文档内容
保密★启用前
模拟预测卷02（解析版）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义直接进行运算即可求出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：D．
2．已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】由复数的除法运算和模长运算可得答案.
【详解】依题意， ，∴ ．
故选：A．
3．已知函数 的最小正周期为 ，将函数f(x)的图象向右平移 个单位得到函数g(x)的图象，且 ，则 的取值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过最小正周期得到 ，再通过平移得到 解析式，根据 是 的对称
轴可得 ，再根据 的范围确定结果.
【详解】函数 的最小正周期为
将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象
又 为函数 图象的一条对称轴
， ，即 ，
又
本题正确选项：
4．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】因为 ， ， ，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
故选：C.
5．如图，在矩形ABCD中， ，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为
AC的中点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：设 ，然后用 ， 分别表示出 ， ，从而由平
面向量的数量积运算并结合 的范围求得结果；
法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设 ，然后求出 ， ，
从而由向量的坐标运算并结合m的范围求得结果．
【详解】法一：设 ，
因为O为AC的中点，所以 ，
所以 ．又 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
法二：以A为坐标原点， ， 的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面
直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，所以 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即 .
故选：A．
6．在正四棱柱 中， 为线段 的中点，一质点从
点出发，沿长方体表面运动到达 点处，若沿质点 的最短运动路线截该正四棱柱，则
所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，进而可得截面与截面面积.
【详解】如图，把正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（1） ，（2） ，（3）
（1） ，（2） ，（3） ，
所以质点从 到 的最短距离为 ，
此时质点从 点出发，经过 上靠近 的三等分点 ，再到达 点，
面 截正四棱柱所得截面为五边形 ，如图，
由 ， ，
所以沿质点 的最短运动路线截正四棱柱，
则所得截面的面积为：
．
故选：B
7．已知 ， 是焦点为 的抛物线 上两个不同点，且线段 的中点 的横坐标
是3，直线 与 轴交于点 ，则点 的横坐标的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A【详解】(1)若直线 的斜率不存在,则点 的坐标为 .
(2)若直线 的斜率存在,设 , , ,则由 得,
, ,即 , 直线 的方程为
, 点 的横坐标 ,由 ,消去 得:
,由 得 又 , .综上,点 的横坐标的取
值范围为 .
8．若函数 为奇函数，当 时， ，已知 有一个根为
，且 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据单调性和根的存在性定理确定函数的负根 ，结合奇偶性可得必有
另一根 ，即可得解.
【详解】由题当 时， ，根据基本初等函数性质可得函数在
时单调递增， ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以函数在 时有唯一根 ，
函数f(x)为奇函数，所以必有另一根 ，
所以 的值为2.
故选：B
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成
绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算
得到这100名学生中，成绩位于 内的学生成绩方差为12，成绩位于 内的同学
成绩方差为10．则（ ）
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
【答案】BCD
【分析】A项，由各组频率之和为 求参数；B项可由频率分布直方图面积与 比较，估
计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；C项，两组求加权平均数可得；D项，
由分别两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可.
【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，
则 ，解得 ，故A错误；
项，前两个矩形的面积之和为前三个矩形的面积之和为 .
设该年级学生成绩的中位数为 ，则 ，
根据中位数的定义可得 ，解得 ，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为 ，故B正确；
C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为
分，故C正确；
D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
，故D正确.
故选：BCD.
10．已知等差数列 的公差 ，其前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是等差数列 B．若 ，则 有最大值
C． ， ， 成等差数列 D．若 ， ，则
【答案】ABD
【分析】根据等差数列前n项和应用对应证明等差判断A,应用数列正负求前n项和的最大
值，特殊值法判断C,结合等差数列性质判断D.
【详解】 ， ，故A正确；
若 ，则 ， 最大；若 ， ， 最大；
若 ，则 ，则存在 ， ， ，故 最大，故B正确；
对数列：1，2，3，…，取 ， ， ， ，故C错误；
不妨设 ，则 ，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即 ，∴ ，
而 ，故 ，D正确．
故选:ABD．
11．如图，在正方体 中， 均为棱的中点，则下列结论错误的是
（ ）
A．平面 平面
B．梯形 内存在一点 ，使得 平面
C．过 可作一个平面，使得 ， 到这个平面的距离相等
D．梯形 的面积是 面积的 倍
【答案】ABC
【分析】由面面平行证明判断A，连接 ， ， ，连接
，过点 作 的垂线，交 于 ，交 于 ，证明线面垂直即可判断B，连接
，取 的中点 ，连接 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，即可判断
C，因为梯形 与 的高分别为 且 ，所以面积的比值为
即可判断D.
【详解】在正方体 中， 均为棱的中点，
可证 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
，所以平面 平面 ，故A正确；
连接 ，设 ， ，连接 ，
过点 作 的垂线，交 于 ，交 于 ，因为 在上底面的射影为 ，
易证 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，所以 平面 ， 平面 ，
则 ， ，又 ,
所以 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
连接 ，取 的中点 ，连接 ，
所以过直线 的平面一定满足 到这个平面的距离相等，故C正确；
因为梯形 与 的高分别为 且 ，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以梯形 的面积与 面积的比值为 ，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12． 的展开式中 的系数为 ．
【答案】-105
【分析】根据 ，而二项式 的展开式的通项
，所以分别计算，最后合并即可求出答案．
【详解】解：因为 ，
而二项式 的展开式的通项 ， ．
所以 的展开式中 的项为 ，
其系数为-105，
故答案为：-105．
13．已知 ，若实数m，n满足 ，则 的最小值
为
【答案】4
【分析】利用导数求解函数单调性，由 得 ，即可利用不等式求解最
值.
【详解】由 可得 ，故 在
单调递增，而 ，
故 得 ，
，当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：4
14．已知函数 （ 且 ）， 若 有最小值， 则实数a
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用单调性确定最小值后可得．
【详解】 是减函数，在 时最小值是 ，
若 ，则 是减函数， 时， ，没有最小值，不合题意，
时， 是增函数，因此要使得 取得最小值，则 ，解得 ，
故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13分）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求C；
(2)若 且 ，求 的外接圆半径．
【答案】(1) (2)
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】（1）根据 结合三角恒等变换化简整理即可得结果；
（2）根据题意利用余弦定理可得 ，进而利用正弦定理求外接圆半径.
【详解】（1）因为 ，即 ，
且 ，
即 ，则 ，
且 ，则 ，可得 ，
且 ，所以 .
（2）因为 且 ，则 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
所以 的外接圆半径 .
16．（15分）如图，在四棱锥 中， 平面
， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据正弦定理得 ，或者利用余弦定理求解 ，即可得
，结合 ，即可由线面垂直的判定求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解，或者利用线面垂直，找到二面角的几
何角，结合三角形的边角关系求解，
【详解】（1）解法一：在 中，
因为 ，
由正弦定理，得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
因为 平面 平面 ，所以 ，
又 ， 平面
所以 平面 ；
方法二：证明：设 ，在 中，
因为 ，
由余弦定理，得 ，
所以 ，即 ，解得 .
所以 ，所以 .
因为 平面 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面
所以 平面 ；
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！解法三：设 ，在 中，
因为 ，
由余弦定理，得
所以 ，即 ，解得 .
所以 ，所以 .
因为 平面 平面 ，
所以平面 平面 ；
又平面 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解法一：由（1）知 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 两两垂直.
以点 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 即 取 ，则 ，
显然平面 的一个法向量 ，
所以
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
解法二：由（1）知 平面 ，过 作 ，则 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 两两垂直.
以点 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 取 ，则 ，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！显然平面 的一个法向量 ，
所以
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
解法三：延长 交于点 ，连接 ，
则平面 平面 ，
在 中，
，
由余弦定理，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 ，又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 为平面 与平面 的夹角，
因为 平面 平面 ，
所以 ，
因为 ，得 ，
所以 ，所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17．（15分）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中
装有 个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球 ，
摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
(1)若 ， ，当袋中的球中有 个所标面值为 元，1个为 元，1个为 元时，
在员工所获得的红包数额不低于 元的条件下，求取到面值为 元的球的概率；
(2)若 ， ，当袋中的球中有1个所标面值为 元，2个为 元，1个为 元，1
个为 元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
【答案】(1) (2)期望为 ；方差为
【分析】（1）记事件 ：员工所获得的红包数额不低于90元，事件 ：取到面值为60元
的球，根据条件先求 ，再利用条件概率公式，即可求解；
（2）由题知 可能取值为 ，再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公
式，即可求解.
【详解】（1）记事件 ：员工所获得的红包数额不低于90元，事件 ：取到面值为60元
的球，
因为球中有 个所标面值为 元，1个为 元，1个为 元，且
， ， ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）设X为员工取得的红包数额，则 可能取值为 ，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ， ，
， ，
所以 ，
．
18．（17分）已知双曲线 的离心率为 ，右焦点到双曲线 的
一条渐近线的距离为1，两动点 在双曲线 上，线段 的中点为 ．
(1)证明：直线 的斜率 为定值；
(2) 为坐标原点，若 的面积为 ，求直线 的方程．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由题意可得 的关系，求解即可.
（2）设 ，求得弦长 与原点到直线 的距离，由面积可求直线 的方程.
【详解】（1）由已知可得 ，解得 ，
所以双曲线方程为 ，
设 ，
所以 ，两式相减，可得 ，又线段 的中点为 ，所以 ， ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的斜率 为定值；
（2）由（1）设直线 的方程为 ，
由 ，所以 ，整理可得 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 ， ，
所以 ，
又原点到直线 的距离为 ,
所以 的面积为 ，
化简可得 ，解得 ，
所以直线 的方程 ．
19．（17分）已知函数 .
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（1）求函数 的图象在 （ 为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的 ，均有 ，则称 为 在区间 上的下界函数，
为 在区间 上的上界函数.
①若 ，求证： 为 在(0,+∞)上的上界函数；
②若 ， 为 在 上的下界函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）①证明见解析；② .
【分析】（1）求出 和 的值，利用点斜式可求得所求切线的方程；
（2）①利用导数得出 ， ，可得出 ，结合题中定义可得出结论；
②由题意得出 对任意的 恒成立，利用参变量分离法得出
，设 ，利用导数求出函数 在
上的最小值，由此可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以函数 的图象在 处的切线斜率 .
又因为 ，所以函数 的图象在 处的切线方程为 ；
（2）①由题意得函数 的定义域为(0,+∞).
令 ，得 .
所以当 时， ；当 时， .故函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
因为 ，所以 ，
故当 时， 在(0,+∞)上恒成立，所以 在(0,+∞)上单调递增，
从而 ，所以 ，即 ，
所以函数 为 在(0,+∞)上的上界函数；
②因为函数 为 在 上的下界函数，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，故 .
令 ， ，则 .
设 ， ，则 ，
所以当 时， ，从而函数 在 上单调递增，
所以 ，
故 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增，
从而 .
因为 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
故 ，即实数 的取值范围为 .
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
