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专题 21.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一元二次方程的定义
（1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是 2次的整式方
程，叫做一元二次方程.
（2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方
程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2.
【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）下列方程一定是关于 的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点二】一元二次方程的一般形式
一般形式
二次项为 二次项系数为
项及项的系数
一次项为 一次项系数为
常数项为
特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，
方程右边为0.
【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）把一元二次方程 化成一般形式，并写
出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
【知识点三】一元二次方程的解（根）
概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程
的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
判断一个数是不是一元二次 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个
方程的解（根）的方法（代
入检验法）
【例3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程 的一个实数根，则代数式的值为 ．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】一元二次方程的概念 忽视了
【例1】（20-21八年级下·全国·课后作业）（1）若方程 是关于x的一元二次方
程，求m的取值范围．
（2）如果 是方程 的一个根，求 的值．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程 的
一次项系数为4，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3
【变式2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于 的一元二次方程 的
常数项为0，则 的值为 ．
【题型2】一元二次方程的一般形式
【例2】（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于 方程 的各项系数与常数项
之和为2，求 的值．
【举一反三】
【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程
的常数项是6，则一次项是（ ）
A． B． C．x D．1
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）把一元二次方程 化
成一般形式是【题型3】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值
【例3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知 是一元二次方程 的一
个根，求 的值．
【举一反三】
【变式1】（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于 的方程 （ 为常
数， ）的解是 ， ，那么方程 的解为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程 的一个根，则代数式
的值 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2013·山东菏泽·中考真题）已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式
的值．
【例2】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程 的根，那么
的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044【例3】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程 的根，则 ．
2、拓展延伸
【例】（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
