的平均时间为1.18小时．
【小问3详解】
解：根据题意列表如下：
甲
A B C D
乙
（ A ， （ A ， （ A ， （ A ，
A
A） B） C） D）
（ B ， （ B ， （ B ， （ B ，
B
A） B） C） D）
（ C ， （ C ， （ C ， （ C ，
C
A） B） C） D）
（ D ， （ D ， （ D ， （ D ，
D
A） B） C） D）
由表可知共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选到同一个项目的结果有4种，
所以甲、乙两位同学选到同一个项目的概率为 ．
七、（本题满分12分）22. 如图1，在矩形 中， 垂直对角线 于点E，交 于点F，M是 的中点，连接 并
延长，交 于点N， 于点H，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的值．
（3）如图2，若F是 的中点， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用矩形 的性质先证明 ，由全等三角形的性质得出 ，进而
可得出 ，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出 ，进而可得出
．
（2）设 ， ，则 ， ，由全等三角形的性质得出 ，
再得出 ，再根据正切的定义得出 ，进而可得出关
于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．
（3）延长 ， 相交于点G，设 ．由矩形的性质得出 ，由全等三角形的性质得出 ， ．再证明 ，由全等三角形的性质得出 ，求出b
的值，再根据勾股定理得出 ，再根据等面积法 求出 ．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵M是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴M是 的中点，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：设 ， ，则 ， ．
由（1）知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．在 和 中，
，
∴ ，
解得： ， （舍去）
∴
【小问3详解】
解：如图，延长 ， 相交于点G，设 ．
∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴在 中，
∵ ，
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，全等三角形综合问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，
勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 ： 的顶点在x轴上．
（1）求c的值．
（2）将抛物线 ： 先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线
，点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，且 ， ，试判定 ，
的大小，并说明理由．
（3）设抛物线 的顶点为A，抛物线 的顶点为B，向上平移直线 ，分别与 相交于点N，Q（点N在点Q的左边），与 相交于点M，P（点M在点P的左边），求证： ．
【答案】（1）
（2） ，理由见解析；
（3）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）本题考查抛物线与x轴交点问题，根据顶点在x轴上， 直接求解即可得到答案；
（2）本题考查二次函数的平移及二次函数的性质先根据平移得到 ，结合二次函数性质求出 ， 的
取值范围，再比较即可得到答案；
（3）本题考查抛物线与直线交点距离问题，先求出交点，从而求出直线解析式，再求出平移后的解析式，
联立二次函数求出交点坐标从而求出线段证明即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线 的顶点在x轴上，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
由（1）可知， ： ，
整理得 ： ，对称轴为直线 ，
故当 时，y取最小值，最小值为0，
当 时， ，
当 时， ，∴当 时， ，
平移后得 ，对称轴为y轴，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， ，
∴ ；
【小问3详解】
证明：由 ： ， 可知，
点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴直线 的解析式为 ，
设平移后直线的解析式为 ，
与抛物线 ： ，联立，得 ： ，
整理得 ，
设两根为 ， ，则 ， ，
∴ ，
平移后的解析式 与 联立，
得 ，整理得 ，
设两根为 ， ，则 ， ，∴ ，
如图，分别过点P，M作 轴， 轴，相交于点C，分别过点Q，N作 轴，
轴，相交于点D，
∵直线 与x轴的夹角（锐角）为 ，
∴ ，
∴ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
