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02 卷 第八章 解析几何《真题模拟卷》
－2022 年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点 （1，0）和定直线 ： 的距离之比为 的点的轨迹方程是
；
②点 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是 ，点 的坐标是
，则 的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数 （ ）的点的轨迹是圆；
④若动点 满足 ，则动点 的轨迹是双曲
线；
⑤若过点 的直线 交椭圆 于不同的两点 ， ，且 是 的中
点，则直线 的方程是 ．
其中真命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知双曲线 ，方向向量为 的直线与 交于
两点，若线段 的中点为 ，则双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．3．若抛物线 上的一点 到其焦点的距离为1，则点 的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线上，以M为圆心，
为半径的圆交y轴于G，H两点，则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
5．若 是圆 所在平面内的一定点， 是圆 上的一动点，线段 的垂直平分线与
直线 相交于点 ，则点 的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
6．已知 为坐标原点，双曲线： （ ， ）的左焦点为 ，右顶点为 ，
过点 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为 ，且 ，直线 与双曲线的左支
交于点 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．已知A，B，C是双曲线 上的三个点， 经过原点O，
经过右焦点F，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．点 ， 为椭圆 ： 的两个焦点，点 为椭圆 内部的动点，则
周长的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
9．已知点 分别为双曲线 的左右焦点，过 的直线
与双曲线右支交于点 ，过 作 的角平分线的垂线，垂足为 ，若
,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线 （ ）的一条渐近线的方程为 ，则双曲线的实轴
长为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的左焦点为 ，点 在双曲线 的右支上， ，
当 的周长最小时， 的面积为（ ）
A． B．9 C． D．4
12．已知双曲线 的两条渐近线分别与抛物线 交于第一、
四象限的A， 两点，设抛物线焦点为 ，若 ，则双曲线的离心率
为（ ）
A． B． 或 C． D．
13．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ，设 ， 与 相交于点 .若 ，且 的面积
为 ，则点 到准线 的距离是（ ）
A． B． C． D．
14．如图所示，设椭圆 的左、右两个焦点分别为 ， ，短
轴的上端点为 ，短轴上的两个三等分点 ， ，且四边形 为正方形，若过
点 作此正方形的外接圆的一条切线 在 轴上的截距为 ，则此椭圆方程为（
）
A． B． C． D．
二、多选题
15．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，过 的
直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△ 为等边三角形，则下列结论
一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B． 的面积为C． 的内心在直线 上 D． 内切圆半径为
16．已知焦点在 轴，顶点在原点的抛物线 ，经过点 ，以 上一点 为
圆心的圆过定点 ，记 ， 为圆 与 轴的两个交点（ ）
A．抛物线 的方程为
B．当圆心 在抛物线上运动时， 随 的变化而变化
C．当圆心 在抛物线上运动时，记 ， ， 有最大值
D．当且仅当 为坐标原点时，
17．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点， 为线段 的中点，
则（ ）
A．以线段 为直径的圆与直线 相切 B．以线段 为直径的圆与 轴相
切
C．当 时， D． 的最小值为
18．已知双曲线 的右顶点、右焦点分别为 、 ，过点
的直线 与 的一条渐近线交于点 ，直线 与 的一个交点为 ，
，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与 轴垂直 B． 的离心率为
C． 的渐近线方程为 D． （其中 为坐标原点）19．已知点 为双曲线 右支上一点， ， 为双曲线 的两条渐近线，
点 ， 在 上，点 ， 在 上，且 ， ， ， ，
为坐标原点，记 ， 的面积分别为 ， ，则下列结论正确的是（
）
A． B． C． D．
20．如图， 是坐标原点， 是双曲线 艾支上的一点，
是 的右焦点，延长 分别交E于 两点，已知 ，且
，则（ ）
A． 的离心率为
B． 的离心率为
C．
D．21．已知抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，点
在抛物线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为
C． D．点 到抛物线焦点的距离为6
22．已知双曲线 的离心率为2，点 ， 是 上关于原
点对称的两点，点 是 的右支上位于第一象限的动点（不与点 、 重合），记直
线 ， 的斜率分别为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段 为直径的圆与 可能有两条公切线
B．
C．存在点 ，使得
D．当 时，点 到 的两条渐近线的距离之积为3
23．已知直线 ： 和抛物线 ： 交于 ， 两点，直线 ，
（ 为坐标原点）的斜率分别为 ， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
24．已知点 为椭圆 （ ）的左焦点，过原点 的直线 交椭
圆于 ， 两点，点 是椭圆上异于 ， 的一点，直线 ， 分别为 ， ，
椭圆的离心率为 ，若 ， ，则（ ）A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
25． 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的右支交于
、 ．当 取最小值时， 的周长为______．
26．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与 交于A， 两点，且
，则 ___________.
27．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，斜率大于
0的直线 经过点 与 的右支交于 ， 两点，若 与 的内切圆面积
之比为9，则直线 的斜率为______．
28．设F是抛物线 的焦点，A、B是拋物线C上两个不同的点，若直线
恰好经过焦点F，则 的最小值为_______.
29．椭圆 的上下顶点分别为 ，如图，点 在椭圆上，平面四边形
满足 ，且 ，则该椭圆的短轴长度为________.30．设 ， 为双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，过 的
直线 交双曲线 的右支于 ， 两点，且 ， ，则双曲线
的离心率为__________.
31．若 是双曲线 的右支上的一点, 分别是圆 和
上的点,则 的最大值为_____________.
32．设椭圆 的左、右焦点分别为 ，A是椭圆上一点，
，若原点 到直线 的距离为 ，则该椭圆的离心率为____．
33．设 ， 分别为椭圆 （ ）的左，右焦点， 为 内
一点， 为 上任意一点，若 的最小值为 ，则 的方程为__________.
34．如图，设 是圆 上的动点，点 是 在 轴上的投影， 是线段
上一点，且 .当点 在圆上运动时，动点 的轨迹方程是______．
35．过点 作圆 的切线 ，己知 分别为切点，直线 恰好
经过椭圆(中心在坐标原点，焦点在 轴上)的右焦点和下顶点，则椭圆的标准方程是___________.
36．P是双曲线 右支在第一象限内一点， ， 分别为其左、右焦点，A
为右顶点，如图圆C是 的内切圆，设圆与 ， 分别切于点D，E，当圆
C的面积为 时，直线 的斜率为______.
37．已知过原点 的直线 与双曲线 交于不同的两点 ，
， 为双曲线 的左焦点，且满足 ， ，则 的离心率为
______.
38．椭圆 的离心率是 ，斜率为1的直线过M(b，0)且与椭
圆交于A，B两点，O为坐标原点，若 ，则椭圆的标准方程是
___________．
39．已知 为坐标原点，双曲线： （ ， ）的左焦点为 ，左
顶点为 ，过点 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为 ，且 ，
则该双曲线的离心率为______．
40．抛物线 ： 与双曲线 ： 有一个公共焦点 ，过 上一点 向 作两条切线，切点分别为 、 ，则
______．
四、双空题
41．已知抛物线 的焦点为 ，圆 与抛物线 在第
一象限的交点为 ，直线 与抛物线 的交点为 ，直线
与圆 在第一象限的交点为 ，则 _______； 周长的取值范围为
____________．
42．已知圆 与抛物线 相交于 ， 两点， 为抛物线的焦点，
若直线 与抛物线相交于 ， 两点，且与圆相切，切点 在劣弧 上，当直线
的斜率为0时， ______；当直线 的斜率不确定时， 的取值
范围是______．
43．如图所示， 与 是椭圆方程： 的焦点，P是椭圆上一
动点（不含上下两端点），A是椭圆的下端点，B是椭圆的上端点，连接 ， ，
记直线PA的斜率为 当P在左端点时，△ 是等边三角形．若△ 是等边三
角形，则 =__________；记直线PB的斜率为 ，则 的取值范围是________．44．已知A、B是抛物线 上异于坐标原点O的两点，满足 ，
且 面积的最小值为36，则正实数P＝________；若OD⊥AB交AB于点D，若
为定值，则点Q的坐标为________．
45．已知点 为双曲线 在第一象限上一点，点 为双曲线
的右焦点， 为坐标原点，4 ，则双曲线 的渐近线方程为
___________，若MF､MO分别交双曲线 于 两点，记直线 与 的斜率分
别为 ，则 ___________
46．已知 ､ 为双曲线 ： 的左､右焦点，点 在 上， ，
则 的面积为___________， 内切圆半径为___________.
47．双曲线 的焦距是__________，渐近线方程是_________．
48．已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则
该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
49．已知点M为双曲线C： 在第一象限上一点，点F为双曲线
C的右焦点，O为坐标原点， ，则双曲线C的离心率为
___________；若 分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分
别为 ，则 ___________．
50．已知抛物线 的焦点是F，O是坐标原点，点 在抛物
线C上，OA的垂直平分线交x轴于B点，（1）当AB与x轴垂直时，则
_________（用p表示）；（2）若N是线段AF的中点，则 _________
（用p表示）．
51．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点P是双曲线左支
上一点，则 ________；若双曲线的离心率为2，则双曲线 的
渐近线方程是_________．
52．已知椭圆 的短轴长为4，离心率为 ，则实数
________，实数 _________．
53．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），
正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线 ，一条光线经过
，与 轴平行射到抛物线 上，经过两次反射后经过 射出，则
________，光线从点 到 经过的总路程为________．
54．已知 分别为椭圆 的左、右焦点，P是椭圆上一点．
（1） 的值为________；
（2）若 ，且 的面积为 ，求b的值为________．
五、解答题
55．已知斜率为k的直线l与椭圆C： 交于A，B两点，线段AB的中点为
.
（1）证明： ；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且 .证明： ， ，
|成等差数列，并求该数列的公差.
56．已知椭圆 的右焦点为 ，右准线与 轴交于 点，若椭圆的离心率 ，且 ．
（1）求椭圆的解析式；
（2）过 的直线 交椭圆于 两点，且 与 共线，求角
的大小．
57．已知椭圆 （ ， ）的离心率为 ，且其右顶点到右焦点
的距离为 .
（1）求 的方程；
（2）点 ， 在 上，且 .证明：存在定点 ，使得 到直线 的距
离为定值.
58．已知椭圆 的下焦点为 、上焦点为 ，其离心率 ．过焦
点 且与 轴不垂直的直线 交椭圆于 、 两点
（1）求实数 的值；
（2）求 （ 为原点）面积的最大值．
59．椭圆有两个顶点 过其焦点 的直线 与椭圆交于 两点，
并与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ．（1）当 时，求直线 的方程；
（2）当 点异于 两点时，证明： 为定值．
60．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 在椭圆
上， ， ，且椭圆 的离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求 面积的最大值．
61．已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，
短轴的上端点为P，且 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点 且不与y轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，是否存在点
，使得直线 与 的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由.
62．已知拋物线 ： ，点 是拋物线的焦点，直线 与拋物线 交于 两
点．点 的坐标为 ．
（1）分别过 ， 两点作拋物线 的切线，两切线的交点为 ，求直线 的斜率；
（2）若直线 过抛物线的焦点 ，试判断是否存在定值 ，使得 ．
63．已知椭圆 过点 ，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合．
（I）求椭圆 的方程；
（II）已知点 ，点 是椭圆 上的一个动点，求 的最值．
64．如图，椭圆 与抛物线 相交于 、 两点，抛物线的焦点为 .
（1）若过点 且斜率为 的直线 与抛物线和椭圆交于四个不同的点，从左至右依次
为 、 、 、 ，求 的值；
（2）若直线 与抛物线相交于 、 两点，且与椭圆相切，切点 在直线 右
侧，求 的取值范围.
65．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上，
，直线 的倾斜角为 ，已知椭圆的离心率为 .（1）求椭圆 的方程；
（2）记椭圆 的左右顶点为 ，过点 的直线 交椭圆于点 ，过点 的直线
交椭圆于点 ，若直线 的斜率是直线 斜率的两倍，求四边形 面积的
最大值.
66．已知椭圆 ： （ ）的长轴长为 ，离心率为 ，点 在
椭圆 上．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）已知点 ，点 ，若以 为直径的圆恰好经过线段 的中点，
求 的取值范围．
67．已知圆 ： ，点 ， 是圆上任意一点，线段
的垂直平分线交 于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹为曲线 ，直线 ：
与 轴交于点 ，与曲线 交于 ， 两个相异点，且 .
（1）求曲线 的方程；
（2）是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的取值范围，若
不存在，请说明理由.
68．如图,椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点， 的最大值为 的最小值是 ，满足:
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段 的中点为 的垂直平分线与 轴交于 点，求 的值.
69．已知双曲线 ： （ ， ）的离心率 ，其焦点 到渐
近线的距离为 .
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点 的直线 交双曲线于 ， 两点，且以 为直径的圆过坐标
原点 ，求直线 的方程.
70．已知双曲线 的实半轴长为1，且 上的任意一点
到 的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线 的方程；
（2）设直线 过双曲线 的右焦点 ，与双曲线 相交于 两点，问在 轴上是
否存在定点 ，使得 的平分线与 轴或 轴垂直？若存在，求出定点 的坐
标；否则，说明理由．
