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问卷启封前按机密事项保管 SC
字节精准教育联盟·AI 赋能
2025~2026 学年度上期期末综合能力调查
高三·数学
考生注意：
1. 本问卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，测试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答题卡内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在问卷、草稿纸上作答无效。
4. 考试结束后，请将问卷、答题卡和草稿纸一并交回。
预祝你们考试成功
◈ ◈
一．单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设函数 的图象在点 处切线的斜率为 ，则函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的 2 倍，容积为 28ml，厚度
忽略不计.当倒入 14ml 茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．某寝室安排 3 人打扫下一周 5 天的寝室卫生，每天只安排 1 人，每人至少打扫 1 天，则有多少种不
同的安排方法（ ）
A．120 B．150 C．240 D．300
高三数学 第 4 页，共 4 页7．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，椭圆 的
离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 P 为椭圆 与双曲线 的交点，且 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
8．设函数 ，已知 在 上有且仅有 3 个零点，则下列结论正确的
是（ ）
A． 在 上有 3 个极值点 B． 在 上有 2 个最大值点
C． 在 上单调递增 D． 的取值范围为
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9．民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地
支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行
适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收
入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方
图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本数据落在区间 内的频率为 0.45
B．若规定年收入在 500 万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有 的当地中小型民营
企业能享受到减免税政策
C．若该调查机构调查了 100 家民营企业，则年收入不少于 400 万元的有 80 家
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为 500 万元
10．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数 的图象过点 ，则
B．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
C．若函数 在 上只有一个零点，则实数 a 的范围为
D．函数 的单调增区间为
11．如图，在棱长为1 的正方体 中，点 在线段 上运动，
则下列判断中正确的是（ ）
A．平面 平面
B． 平面
C．异面直线 与 所成角的取值范围是
D．若 点为棱 的中点，则由 ， ， 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
高三数学 第 4 页，共 4 页三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．在边长为 1 的正方形 中， ， 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最
小值为 ．
13．设 为抛物线 的焦点，过 的直线与 相交于 两点，过点 作 的切线，与 轴交
于点 ，与 轴交于点 ，则 (其中 为坐标原点) 的值为
14．如图，在 中，斜边 ， ，在以 为直径的半圆上有一
点 （不含端点）， ，设 的面积 ， 的面积 .
（1）若 ，求 ；（2）令 则 的最大值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的值.
16．中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、载人航天、
深空探测等多个领域.某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各
100 人进行调查，调查结果如下表：
关注 不关注 合计
男生 75 25 100
女生 55 45 100
合计 130 70 200
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？
(2)从这 200 人中随机选出了 3 名男生和 5 名女生作为代表，其中有 2 名男生和 2 名女生关注航天工程.
现从这 8 名代表中任选 2 名男生和 3 名女生进一步交流，求这 5 人中恰有 2 人关注航天工程的概率.
参考公式及参考数据：
0.05 0.01 0.005 0.001
.
3.841 6.635 7.879 10.828
高三数学 第 4 页，共 4 页17．如图，已知四棱锥 的底面 是边长为 的菱形， 平
面 ， 是 的中点， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，且平面 与平面 的夹角余弦值为 ，求四棱锥
的体积.
18．已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必
经过另一个焦点.若从椭圆 的左焦点 发出的光线，经过两次反射之后回到点 ，
光线经过的路程为 8，其离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 ， ，过点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 ， （异于 ， ），直线 ，
的交点为 .
（ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线 ，相应产生了多个不同 点，他感觉这些 点在一条直线上.
请你对其感觉的正确性给出判断并证明；
（ⅱ）设直线 ， 交点为 ，试问： 与 的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，说明理由.
19．正项数列 满足 ，其前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 （ ， ）.
①试确定实数 的值，使得数列 为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数 ，在 与 之间插入 个 2，得到一个数列 ．设 是数列
的前 项和，试求满足 的所有正整数 .
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高三·数学问卷参考答案与试题解析
1．C
【分析】由已知确定集合 中元素，然后由交集定义计算．
【详解】集合 ，
因为 ，所以 .
故选：C.
2．A
【分析】根据共轭复数的定义先求 ，再求复数的模 ，最后即可求解.
【详解】由题意有： ， ，
所以 ，
故选：A.
3．A
【分析】先求函数 的导数，根据函数 在点 的导数为切线的斜率，求出函数 的
解析式，再根据函数 的奇偶性及取值范围判断.
【详解】∵函数 ， ，
，显然 ，
函数 为奇函数，图像关于原点对称，排除 B，C，
又 时，函数值为正，图像位于第一象限，排除 D.
故选：A.
4．D
【分析】延长正四棱台的各条侧棱，交于一点 ，设正四棱台的下底面边长为 ，则上底面边长为 ，
高三数学答案 第 16 页，共 16 页高为 ，求得 ，结合题意，得到 ，即可求得茶水的高度与茶杯的
高度之比.
【详解】如图所示，延长正四棱台的各条侧棱，交于一点 ，
设正四棱台的下底面边长为 ，则上底面边长为 ，高为 ，四棱锥 的高 ，
可得 ，所以 ,
设茶水的高为 ，可得 ，
即 ，所以 .
故选：D.
5．A
【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间.
【详解】由 ，可得 或 ，
所以 的定义域为 ，
对于 ，开口向上且对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，而 单调递增，
所以 的单调递减区间为 .
故选：A
6．B
【分析】根据题意，分 2 步进行分析：①、分两种情况讨论将 5 天分成 3 组的情况数目，②、将分好
的三组全排列，对应 3 人由分步计数原理计算可得答案.
高三数学答案 第 16 页，共 16 页【详解】根据题意，分 2 步进行分析：
①将 5 天分成 3 组
若分成 1、1、3 的三组，有 种分组方法，
若分成 1、2、2 的三组，有 种分组方法，
则将 5 天分成 3 组，有 种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应 3 人，有 种情况；
所以不同的安排方式则有 种.
故选：B．
7．C
【分析】在 中，由余弦定理得出 与 的关系，从而得出 ，然后由三角换元法设
， ， ，求得 ，从而得出结论．
【详解】设 P 为第一象限的交点， ，则 ，
解得 ， .
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，故 ，
设 ， ， ，又 ，
则 ，
，所以 或 ，
时， 舍去，
时 满足题意，此时 ，所以 .
故选：C．
高三数学答案 第 16 页，共 16 页8．D
【分析】D 选项，利用三角恒等变换得到 ，并求出 ，由零点
个数，得到不等式，得到 ；A 选项，根据 ，得到 ，故 在
上有 2 个极值点或 3 个极值点，A 错误；B 选项，由 A 知， 在 上有 1 个或 2 个最大值
点，B 错误；C 选项，求出 ，故 在 上不单调，C 错误.
【详解】D 选项， ，
当 时， ，
要想 在 上有且仅有 3 个零点，则 ，
解得 ，D 正确；
A 选项， 时， ，
由于 ，则 ，
若 ，即 时， 在 上有 2 个极值点，
若 ，即 时， 在 上有 3 个极值点，
所以 在 上有 2 个极值点或 3 个极值点，A 错误；
B 选项，由 A 知，若 ，即 时， 在 上有 1 个最大值点，
若 ，即 时， 在 上有 2 个最大值点，
故 在 上有 1 个或 2 个最大值点，B 错误；
C 选项， 时， ，
由于 ，则 ，
由于 在 上不单调，
故 在 上不单调，C 错误.
故选：D
9．AB
高三数学答案 第 16 页，共 16 页【分析】利用频率分布直方图的性质一一判定选项即可.
【详解】对于 A，由 ，得 ，
所以数据落在区间 内的频率为 ，A 正确；
对于 B，数据落在区间 内的频率为 ，B 正确；
对于 C， ，年收入大于或等于 400 万元的有四组，
其频率和是 ，
所以符合条件的民营企业有 家，C 错误；
对于 D，数据落在区间 内的频率为 0.3，
数据落在区间 内的频率为 ，
估计中位数为 ，D 错误.
故选:AB.
10．AC
【分析】求出幂函数的解析式，进而求出函数值判断 A；利用抽象函数的定义域列式求解判断 B；利
用一元二次方程实根分布求解判断 C；利用导数求出单调递增区间判断 D.
【详解】对于 A，令 ，则 ，解得 ， ，因此 ，A 正确；
对于 B，函数 中 ，则 ，即函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，因此函数 的定义域为 ，B 错误；
对于 C，由函数 在 上只有一个零点，得 ，无解，
或 ，解得 ，因此实数 a 的范围为 ，C 正确；
对于 D，由 ，得 ，而 ，解得 ，
因此函数 的单调增区间为 ，D 错误.
故选：AC
11．ABD
【分析】由面面垂直的判定定理可判断 A，由面面平行的性质定理可判断 B，由线面垂直的性质定理
可判断 C，由基本事实 1 作出由 ， ， 三点确定的平面与正方体相交形成的截面，计算各边长度
后可判断 D．
高三数学答案 第 16 页，共 16 页【详解】对于 A，正方体中由 平面 ， 平面 ，可得 ，
又 ， 平面 且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 在平面 内的投影为 ，
而 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，故 A 正确；
对于 B，正方体中 与 平行且相等，则 是平行四边形，
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ， ， 都在平面 内，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，故 B 正确；
对于 C，与 A 选项同理可证 平面 ，
高三数学答案 第 16 页，共 16 页当 是 与 交点时， 平面 ，
，异面直线 与 所成角为 ，故 C 错误；
对于 D，设 的中点为 ，连接 ， ， ， ，如图所示，
因为 分别为 的中点，
由正方体性质可知， 且 ，
所以 四点共面，
即由 三点确定的平面与正方体相交形成的截面为四边形 ，
因为正方体的棱长为 1，
所以 ， ，则 ，
故四边形 的周长为 ，故 D 正确.
故选：ABD.
12．
【分析】依题建系， ，分别求出 的坐标，利用向量数量积的坐标公式化简计算
得到 ，结合 ，即可求得其最小值.
【详解】
高三数学答案 第 16 页，共 16 页如图，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.
依题意， ，设 ，
则 ，
，
由 ，
因 ，则当 时， 取得最小值为 .
故答案为： .
13． /
【分析】设直线 的方程为 ， ，联立方程，利用韦达定理求出
，再根据导数的几何意义求出过点 作 的切线的方程，即可求出 两点的坐标，进而可
得出答案.
【详解】由抛物线 ，得 ，
设直线 的方程为 ， ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
由 ，得 ，
所以过点 作 的切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
即 ，
则 ，
高三数学答案 第 16 页，共 16 页所以 .
故答案为： .
14．
【分析】根据已知用 表示出 、 ，分别由 、 并结合三角恒等变换及正弦型
函数的性质，求 或面积的最大值.
【详解】因为 中， ， ，
所以 ， ， ，
又因为 为以 为直径的半圆上一点，
所以 ，
在 中， ， ， ，
作 于点 ，则 ，
，
，
若 ，则 ，因为 ，
所以 ，即 ，整理得 ，
所以 ， ；
高三数学答案 第 16 页，共 16 页由 ，则
，
因为 ，所以 ，
当 时，即 ， 有最大值 ．
故答案为： ，
15．(1)
(2)
【分析】（1）求出切点坐标，由导数求出切线斜率，由点斜式写出切线方程；
（2）由 ， ，讨论 与 的大小关系，讨论单调性即可.
【详解】（1）当 时， ，
,
, ,
在点 处的切线方程为 ，
即 ；
（2） ，令 ，
则 ，
， ，
①当 时，
时， ， 单调递减，
由于 ，则 ，
高三数学答案 第 16 页，共 16 页时， ， 单调递增，
由于 ，则 时， ，
时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 符合题意；
②当 时， ，存在 使得 ，
当 时， ， 单调递减，
不符合题意；
③当 时， ，
则存在 ，使得当 时， ， 单调递增，
则 不符合题意；
综上 .
16．(1)认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关
(2)
【分析】（1）根据卡方计算公式，结合独立性检验的思想即可求解；
（2）利用超几何分布求出对应的概率，即可求解.
【详解】（1）零假设 ：该校学生对航天工程的关注与性别无关，
根据列联表可得：
，
根据小概率值 的 独立性检验，我们推断 不成立，即认为该校学生对航天工程的关注与性
别有关，该推断犯错误的概率不超过 0.005.
（2）设进一步交流的男生中关注航天工程的人数为 ，女生中关注航天工程的人数为 ，
从这 8 名代表中任选 2 名男生和 3 名女生的选法有 种，
则
高三数学答案 第 16 页，共 16 页，
即这 5 人中恰有 2 人关注航天工程的概率为 .
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，通过证明四边形 是平行四边形得 ，再根据
线面平行的判定定理即可证明；
（2）设 ，过 点作 ，以 点为坐标原点， 为坐标轴建立空间直角
坐标系，进而根据题意并结合平面 与平面 的法向量求得 ，再计算几何体的体积即可；
【详解】（1）
证明：取 的中点 ，连接 ，
在 中， 且 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：设 ，过 点作 ，以 点为坐标原点， 为坐标轴建立空间
直角坐标系，
因为 ， 为 的中点，
所以 ，设 ， ，
所以 ，
高三数学答案 第 16 页，共 16 页，
设平面 的法向量 ，
取 ；
同理设平面 的法向量 ，
取 ；
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， .
18．(1) ；
(2)（ⅰ）在直线 上，证明见解析；（ⅱ）定值为 ，证明见解析.
【分析】（1）利用离心率和椭圆定义即可求解；
（2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，再利用交点坐标表示两条相交直线，通过方程组求出交点纵
坐标，再利用韦达定理来证明定值即可；
（ⅱ）把面积问题转化为两交点的横坐标问题，通过求解横坐标之积，就能证明两三角形面积之积为
定值的问题.
【详解】（1）由题意可得： ，解得 ，
高三数学答案 第 16 页，共 16 页所以椭圆 的方程为 ；
（2）（ⅰ）设直线 方程为 ，与椭圆 联立，消 得：
，
又设交点 ，则 ，
所以有
则直线 方程为： ，直线 方程为： ，
两式消元 得： ，
代入 可得： ，
即交点为 的纵坐标为常数 ，即这些 点在一条直线 上；
（ⅱ）因为 与 的面积之积是 ,
由（ⅰ）可得交点为 的纵坐标为常数 ，代入直线 方程 可得：
， 即交点为 的横坐标为
又设直线 方程为： ，直线 方程为： ，
两式消元 得： ，
高三数学答案 第 16 页，共 16 页代入 可得： ，
即交点为 的纵坐标也为常数 ，即 点也在这条直线 上，
把 代入直线 方程 可得：
，即交点为 的横坐标为 ，
由 ，
因为 ，所以 ，
即 与 的面积之积是 .
19．(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据等比中项法可得数列 为等比数列，根据等比数列的通项公式和前 项和公式求解
即可；
（2）①根据等差数列的性质可得 ，然后利用定义法验证即可；②由题意可得数列 ，分 ，
， 分别求解即可.
【详解】（1）因为在数列 中， ，所以数列 为等比数列，
设公比为 ，因为 .， ，显然 不为 1，
所以 ， ，
又 为正项数列，解得 ， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故 ；
（2）①当 时，可得 ，当 时，得 ，
当 时，得 ，
高三数学答案 第 16 页，共 16 页因为数列 为等差数列，可得 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
又由 ，当 时，数列 为等差数列；
②由题意知 ， ， ， ，
， ，
则当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，所以 成立；
当 时，若 ，显然 ，
若 不为 2，则 必是数列 中的某一项 ，
则
，
又因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 为奇数，而 为偶数，所以上式无解，
即当 时， ，不合题意，舍去；
综上所述，满足题意的正整数仅有 .
高三数学答案 第 16 页，共 16 页
