文档内容
数 学
（试题卷）
注意事项：
1. 你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2. 本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3. 请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4. 考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，解题关键是根据倒数的意义找出乘积互为1的两个数．
根据乘积互为1的两个数互为倒数．
【详解】解：∵
∴ 的倒数是 ，
故选：C
2. 我国在芯片制造技术领域不断取得新进展，某公司已完成了 4nm（纳米）芯片的设计．已知
．其中0.000000004用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：0.000000004用科学记数法表示为 ，
故选：A．
3. 如图所示，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去右上方的一部分，则剩下的几何体的主视图为
（ ）
A. B.C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．注意，存在看不见的用虚线表示．
从正面看，确定主视图即可．
【详解】解：几何体的主视图为：
故选：C．4. （数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度
与最大宽度之比为 ．若 介于两个连续整数n和 之间，则n的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出 ，即可得到 ，即可解答．
【详解】解： ，
，即 ，
，
无理数 的值介于两个连续整数 和 之间，
，
故选：B．
5. 杆秤是我国古代劳动人民的一种计量工具，杆秤在称物时的状态如图，此时 ， ，
则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，先由平角的定义求出 的度数，再由两直线平行，内错角相等
即可得到答案．【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选： D．
6. 无为板鸭是安徽的一道传统特色美食，制作无为板鸭需要经过木屑熏烤，某板鸭店的熏烤时间与鸭子的
质量对应的部分数据如表：
鸭子的质量
… 1 2 …
x/千克
熏烤时间t/分
… 10 18 26 …
钟
已知熏烤鸭子的时间t是鸭子质量x的一次函数，则当 时，t的值为（ ）
A. B. C. 58 D. 60
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，观察表格可知，烤鸭的质量为 千克， 与 的一次函数关
系式为 ，取 ， 代入，运用待定系数法求出函数关系式，再将 千克代入即可
求出烤制时间．
【详解】解：根据题意，设一次函数表达式为 ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
∴一次函数表达式为 ，
当 时， ，∴t的值为 ．
故选：A．
7. 如图，将矩形纸片 的两个直角 和 分别沿直线 ， 折叠，折叠后点A，B的位置
分别是点 ， ，若 ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形与翻折，利用角度的转换即可解答，熟练利用翻折前后的对应角相等是解题的关
键．
【详解】解：由折叠可知， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
8. A，B，C，D四名小朋友围坐在一张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他三人随机坐在其
余的三个空位置上，则C不坐在B的对面的概率为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有可能出现的结果，确定满足条件的结果数，利用概率公式进
行计算即可．
【详解】解：根据题意可知，从A开始，逆时针排列所有可能的结果如下： ， ， ，
， ， ，其中C不坐在B的对面的结果有4种，分别为 ， ， ，
，
∴C不坐在B的对面的概率为 ．
故选D
9. 已知a，b，c是互不相等的实数，且满足 ，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质，根据分式的运算，完全平方公式
的变形计算，等式性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解： 、∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，原选项正确；、若 ，由于 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，原选项正确；
、若 ，∵ ，
∴ ，即 ，原选项正确；
、若 ，则 ，
∴ ，
将 代入等式 ，
左边 ，右边 ，
左边 右边，原选项错误，
故选： ．
10. 如图，正方形 的对角线 ， 交于点O，E是边 的中点，过点A作 ，交
的延长线于点F，在 上截取 ，连接 并延长，分别交 ， 于点M，N．下列结
论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线，利用正方形的性质证明
， 推 出 ， 结 合 ， 即 可 判 断 ① 正 确 ； 再 证 明
，推出 ，进而求出 ，即可得到 ，即可
判断②正确；根据平行线分线段成比例定理结合②可知 ，即可判断③正确；再根据题意
可得 ， ，点F，G关于 对称，即可判断④错误．
【详解】解：∵正方形 的对角线 ， 交于点O，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵E是边 的中点，即 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，①正确；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，②正确；
由①知 ， ，
∴ ，
∴ ，
由②中 知 ，③正确；
由题意得 ， ， ，
∴点F，G关于 对称，
∴ ，④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式x，在利用完全平方公式即可作答．
【详解】
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解的知识，灵活运用提公因式法和完全平方公式是解答本题的关键．
12. 若双曲线 与直线 相交于点 A，B，且点A的坐标为 ，则点 B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象与正比例函数的图象中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图
形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：解：将 代入 得 ，则点A的坐标为 ，
∵点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为 ．
故答案为： ．
13. 如图，在 中， ， ， ，分别以点A，C为圆心， 长为半径画弧，
交 于点E，交 于点F，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求扇形面积，平行四边形的性质，勾股定理逆定理，解直角三角形的相关计算，
由 勾 股 定 理 逆 定 理 得 出 ， 再 根 据 正 弦 的 定 义 得 出 ， 最 后 根 据
计算即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
14. 已知二次函数 （b，c是常数）．
（1）若该抛物线的顶点坐标是 ，则 ______．
（2）若当 时，y的最大值为－1，当 时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为直线______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性；
（1）根据顶点坐标求出解析式，即可得到b和c的值，然后代入计算解题；
（2）由题可得对称轴为直线 ，然后根据最值得到 时， ；抛物线顶点的纵坐标是3，然
后求出 的值解题即可．
【详解】解：（1）由题意得该二次函数的表达式为 ，
∴ ， ，∴ ．
故答案为：
（2）由题意，得抛物线的对称轴是直线 ．∵当 时，y的最大值为－1，当 时，y的最大值为3， ，
的
∴抛物线 对称轴在y轴的右侧，又抛物线的开口向下，
∴当 时， ，∴ ；
当 时，y的最大值为3，即抛物线顶点的纵坐标是3，
∴ ，∴ ，解得 ， （不合题意，舍去），
∴该抛物线的对称轴为直线 ．
故答案为：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15 解不等式组：
.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小
取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集为 ．
16. 如图，已知点 ，将线段 逆时针旋转 并扩大 倍得到 ，连接 ，得到第一个等
腰 ；将线段 逆时针旋转 并扩大 倍得到 ，连接 ，得到第二个等腰；将线段 逆时针旋转 并扩大 倍得到 ，连接 ，得到第三个等腰
；……如此进行下去．
（1）点 的坐标为______，点 的坐标为______；
（2）点 的坐标为______．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】本题考查旋转变换，等腰直角三角形，图形规律，解题的关键是确定 所在的象限．
（1）根据等腰直角三角形的性质即可解答；
（2）根据题意找到题中规律，即可解答．
【小问1详解】
解： 点 ，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ； ；
【小问2详解】
解：由上述规律可得 分布的象限为 个一循环，
，
在第一象限，且横纵坐标相等，为 ，
，故答案为： ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）先将 向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到 ，画出 ；
（2）若 内有一点 ，经过（1）的平移后的对应点记为 ，则点 的坐标为______；
（3）以原点O为位似中心，在第一象限内画出 的位似图形 ，使 与 的相
似比为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查平移作图、由平移方式确定点 的坐标、在坐标系中画位似图形，正确作出图形是解
答的关键．
（1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可得到平移后的图形；
（2）根据点的平移方式“左减右加，上加下减”确定点的坐标即可；
（3）根据位似图形的性质得到对应点的位置，再顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；【小问2详解】
解：∵将 向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到 ，
∴ 内有一点 ，经过（1）的平移后的对应点 的坐标为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：如图所示， 即为所求．
18. 随着人工智能的飞速发展，机器人的功能越来越强大．某公司为了扩大生产，决定购买甲、乙两种不
同型号的机器人若干台．已知用20万元购进甲型机器人的台数与用16万元购进乙型机器人的台数相同，
且甲型机器人的单价比乙型机器人的单价多2万元，求甲、乙两种机器人的单价各是多少万元？
【答案】甲型机器人的单价是10万元，乙型机器人的单价是8万元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出分式方程是解题的关
键．
设甲型机器人的单价是x万元，则乙型机器人的单价是 万元．根据用20万元购进甲型机器人的台
数与用16万元购进乙型机器人的台数相同列分式方程求解即可．【详解】解：设甲型机器人的单价是x万元，则乙型机器人的单价是 万元．
根据题意，得 ．
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
所以 ．
答：甲型机器人的单价是10万元，乙型机器人的单价是8万元．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图， 是 的直径， 是 的一条切线，过点A作 ，垂足为点C，延长 交
于点D，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为4.5， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形三线合一可得出 ，再证明 ，由全等
三角形 的性质得出 ，由切线的定义即可得出 ．
（2）由题意可得出 ，由圆周角的定理得出 ，再根据弧长
的公式求解即可．
【小问1详解】
解： ， ，
∵．
∴
在 与 中，
，
∴
．
∴
是 的一条切线，
∵
，
∴
，
∴
．
∴
【小问2详解】
解： ， ， ，
∵
，
∴
，
∴
的长为 ．
∴
【点睛】本题主要考查了弧长公式，圆周角定理，切线的定义和证明，全等三角形的判定和性质，等腰三
角形三线合一的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
20. 根据以下素材，解决探究任务．
丁丁家安装的圆形户外遮阳伞如图1所示，图2是它的截面示意图．已知遮
阳伞的竖支架 垂直于地面， 与地面平行， 米，
素材1 米， ．
（参考数据： ， ， ）素材2 丁丁家所在地区某日12点时的太阳光线与地面的夹角为 ．
任务1 请求出 离地面的高度 的长．（结果保留一位小数）
任务2 请求出这天12点时该遮阳伞能挡住的阴影部分的面积．（结果保留 ）
【答案】任务1： 米；任务2： 米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、扇形的面积公式等知识点，正确构造直角三角形、解决实
际问题成为解题的关键．
任务1：在 中解直角三角形求得 （米），然后再根据线段的和差求解即可；
任务2：在 中解直角三角形求得 （米），然后根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：任务1：在 中， 米， ，
∴ （米），
∴ （米）．
答： 离地面的高度 的长约为1.4米．
任务2：在 中， 米， ，
∴ （米），
∴ （米 ）．
答：这天12点时该遮阳伞能挡住的阴影部分的面积约为 米 ．六、（本题满分12分）
21. （项目式学习）
【项目背景】
原产于安徽砀山的酥梨驰名中外，酥脆甘甜、皮薄多汁．酥梨采购季节，娟娟同学前往实地考察，对两块
外部环境一致的酥梨种植园进行调查，为农户的扩大再生产提供帮助．
【数据收集与整理】
从甲、乙两块酥梨种植园里各随机采摘酥梨100个后，分别测量每个酥梨的直径x（单位： ），根据测
量结果将样本数据进行分组，并绘制了如下不完整的表格．
直径
组别 甲种植园频数 乙种植园频数
1 8 6
2 31 27
3 34 b
4 a 22
5 7 5
根据表格中的数据，分别绘制了甲、乙两个种植园的频数直方图，部分信息如下：
任务1：表格中 ______， ______，并将上面的两个频数直方图补充完整．
【数据分析与运用】
任务2：乙种植园样本数据的中位数在第______组．
任务3：将第1，2，3，4，5五组数据的平均数依次取为3.5，4.5，5.5，6.5，7.5，请计算甲种植园样本数
据的平均数．
任务4 结合市场情况，砀山酥梨的直径在第3组、第4组的最优，定为一级；直径在第2组的尚可，定为
二级；直径在其他组的最次，定为三级．试估计哪个种植园的酥梨品质更优，并说明理由．
【答案】任务1：20，40，图见解析；任务2：3；任务3： ；任务4：乙种植园，理由见解析【解析】
【分析】本题考查了频数直方图，中位数，平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
任务1：根据总数分别减去其他组的频数，得出 的值，再将上面的两个频数直方图补充完整，即可作
答．
任务2：运用中位数的定义，将数值排序后，位于中间位置的数为中位数，进行作答即可；
任务3：运用求平均数的公式列式计算，即可作答．
任务4：结合砀山酥梨的直径在第3组、第4组的最优，定为一级，求出甲、乙种植园的一级品所占比例，
即可作答．
【详解】任务1：依题意， ，
故答案为：20；40.
频数直方图补充如下：
任务2：一共随机采摘100个酥梨，
∴中位数排在第 和51名，
则 ，
∴乙种植园样本数据的中位数在第3组，
任务3：依题意， ，
∴甲种植园样本数据的平均数为 ．
任务4：乙种植园的酥梨品质更优．
理由：依题意， ，∵ ，
∴乙种植园的一级品所占比例大于甲种植园的一级品所占比例．（说法不唯一，合理即可）
七、（本题满分12分）
22. 如图，在 中， ， ，将 绕顶点A逆时针旋转到 的位置，
连接 ， ，延长 交 于点F．
（1）求证： ；
的
（2）若 ，求 长；
（3）求证：F是线段 的中点．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三
角形是解答本题的关键．
（1）由旋转的性质得 ， ，根据等边对等角得 ，由角的和差
关系可得 ；
（2）证明 ，得 ．由 是等腰直角三角形得 ，代入比例式
可得 ；
（ 3 ） 过 点 D 作 于 点 M ， 过 点 B 作 交 的 延 长 线 于 点 N ， 证 明
和 ，可得 ，从而可得结论．
【小问1详解】证明：由旋转可知， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
由旋转可知， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
证明：过点D作 于点M，过点B作 交 的延长线于点N，
∴ ．
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即F是线段 的中点．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点 ，连接 ．
D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接 ，交线段 于点E．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点E在该抛物线的对称轴上，求 的长；
（3）过点D作y轴的平行线，交 于点F，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）先求出直线 的表达式为 ，抛物线的对称轴是直线 ，可得点E的坐标
是 ，再由勾股定理得 ，即可求解；
（3）设点 D 的坐标为 ，则点 F 的坐标为 ， ，可得
，最后由二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：分别将点 ， ， 代入 ，
得 解得
∴该抛物线的表达式为 ；
【小问2详解】
解：设直线 的表达式为 ．
将点 代入，得 ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ．
∵抛物线的对称轴是直线 ，∴点E的坐标是 ，
∴ ；
【小问3详解】
解：设点D的坐标为 ，
则点F的坐标为 ， ，
∴
，
∵ ， ，
∴当 时，DF`有最大值，最大值是 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，勾股定
理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
