文档内容
太和县 2025 年初中学业水平考试质量监测试卷（三）
数学
注意事项：
1．全卷满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，理解定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题的关键．据
此求解即可．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：B．
2. 年全国粮食总产量突破 斤，数据“ ”用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数，
解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故选： ．
3. 下图是一谷仓的示意图，其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形进行作答即可
【详解】解：依题意,谷仓的俯视图是
，
故选：D．
4. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式是解题的关键．根据因式分解的方法逐项分析判断即可．
【详解】解：A、 ，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，在 中， ， ， ，以A点为圆心， 长为半径画弧
交 边于点D，则图中阴影部分的周长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，弧长公式，熟记勾股定理，弧长公式是解题的关键．
根据勾股定理求出 与 的长，再根据作图推出 以及 的长，根据弧长公式求出弧
的长，即可推出结果．
【详解】解：在 中， ，
， ，
∵以 点为圆心， 长为半径画弧交 边于点 ，
，的长 ， ，
∴图中阴影部分的周长为 ，
故选：B．
6. 已知一次函数 与反比例函数 交于点 ，则反比例函数的解析式为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式
把点 代入 ，可得点 ，再代入 ，即可求解．
【详解】解：把点 代入 ，得：
，
∴点 ，
把点 代入 ，得∶ ，
∴反比例函数的解析式为 ．
故选：A
7. 如图，四边形 为正方形，E，F分别为边 ， 上靠近点B，C的三等分点，连接 ，
交于点G，若 ，则 （ ）A. B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形
的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
先证明 ，得到 ，从而证明 ，得到 ，
即 ，继而可求解．
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵E，F分别为边 ， 上靠近点B，C的三等分点，
∴ ， ，
∴
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
8. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题根据数轴上 、 对应点的位置确定 、 的取值范围，再据此逐一分析选项中的不等式是
否成立．本题考查数轴与不等式的综合应用．解题关键在于根据数轴准确判断出 、 的取值范围，再依
据不等式的基本性质对各选项中的不等式进行分析判断．
【详解】解：由数轴可知 ， ．
选项 A： 虽然 ， ，但 与 的大小关系不确定． 例如当 ， 时，
，
∴ 不一定成立．
选项B：
∵ ，那么 ，两边同时加
∴ ，但不能确定 ，比如 时， ，
∴该不等式不一定成立．
选项C：
∵ ， ，则 ，
∴ ，两边同时减∴ ，该不等式一定成立．
选项D：
∵ ，
∴ ， 又 ， 的 正 负 不 确 定 ， 比 如 ， 时 ，
， ，
∴该不等式不一定成立．
故选：C
9. 已知四边形 ，若 ， ， ， 分别为四边形 的边的中点，则要使四边形 为
菱形，应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形、菱形 的判定，由中位线定理可证四边形 是平行
四边形，然后通过菱形的判定逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵ 、 、 、 分别是 ， ， ， 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
、∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，不符合题意；
、∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，符合题意；
、若添加 ，也不能证明四边形 是菱形，不符合题意；
、若添加 ，也不能证明四边形 是菱形，不符合题意；
故选： ．
10. 如图，在正方形 中， ，点 在正方形 内部，且满足 ，连接 ，
取 ， 的中点 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，中位线的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，掌握正方
形的性质，共圆的判定是关键．
连接 ，根据中位线的判定和性质得到 ，点 共圆，圆心为 的中点，记为 ，当
三点共线时， 最小，此时 最小，由勾股定理得到 ，由此即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴点 共圆，圆心为 的中点，记为 ，
当 三点共线时， 最小，此时 最小，
连接 ，交 于点 ，
∵四边形 是正方形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件，
分式有意义的条件即可求出 的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 比较大小： __________5．（填“＞”或“＜”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数大小的比较及利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握两负数比较
大小绝对值大的反而小．根据实数大小的比较方法进行比较即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴
故答案为： ．
13. 如图，有一个电路中有五个开关．已知电路及其他元件都能正常工作，只有同时闭合 部分的一个开
关和 部分的一个开关，电灯才能正常工作．现闭合开关 ，再任意闭合一个开关，则电灯能正常工作的
概率为______．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了概率公式，用所求情况数除以总情况数即可解答，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：∵现闭合开关 ，
∴任意闭合一个开关，电灯能正常工作的结果有 ， ， ， ，
∴一共有 种等可能得结果，电灯能正常工作的结果为 ， ，共 种，
∴电灯能正常工作的概率为 ，
故答案为： ．
14. 如图，在矩形 中， ，E为边 上一点，将 沿 翻折，点B恰好落在边
上的点F处．
（1）若 ，则 __________．
（2）若 ，P为线段 上的动点，连接 ， ，则 的最小值为__________（用
含a的式子表示）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由矩形和折叠的性质得到 ，再求出 ，进
而得到 ，解直角三角形可得 ，据此可得答案；
（2）作点E关于直线 的对称点 ，过点 作 交 延长线点Q．解直角三角形可得，则可推出 ，得到 ，设 ，则 ，
由对称性可得 ， ，证明 ，推出 ， ．
则 ，可证明当 三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最
小值为 的长，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图，作点E关于直线 的对称点 ，过点 作 交 延长线点Q．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由对称性可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
由勾股定理，得 ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，轴对称
的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关
键．
本题直接根据因式分解法即可求解．
【详解】解： ，
，
或
解得 ， ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线的
交点）A的坐标为 ．
（1）请写出格点B，C的坐标．
（2）将 绕点A逆时针旋转 得到 ，请在图中画出 ，并求 的面积．
（3）在网格中找一格点E，使得射线 平分 ，写出点E的坐标．【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，旋转作图，正方形的性质和判定，
对于（1），根据点B，C所在象限可得答案；
对于（2），将点B，C绕点A逆时针旋转 可得点 ，再依次连接 ，然后根据矩形
的面积减去三个三角形的面积得出答案；
对于（3），在x轴上取点E，使得 ，则四边形 是正方形，可知点E
在 的平分线上．
【小问1详解】
解： ， ；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求．
；
【小问3详解】解：如图，点 为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 水东蜜枣，宣城市特产，中国国家地理标志产品．在当地农业技术部门指导下，小明家种植的蜜枣喜
获丰收．去年种植蜜枣的利润为12000元，今年蜜枣的收入比去年增加了 ，支出比去年减少了 ，
今年的利润比去年多11400元．求去年种植蜜枣的收入和支出分别是多少元．
【答案】去年种植蜜枣的收入和支出分别为42000元、30000元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设去年种植蜜枣的收入和支出分别是x元、y元，
则今年年种植蜜枣的收入和支出分别是 元、 元，再根据利润等于收入减去支出建
立方程组求解即可．
【详解】解：设去年种植蜜枣的收入和支出分别是x元、y元．
由题意，可得 ，
解得 ．
答：去年种植蜜枣的收入和支出分别为42000元、30000元．
18. 在数学探究课上，老师带着大家-起探究 （n为正整数）的结果，如图1，2，3所示．（1）通过观察，得出 的结果为_________．
（2）在接下来的探究中，小明提出了探究 （n为正整数）的结果的方案，如图4，
5，6所示．
由图5可以写出 ，由图6可以写出 ．
①推算 _________．
②根据以上结果，求解 的值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）观察图象可得连续的正整数之和等于最大的数乘以最大的数加1后除以2，据此规律求解即可；
（2）①观察图象可知，连续的正整数的立方和等于这些正整数的和的平方，据此规律求解即可；②根据
前面总结的规律计算求解即可．
【小问1详解】
解：由图1可得 ，由图2可得 ，
由图3可得 ，
……，
以此类推可得， ；
【小问2详解】
解：①由图4可知， ，
由图5可知，
由图6可知， ，
……，
以此类推可得， ；
②
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 黄山风景区，位于安徽省南部黄山市境内，黄山与长江、长城、黄河同为中华壮丽山河和灿烂文化的
杰出代表，被誉为“人间仙境”“天下第一奇山”．老师组织了数学兴趣小组一同游览黄山并利用所学知识测量黄山迎客松的高度．如图，这是小组测量的示意图，小组在点A的位置测得迎客松根部点C的仰角
为 ，测得迎客松顶部点D的仰角为 ，点B为迎客松竖直下方一点，测得 米，求迎客松的
树高 ．（结果精确到 米．参考数据： ， ， ，
， ， ）
【答案】迎客松的树高 约为 米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，分别解直角三角形求出 的长，进而求出
的长即可得到答案．
【详解】解：由题知 ．
在 中， ，
∴ （米）．
由题知 ．
在 中， ，
∴ （米），
∴ （米）．
答：迎客松的树高 约为 米．
20. 如图， 为 的直径，C为 延长线上一点， 是 的切线，过点B作 ，交
的延长线于点D，连接 ， ．（1）求证： 平分 ．
（2）若 ， 的半径为6，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据平行线的性质得到 ，根据等腰三角
形的性质得到 ，得到 ；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质计算即可．
【小问1详解】
证明：证明：如图，连接 ．
∵ 是 的切线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 平分 ；
【小问2详解】
解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ．
又由（1）知 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的半径为6，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】近年来旅游业兴起，安徽某一旅行社决定采购一批安徽本地特产以供旅行团的游客选择，该
旅行社决定对安徽本地特产中的无为板鸭、霍山石斛、铜陵酥糖、胡玉美蚕豆酱、黄山烧饼、龙润堂极梨
膏、采石矶茶干这7种特产进行问卷调查．
【数据收集与整理】旅行社分别对200名南方游客和200名北方游客进行问卷调查，让他们从给定的7种
特产中选出心中最想带回家的特产（每人只选一样），将得到的数据整理为以下表格和扇形统计图．
特产编
A B C D E F G
号
胡玉 龙润
采石
特产 无为板 霍山石 铜陵酥 美 黄山烧 堂 矶
鸭 斛 糖 蚕豆 饼 极梨
茶干
酱 膏
20 40 30 40 20 30 20
南方游客
选择人
数
北方游
客
30 30 10 20 10 80 20
选择人
数
【数据分析与运用】
南方游客 北方游客
（1）分析表格数据和扇形统计图，北方游客最想带回家的特产为________（填特产编号），求该特产在
图2扇形统计图中所对圆心角的度数．
（2）以下说法正确的是_________（填正确结论的序号）．
①南方游客选择人数的最天数和最小数的差小于北方游客选择人数的最大数和最小数的差；
②南方游客最想带回家的特产是无为板鸭；
③这7种特产中，游客选择总人数最少的特产是黄山烧饼．
（3）该旅行社计划用48000元购进游客选择总人数排名前三的特产，请根据选择人数所占比例，计算购买
这3种特产应如何分配金额．
【答案】（1）F （2）①③
（3）应用22000元购买龙润堂极梨膏，14000元购买霍山石斛，12000元购买胡玉美蚕豆酱．
【解析】
【分析】本题考查的是从统计表与扇形图中获取信息；
（1）由统计表结合扇形图可得北方游客最想带回家的特产为 ；由 所占的百分比乘以 可得圆心
角；
（2）由统计表中的信息可作判断；
（3）先计算游客选择总人数排名前三的特产的百分比，再进一步计算即可．
【小问1详解】
解：由表格数据和扇形统计图，北方游客最想带回家的特产为 ，该特产在图2扇形统计图中所对圆心角的度数为 ．
【小问2详解】
解：①南方游客选择人数的最大数和最小数的差为 ，北方游客选择人数的最大数和最小数的
差为 ；故①符合题意；
②南方游客最想带回家的特产是霍山石斛与胡玉美蚕豆酱；故②不符合题意；
③这7种特产中，游客选择总人数最少的特产是黄山烧饼．故③符合题意；
故答案为：①③
【小问3详解】
解：游客选择总人数排名前三的特产分别为龙润堂极梨膏、霍山石斛、胡玉美蚕豆酱，
这3种特产的比例为 ，
∴ （元）， （元），
（元）．
答：应用22000元购买龙润堂极梨膏，14000元购买霍山石斛，12000元购买胡玉美蚕豆酱．
七、（本题满分12分）
22. 如图，四边形 为正方形，且 ，P为 上一点（点P不与O，C重合）．
（1）如图1，点P在线段 上，连接 ，将线段 绕点P顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
若 ，求 的长．
（2）如图2，点P在线段 的延长线上，连接 ，过点P作 的垂线，与 的平分线交于点Q，试判断 与 的大小关系，并加以证明．
（3）在（2）的条件下，连接 ， ，请直接写出 的周长的最小值．
【答案】（1）
（2） ．证明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及正方形的性质，
（1）过点Q作 于点H，证明 ，进而根据勾股定理求出结论；
（2）在 延长线上取点D，使 ，在 延长线上取点M，证明 即可证明结论；
（3）先确定Q点在 的平分线上运动，作点B关于 的对称点 ，则点 在 上，连接
交 于点 ，则 ，根据勾股定理求出结论即可；
【小问1详解】
解：由题意得： ，
如图，过点Q作 交 的延长线于点H，
四边形 为正方形，且 ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
在 延长线上取点D，使 ，连接 ，在 延长线上取点M，
四边形 为正方形，
，
，
，
为 的角平分线，
，
，，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：由（2）知 ，连接 ， ，
点为直线 上的动点，即Q点在 的平分线上运动，
作点B关于 的对称点 ，则点 在 上，连接 交 于点 ，
，
即当 在同一直线上时 的周长最小，
四边形 为正方形，且 ，
，有 ，
在 中， ，
，
的周长的最小值为 ．八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点 ，点 ．
（1）求a，b的值．
（2）直线 与抛物线交于A，C两点，P位于直线 上方且是抛物线上的动点，过点P
作x轴的垂线交直线 于点Q，交x轴于点H．
①若 ，求点P的坐标．
②连接 ， ，求 的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）① 或 ；②
【解析】
【分析】本题综合考查二次函数与一次函数的交点问题、代数方程组的解法、几何图形中面积最值的求解
方法．
（1）利用抛物线与 轴交点坐标，代入方程联立求解系数 和 ；
（2）①将点 代入 ，解得 ，设点 ，则点 ，
，，再根据几何条件 ，结合点 在抛物线上方 的限制，解方程并验证解的合理性；②
将 的面积表示为关于点 横坐标的函数，通过二次函数顶点公式求最大值．
【小问1详解】解：∵抛物线 过点 ， ，
∴
解得 ；
【小问2详解】
①由（1）知抛物线的解析式为 ．
将点 代入 ，得 ，解得 ，
∴直线的解析式为 ．
设点 ，则点 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，解得 ， ，
∴ 或 ．
②由 ，
解得 ， ，
∴点 ，设点 ，则点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴当 时， 的面积取得最大值，最大值为 ．
