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专题21.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】一元二次方程的概念
方程中只含有一个未知数的整式方程，并可以化成
的形式，这样的方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程的条件：（1）整式方程；（2）二次项系数 ; （3）一定是整理后化为
的形式。
【例1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫
一元二次方程，进行判断即可．
解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含
未知数的项的最高次数是2．
【变式】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． （a，b，c均为常数）
C． D．
【答案】C【分析】根据形如 （a，b，c均为常数）的整式方程判断即可．
A、 中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、 是一元二次方程，故不符合题意；
C、 整理得 是一元二次方程，故符合题意；
D、 整理得 不是一元二次方程，故不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，形如 （a，b，c均为常数）的整式方程，
熟练掌握定义是解题的关键．
【知识点2】一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式 ，其中a为二次项系数，b为一次
项系数，c为常数项。
【例2】将方程 化成 的形式，则 ， ， 的值分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出 ， ， 的值．
解：将原方程化为一般形式得： ，
∴ ， ， ．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于 的一元二次方程经过整理，
都能化成如下形式 ，这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．
【变式】把方程 化成 的形式后，a，b，c的值分别是多少？
（ ）
A．3、7、1 B．2、 C．1、 D．3【答案】C
【分析】把一元二次方程化成一般式，写出a，b，c的值即可．
解：
∴a，b，c的值分别是1、 ，
故选C．
【点拨】本题考查一元二次方程的一般形式，能运用整式的乘法进行整理是解题的关键．
【知识点3】根据实际问题列简单的一一元二次方程
从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤
（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间关系；
（2）选择合适的未知数，一般设为x;
（3）确定等量关系；
（4）根据等量关系列出一元二次方程，并化为一般形式。
【例3】根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个矩形的长比宽多 ，面积是 ，矩形的长和宽各是多少？
（2）有一根 长的铁丝，怎样用它围成一个面积为 的矩形？
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3）
，
【分析】（1）设宽为xcm，根据矩形的面积＝长×宽列出方程解答即可；
（2）设矩形的长为 则矩形的宽为 根据矩形的面积＝长×宽列出方程解答即可；
（3）设有 人参加聚会，根据握手次数＝ ×人数×（人数−1）列出方程即可．
解：（1）设矩形的宽为 则矩形的长为由矩形的面积公式得
（2）设矩形的长为 则矩形的宽为
由矩形的面积公式得
（3）设有 人参加聚会，根据题意得可知
即 ．
【点拨】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的
相等关系．
【变式】根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是 ，求半径；
（2）一个直角三角形的两条直角边相差 ，面积是 ，求较长的直角边的长．
【答案】（1） ； （2） ；
【分析】（1）根据圆的面积公式列出方程即可；
（2）根据直角三角形的面积公式计算即可．
解：（1）设这个圆的半径为R，
由圆的面积公式得 ，
∴ ；
（2）设这个直角三角形较长的直角边为 ，
由直角三角形的面积公式得 ，，
．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决问题的关键是找出实际问题中的相等关系．
【知识点4】一元二次方程的的近似解的具体步骤
（1）列表，根据未知数的取值，分别计算 的值；（2）在表中找出可能使 的值等于0的符合要求的未知数的取值范围；
（3）进一步在（2）中的范围内列表、计算、估计范围，直到近似解符合题中精确度的要求为止。
【例4】根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（ ）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用表中数据得到 ，于是可判断x在
范围内取某一个值时， ，所以得到一元二次方程 的一解的取值范围．
解：∵当 时 ，当 时 ，
∴当x在 中取一个值时， ，
∴一元二次方程 的某一个解的取值范围是 ．
故答案为：C．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
【变式】根据关于 的一元二次方程 ，可列表如下：则方程 的正数解满足
（ ）
A．解的整数部分是 ，十分位是 B．解的整数部分是 ，十分位是
C．解的整数部分是 ，十分位是 D．解的整数部分是 ，十分位是
【答案】B
【分析】通过观察表格可得 时， ，即可求解．
解：由表格可知，
当 时， ，当 时， ，
∴ 时， ，
∴解的整数部分是 ，十分位是 ．
故选：B．
【点拨】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．
【题型一】根据一元二次方程的概念确定参数的值
【例1】若关于x的一元二次方程 的常数项为0，则m的值是（ ）
A． B．1 C． 或 D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常
数且 ）特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，
bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
∵关于 的一元二次方程 的常数项为0，
∴ 且 ，
解得 ．
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，以及一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式】若 是关于 的一元二次方程，则 的值是( )
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，得出 ，进而即可求解．
解：∵ 是关于 的一元二次方程，∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【题型二】利用一元二次方程的解求方程中待定字母的值
【例2】关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值是（ ）
A． B．1 C．1或 D． 或0
【答案】A
【分析】根据方程是一元二次方程，可得 ，将 代入解析式，求出 的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程 的一个根是0，
∴ ， ，
∴ ；
故选A．
【点拨】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，
使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．
【变式】关于 的一元二次方程 的解为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念可求出 的值，根据解为 可求出 的值，由此即可求解．
解：关于 的一元二次方程 ，
∴ ，解得， ，
∴一元二次方程 ，
∵解为 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
故选： ．【点拨】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值
的方法是解题的关键．
【题型三】根据实际问题列出一元二次方程
【例3】南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，
问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多
少步？设这块矩形田地的长为 步，根据题意可列方程为______．
【答案】
【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积是
864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
解：若设这块矩形田地的长为 步，则宽为 步，依题意，得
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方
程是解题的关键．
【变式】如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪
的面积为 ，求道路的宽若设道路宽为 ，则根据题意可列方程为___________________
【答案】
【分析】利用平移可把草坪把为一个长为 ，宽为 的矩形，从而根据题中的等量关系即
可得出方程．
解：利用平移，原图可转化为，如图所示，设小路宽为x米，
根据题意得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
【题型四】对于含有参数的一元二次方程的系数进行讨论
【例4】已知关于x的方程 ．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
解：（1）由 是一元一次方程，得
，
解得 ，
原方程变为： ，
∴
解得 ；
（2）由 是一元二次方程，得
，
解得 ，
∴ 时， 是一元二次方程，
二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
【变式】 为何值时，关于 的方程 ：
(1) 是一元二次方程；
(2) 是一元一次方程，并求出对应方程的解．
【分析】（1）将方程整理为： ，当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程；
（2）将方程整理为 的形式，当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，
求出 的值，再解一元一次方程即可．
（1）解： ，
整理得： ，
∴当 ，即 时，方程为一元二次方程．
（2）解：由（1）知，方程为： ，
∴当 ，即 时，方程为一元一次方程，
此时方程变为： ，
∴ ，解得： ．
【点拨】本题考查一元二次方程和一元一次方程的定义，以及解一元一次方程．熟练掌握相关概念，正确
的求出 的值，是解决本题的关键．
【题型五】利用一元二次方程的解求代数式的值
【例5】若m是一元二次方程 的根，则 的值为_____
【答案】6
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出 ，从而可求出 ， ，再将
整理变形，最后整体代入求值即可．
解：∵m是一元二次方程 的根，
∴ ，
∴ ， ，
∴．
【点拨】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是
解题关键．
【变式】已知 是方程 的一个根，则 _________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将a代入已知方程，即可求得 和 的值，从而求得
的值．
解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，且
∴ ，
两端同除以 得： ，
∴
故答案为：
【点拨】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的
未知数的值．
